Алакөл ауданы, Акжар ауылы, Акжар орта мектебі, математика пәнінің мұғалімі Айыпхан Еркежан Олимпиадалық есептерді және оларды шешу жолдары
жүктеу/скачать 58,88 Kb.
|
| Алакөл ауданы, Акжар ауылы, Акжар орта мектебі, математика пәнінің мұғалімі Айыпхан Еркежан
Олимпиадалық есептерді және оларды шешу жолдары.
Адамның ерекше қасиеттерінің бірі - есепті дұрыс шеше білу. Менің мақсатым - әр түрлі қиындықтағы есептерді дұрыс шығара білуге үйрену. Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Сондықтан әрбір мектеп оқушысының алдында тұрған міндеті – қазіргі заманғы математикалық логиканың негізін түсіне білу, олимпиадалық есептерді шеше білу. Математикалық логиканы білмейінше, оны ойдағыдай меңгеру қиын. Өйткені бүгінгі күні ғылым мен техниканың қарыштап дамуы ол адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылуда. Арнайы формуланы қолдануға келмейтін әрқайсысына өзінше талдау жасауды қажет ететін есептерді логикалық есептер дейміз. Олимпиадалық есептердің саны да, шығару да тәсілдері де алуан түрлі. Математика ғылымында логикалық есептер бірнеше түрге бөлінеді, соларға жеке – жеке тоқталайын. І. Граф әдісі Бұл әдіс кейбіреулері қырлары деп аталатын сызықтар мен қосылатын нүктелердің шектеулі жиыны.
Кім нешінші орын алды?- деген сұраққа үш жанкүйер былай деп жауап берді. а) Әлия – ІІ, Динара – ІІІ ә) Әлия – І, Ғалия – ІІ б) Мадина – ІІ, Динара – ІҮ. Жанкүйерлердің әрқайсысы бір рет қателескенін ескеріп, әр спортшының қандай орын алғанын табы керек. Жауабы: Әлия –І Мадина – ІІ Динара – ІІІ Ғалия – ІҮ Ә І Ғ ІІ М ІІІ Д ІҮ
Есеп: Үш адам сөйесіп тұр: Ақбаев, Қарабаев, Сарыбаев. Олардың қара шаштысы Ақбаевқа айтады. «Біреуіміздің шашымыз ақ, екіншінің шашы қара, үшіншісінің шашы сары, бірақ ешкімнің шашының түсі фамилясына сәйкес келмейді». Олардың әрқайсысының шаштарының түстері қандай? [№1, 2007 ж, математика және физика] Шешуі: 1 – тәсіл (логикалық пайымдау арқылы) Қара шашты адам Ақбаевпен сөйлескендіктен, Ақбаев қара шашты да болмайды, ақ шашты да болмайды (себебі шашының түсі фамилясына сәйкес келмеу керек). Олай болса Ақбаев – сары шашты. Онда Қарабаев – ақ шашты, ал Сарыбаев – қара шашты болады. ІІ – тәсіл. (кестенің көмегімен ) алдымен есептің шарты бойынша, І кестені салайық
Жауабы: Ақбаев – сары шашты Қарабаев – ақ шашты Сарыбаев – қара шашты
Лимонад құйылған ыдыс құмыра мен квас құйылған ыдыстың арасында. Банкаға құйылған лимонад та су да емес. Стакан банка мен сүт құйылған ыдыстың қасында. Қандай сұйық қай ыдысқа құйылған. Жауабы: Сүт құмыраға, лимонад бөтелкеге, квас банкага, су стаканга құйылған.
1) 924 2) 450 3) 3хх - + х ххх ххх 2х 206 630 ххх6 хх2 9ххх
1) 924 2) 450 3) 351 - + х 718 180 26 206 630 2106 + 702 9126
Олимпиадалық есептерді теңдеу құрып шығаруға да болады.
Бірінші май шам 1 сағат ішінде , ал екіншісі жанады. 2 сағаттан кейін екеуінің ұзындықтары бірдей болғандықтан, 1-ші
май шамның ұзындығы: 6 ал екіншінің
ұзындығы: Екеуін теңестіріп , немесе
1. Ақдананың ойлаған санынан ең үлкен бір таңбалы санды азайтып, нәтижеге ең кіші екі таңбалы санды қосқанда 100 шықты. Ақдана қандай сан ойлады? Шешуі: сан – х Т/қ: (х-9) + 11 =100 х – 9 = 99 х = 108
Шешуі: қыздар саны – х
Т/қ: (х - 11) + 80= 88 х – 11 = 8 х = 19 Жауабы: 19 қыз.
