Определите параметры и предпосылки модели

116 
где 
c
и 
g
– положительные константы, неизменные на протяжении 
всего анализируемого периода времени. Очевидно, что самый 
большой спрос на пшеницу будет существовать, когда она 
бесплатная: 
0
1


t
p
. 

Рыночная цена 
1

t
p
определяется равновесием между спросом 
1

t
d
и предложением 
1

t
s
. 
Требуется описать поведение цен 
,...
,
,
3
2
1
p
p
p
в зависимости от цены 
0
p
. 
Запишите математическую постановку задачи. 
Математическая постановка задачи: 
Считая значение 
0
p
заданным, найти последовательность значений 
,...
,
,
3
2
1
p
p
p
, удовлетворяющих следующим уравнениям: 
b
ap
s
t
t



1
, 
(*) 
1
1




t
t
cp
g
d
,
(**) 
1
1



t
t
d
s
,
(***) 
где 
a
, 
b,
c
и 
g
– положительные вещественные числа, причем отношения 
b/a
и 
g/c
характеризуют, соответственно максимально допустимые цены (при 
выполнении условий 
0
1


t
s
и 
0
1


t
d
), а величина 
g
– максимально 
возможный спрос (при 
0
1


t
p
). В результате построена математическая 
модель – система трех уравнений с тремя неизвестными. 
Решите поставленную задачу. 
Методика решения задачи: 
На рис. 77 приведена геометрическая интерпретация данной задачи. 
Зависимость спроса от цены d(p) и предложения от цены s(p) являются 
линейными и представлены на рис. Х прямыми линиями. Соотношение (***) 
определяет точку пересечения 
P
данных прямых, которая является равновесной 
точкой для данного рынка. 
Но при построении графика соотношения (*) и (**) рассматриваются, как 
непрерывные от цены 
p
. Однако процесс изменения цены на протяжении 
нескольких 
лет 
образует 
дискретную 
последовательность 
величин 
,...,
,
,
2
1
0
p
p
p
которую нужно найти для решения поставленной задачи. 
Если подставить (*) и (**) в (***), то получится, что 
1




t
t
cp
g
b
ap
. 
В результате преобразования получится, что 
B
Ap
p
t
t




1
,
(4*) 
где 
0
/


c
a
A
, 
0
/
)
(



c
g
b
B
. 

117 
Рис. 77. Равновесие в модели спроса и предложения 
Уравнение (4*) – это линейное рекуррентное соотношение, которое 
позволяет построить последовательность решений 
,...
,
,
3
2
1
p
p
p
. Перепишем 
(4*) в виде: 
B
Ap
p
t
t



1
.
(5*) 
Ищем решение в виде суммы решения однородного уравнения (6*) и 
частного решения (5*): 
0
1



t
t
Ap
p
.
(6*) 
Для решения однородного уравнения, пусть 
C
p

0
. Тогда 
)
(
1
A
C
p


, 
2
2
)
(
A
C
p


, 
3
3
)
(
A
C
p


, … или в общем случае 
t
t
A
C
p
)
(


. 
При нахождении частного решения неоднородного уравнения определяем 
его вид, исходя из правой части (5*): константа 
D
p
t

для всех 
t
. Подставим 
его в (5*) и получим 
B
AD
D


или 
)
1
/(


A
B
D
. 
Следовательно, общее решение (5*) имеет вид: 
)
1
/(
)
(




A
B
A
C
p
t
t
. 
(6*) 
При 
n=0
получается, что 
)
1
/(
0



A
B
p
С
. Подставим это выражение в (6*) и 
получим окончательно решение задачи: 


t
t
t
A
A
B
A
p
p
)
(
1
)
1
(
)
(
0






.
(7*) 
Проанализируйте полученные результаты. Какие выводы можно 
сделать? 
Анализ результатов 
При рассмотрении соотношения (7*) можно выделить три характерные 
области значений 
A
: 
1. 
1
0


A
. Модуль 
t
A
)
(

с увеличением 
t
стремится к нулю, 
следовательно 
)
1
/(


A
B
p
t
. Этот результат можно изобразить графически, 
построив зависимости функций 
1

t
s
и 
1

t
d
от цены 
t
p
(рис. 78) 

118 
Рис. 78. Иллюстрация к решению задачи 
1
0


A
Проанализируем полученный результат. Рассмотрим цену 
0
p
. Точка на 
графике 
s(p)
, соответствующая 
0
p
, дает значение предложения 
1
s
. Двигаясь 
горизонтально, находим соответствующее значение спроса 
1
d
, т.е. выполняем 
условие 
1
1
s
d

. Цена, соответствующая 
1
d
, равна 
1
p
. Этой цене в свою 
очередь соответствует предложению 
2
s
. Выполняя условие 
2
2
s
d

, движемся 
горизонтально и находим 
2
d
. Процесс продолжается до стягивания полученной 
«паутины» к цене 
)
1
/(

A
B
, соответствующей пересечению графиков 
s(p)
и 
d(p)
.
2. 
A=1
. В этом случае уравнение (7*) примет вид: 


t
t
t
B
p
p
)
1
(
1
2
)
1
(
0





. 
Следовательно, 
B
p
p
t



0
, если 
t
– нечетное, и 
0
p
p
t

, если 
t
– четное. 
Геометрически эта ситуация показана на рис. 79а. 
Рис. 79. Геометрическая иллюстрация решения задачи при 
A=1
(а) и
 A>1
(б) 

119 
3. 
A>1
. Из уравнения (7*) очевидно, что с возрастанием 
t
растет 
амплитуда колебаний 
t
p
. Графически это показано на рис. 79б.
Из рассмотренных трех случаев первый соответствует устойчивому 
равновесию, т.е. сбалансированному рынку, кого спрос соответствует 
предложению. Во втором случае возникает неустойчивое равновесие, так как 
идет периодическое понижение и повышение цены. В третьем случае наступает 
так называемый коллапс, когда рынок полностью разбалансирован. 
Как можно назвать точку пересечения двух графиков по аналогии с 
качественной теорией дифференциальных уравнений для каждого из трех 
случаев? 
Точку пересечения графиков 
s(p)
и 
d(p)
(особую точку) по аналогии с 
принятой в качественной теории дифференциальных уравнений терминологией 
можно назвать соответственно устойчивым фокусом (
0
), центром (
A=1
) и 
неустойчивым фокусом (
A>1
). 
Величина 
A
в соотношении (7*) представляет собой отношение 
коэффициентов 
a
и 
c
, т.е. тангенсов углов наклона прямых спроса и 
предложения. При устойчивом состоянии рынка (
0
) прямая спроса круче 
прямой предложения, т.е. в этом состоянии при увеличении цены на единицу 
спрос падает быстрее, чем растет предложение. 
В том случае, когда зависимости спроса и предложения от цены 
нелинейные, задача существенно усложняется и может не иметь аналитических 
решений. 

жүктеу/скачать 4,53 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: