7М01501-Математика Дәріс Экстремумге берілген қолданбалы есептер және оның даму тарихы
жүктеу/скачать 1,34 Mb.
|
7.Дәрістер Экс.бер. қолд есептер Қасқатаева (1)
- Бұл бет үшін навигация:
- Бағалау әдісі.
- Шешуі
- 13 дәріс. 10-11 сыныптарда туындыны оқыту кезінде экстремумге берілген алгебралық қолданбалы есептерді шешу әдісі.
| 11-12 дәріс.
9 - сыныпта алгебраны және геометрияны оқыту барысында экстремумге берілген есептерді шешу әдісі Геометрия оқулықтарындағы есептер көбінесе бағалау әдісімен шешіледі. Бағалау әдісі. Әдістің мәні келесідей. Нақты геометриялық фигура қарастырылады F, осы фигураны сипаттайтын бір немесе бірнеше шамалар бөлінеді. Бөлінген шаманы немесе шамалар жиынтығын бағалау қажет, яғни Z шамасы төмендегі теңсіздіктерінің бірін қанағаттандыратынын дәлелдеу қажет: Z мұндағы m және М есеп шартымен анықталады. Мәселені шешу үшін (1) теңсіздіктердің біреуінің әділдігін орнату қажет, яғни (1) теңсіздіктердің біреуіне жататын әрбір Z үшін F фигурасы бар және бірде бір теңсіздікті қанағаттандырмайтын Z саны үшін F фигурасының болмайтындығын дәлелдеу қажет. Есепті шешудің соңғы кезеңі m және M нің экстремалды мәндерін анықтау. 1 мысал:А-дан В-ға дейінгі қашықтық4 км-ге, ал В-дан С-ға дейінгі қашықтық одан екі есе көп. А пунктінен С пунктіне дейінгі ең үлкен және ең кіші қашықтық қандай болуы мүмкін. Шешуі: АС қашықтығы нүктесінің орналасу орнына байланысты. ЕСарақашықтығы тұрақты болғандықтан, С нүктесі с шеңберінің нүктелеріне жатады. R = BC, В - центр. AC қандай шекаралық мәндерді қабылдауы мүмкін екенін байқауға болады,4 = АС2 < AСi <АВ + BCi= 12. Осыдан, үлкен мәні: [АСi] = 12км; Кіші мәні: [АСi ] = 4 км. Ci нүктелері-центріВ нүктесінде ұзындығы 16 км шеңбердің диаметрінің ұштары. 13 дәріс. 10-11 сыныптарда туындыны оқыту кезінде экстремумге берілген алгебралық қолданбалы есептерді шешу әдісі. Біз экстремумды табуға көптеген есептер қарастырдық. Біз осы есептерді шешкен әдістер әртүрлі және кейде жасанды болды. Әрбір экстремалды есепті шешу үшін оған қолайлы техниканы "ойлап табуға" тура келді. Сондықтан,экстремалды есептерді шешудің жалпы әдісі бар ма?сұрақ туындайды. Мұндай әдіс бар. Оны Математикалық анализ береді. Экстремалды есептерді шешудің жалпы әдісі Ферма теоремасына негізделген. Егер у = f(х) функциясы (локальды туындысы бар) нүктесінде жергілікті максимумы немесе минимумы болса, онда осы функцияның туындысы нүктесінде0-ге айналады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл функция графигіне оның сәйкес нүктеcіне жүргізілген жанама ох осіне параллель болатындығын білдіреді. Теорема Ферма теоремасы көрнекті түсіндіреді. Дәлелдейік. нүктесі у = f(x) функциясының максимум нүктесі болсын. Яғни, у = f(x) функциясы нүктесінде ең үлкен мән қабылдайды. ге мейлінше аз h өсімшесін берейік. Аргументтің жаңа мәні ге тым жақын орналасады. Себебі нүктесінде функциясының максимумы бар, онда . Cондықтан, Егер ге теріс өсімше берсек,онда: және , F '(x0) бірдей саны оң емес және теріс емес екені белгілі болды. Бұл дегеніміз, бұл f ' (x0) = 0. Минимум жағдайында ойлау ұқсас. Ферма теоремасы бізге не үйретеді? f(x) функциясының жергілікті (локалды) минимумы болатын аргументті (нүктені), теңдеуінің түбірлерінің арасынан іздеу керек екенін үйретеді. Ол экстремумның қажетті шартын білдіреді: Функцияның (туындысы бар) нүктесінде максимумы немесе минимумы болуы үшін осы нүктедегі функцияның туындысы 0-ге тең болуы қажет. Бұл қажеттілік шарт, бірақ жеткіліксіз! Туынды 0 - ге тең болуы мүмкін, бірақ хтің ол мәніндефункцияның экстремумы болмауы мүмкін. Мысалы, х = 0 кезінде функциясының туындысы . при х=0, бірақ бұл функцияның х = 0 нүктесінде экстремумы жоқ. Сонымен, теңдеуі, экстремум бар болуы мүмкін тек х тің"күдікті" мәндерін береді. Осы" күдікті " мәндердің ішінен қарастырылып отырған функцияның экстремумы бар болатын мәндерді қалай ажыратуға болады? Аргументтің таңдалған мәндерінде экстремумның түрін қалай анықтауға болады? Осы мәселелер бойынша біз көрнекілікке жүгінеміз. у = f(x) функциясының максимумы мен минимумы көрсетілген суретті қарастырыңыз. Осы суретке сәйкес, -ге жақын, одан кіші және үлкенx тің мәндерінде функциясы үшін таңбасы қандай мәнге ие болатынын анықтаймыз. Егер нүктесінде бұл функцияның максимумы болса, онда - ден кіші, бірақ -ге жақын x тің мәндері үшін туынды оң болады, ал - ден үлкен, бірақ -ге жақын x тің мәндері үшін туындытеріс болады. Себебі, бірінші жағдайда функцияның графигіне жүргізілген жанамаох осінің оң бағытымен сүйір бұрыш, ал екінші жағдайда – доғалбұрыш жасайды. Егер функция минималды мәнді қабылдаса, онда ол керісінше болады. Осылайша, "күдікті" нүктесі экстремум нүктесі бола ма, егер болса максимум ба немесе минимум ба, туынды функциямен нүктесінің сол және оң жағына жеткілікті жақындықта функцияның қабылдайтын мәндеріне байланысты болады. Барлық мүмкін жағдайларды келесі кестеге жазуға болады.
Бұлкестені экстремумды табуға берілген есептердішешудеқолдануғаболады. Максимум жағдайында х тің шамасы өсіп, нүктесінен өткеннен кейін функцияның туындысы кеми бастайды. Сондықтан функцияның туындысының туындысы, яғни екінші ретті туындысы теріс. Минимум жағдайында х тің шамасы өсіп, нүктесінен өткеннен кейін функцияның туындысы өседі. Сондықтан функцияның туындысының туындысы, яғни екінші ретті туындысы оң. Сондықтан, егер "күдікті" нүктесінде екінші ретті туынды теріс болса, онда бұл функцияның максимумы болады, егер оң болса, онда функция минималды мәнді қабылдайды. жүктеу/скачать 1,34 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|