Мультипликативті функциялар. Тізбекті бөлшектер. Теңдеулерді бүтін сандарда шешу

Тізбекті бөлшектер. Теңдеулерді бүтін сандарда шешу.

Тізбекті бөлшектер

Тізбекті бөлшектер

болсын. Онда қандайда бір k үшін Евклид

алгоритмін қолданайық:

Онда -ға сәйкес тізбекті бөлшек төмендегідей болады:

Қысқаша жазбасы:

Қысқаша жазбасы:

Мысал: үшін тізбекті бөлшекті табайық. Алгоритм бойынша

Онда

Қысқаша .

рационал саны үшін сәйкес бөлшек

рационал саны үшін сәйкес бөлшек

түрінде болады. Онда болады.

есептеу әдісі төменде көрсетілген рекурентті формулалар

арқылы беріледі.

Теорема:

Дәлелі: үшін анық.

Айтылған тұжырым s үшін орындалады делік. Себебі

Айтылған тұжырым s үшін орындалады делік. Себебі

енді деп алып, үшін

сәйкес бөлшегін s жағдайындағыдай тізбекті бөлшек түрінде жазып аламыз, яғни Бұл жерде

бүтін болуы міндетті емес. Біздің есептеулер формалды, сол себепті бүтін болуын талап ете алмаймыз. Индукция болжамы бойынша үшін

Сол себепті

Теорема дәлелденді

Сонымен алымы мен бөлімін төмендегі схема арқылы тапса болады:

Сонымен алымы мен бөлімін төмендегі схема арқылы тапса болады:

Мысал. Үшін сәйкес бөлшектерді табайық. Бұл мысал жоғарыда қарастырылды. Ендеше Онда

Сол себепті

Сол себепті

Сәйкес бөлшектер қасиеттері. Қасиеттер және

саны үшін орандалады деп есептейік.

1. , мұндағы барлық s үшін орынды және

Мысал. бөлімдер бірінші мүшеден бастап, өспелі тізбек құрайды.

2.

Тұжырым s үшін орынды деп ұйғарып, онда

және

Ендеше индукция болжамы бойынша

Тұжырым дәлелденді.

3. ЕҮОБ( )=1.

Дәлелі жоғарыда көрсетілген қаситтен шығады.

Теңдеулерді бүтін сандарда шешу.

теңдеуінің дербес шешімі.

санын тізбекті бөлшек түріне жіктейік. Онда

- - -ші сәйкес тізбек болсын және

Теорема. ЕҮОБ(a,b)=1 болсын. Онда теңдеуінің

шешімі болады.

Дәлелі қатынасынан шығады.

жағдайында Мұнда

болғандықтан, Басқаша айтқанда,

Мысал. теңдеуінің шешімі себебі

жоғарыда қарастырылғандай ,

теңдеуінің жалпы шешімі.

теңдеуінің жалпы шешімі.

d=ЕҮОБ(a,b) болсын. Онда аталған теңдеудің шешімі табылады сонда және тек сонда, егер c –d-ға бөлінсе. жоғарыдағы теңдеудің дербес шешімі болсын. Онда жалпы шешім келесідей болады:

мұндағы .

Мысал.