Ағайынды екі адамның жастарының қосындысы 30 – ға тең. Олардың әрқайсысының жастарын табу керек, егер біреуінің жастарының екіншісінің жасының - не тең болса. Белгілеу енгіземіз: І сан - х ІІ сан - х
Т/қ: х + х = 30 Жауабы: 2х + 3х = 180 І сан - * 36 = 18 5х = 180 ІІ сан - * 36 = 12 х = 36
Қазір ағасы қарындасынан 5 жас үлкен. 4 жылдан соң, олардың жастарының қосындысы 19 жас болады. Қазір қарындасы неше жаста, ағасы неше жаста?
Белгілеу енгіземіз: қарындасы – х ағасы – х + 5 4 жылдан соң қарындасы – х + 4 ағасы – х + 5 + 4
х + 4 + х + 9 = 19 2х = 19 – 13 2х = 6 х = 3 Жауабы: Қарындасы – 3 жаста, ағасы – 8 жаста Есеп: Жолаушы барлық жолдың жартысын өтіп ұйықтауға жатты және сол жолдың жартысын өткенге дейін ұйықтады. Жолаушы қай жолдың бөлігін ояу өткізді? Шешуі: Жолаушы жолдың бірінші жартысында ұйықтаған жоқ. х деп ол ұйықтаған жолды белгілейік және оған жол өтуі керек. теңдеуін
шығарып, , табамыз. Ендеше, жолаушы жолдың
бөлігін ұйықтап өтті, ал жолдың бөлігінде ояу болды. Жауабы: Жолаушы жолдың бөлігін ояу өткізді. Есеп: Елдостың тауықтары мен қозылары бар. Қозылар тауықтардан 3 есе кем. Қозылар мен тауықтардың барлығында 40 аяқ бар. Елдостың неше қозысы, неше тауығы бар? Белгілеу енгіземіз: Тауық – 3х Қозы – х
Т/қ: 2 х + 4х = 40 10х =40 х = 4
2= 0,3
0,2 – 0,02 =0,3 2 0,2 – 0,02 =0,15 0,02 =0,2 – 0,15 0,02 =0,05 0,002+ 0,0002х =0,02 0,05 0,002 + 0,0002х = 0,4 0,0002х = 0,4 – 0,002 0,0002х = 0,398 х =0,398 0,0002 х = 1990
Жауабы: 1990
Мерген нысанаға 10 рет атып, 90 ұпай жинады. Оның төртеуін ондыққа, сегіздікке және жетілікке тигізді. Ол тоғыздыққа нешеуін, сегіздікке нешеуін, жетілікке нешеуін тигізді? Аң таппаған, Атынан көреді. Ата алмаған Мылтығынан көреді.
Тоғыз тарау иірімдерінің бүге-шігесін меңгеріп, зерде тезіне салып, керегенің көгіндей атқаратын қызметін түсіну, көген түймесін табу-есепті шешудің алтын балдағы. Оны көп, із кессең табасың. Міне ,бұл қазақ халқының ауыз екі тараған есебінің артықшылығы. Қазақ халқының математикалық білімінің тамыры терең. Ол қазіргі тілмен алғанда санаудың әртүрлі жүйесін, мәселен үштік, ондық, тоғыздық пайдаланған. Тоғыздық жүйе ешбір жалықта кездеспейді. Қазақтың мұра есебі – Симплекс әдісіне келсе, мүшел есебі, зекет есебі, бітір есебі, тоғыз құмалақ есебі - өз алдына бір төбе. Қазақтың қара есебі өмір қажеттілігінен туындаған. Қазақ халқының тәрбиесінің математикалық астары да түрліше. Олар: 1. Жұмбақ есеп 2. Өлең есеп 3. Ертегі есеп Ғасырлар бойы даналығымен, өміршеңдігімен дәлелденген халықтық есептер үлгілері- тәрбиенің қайнар көзі болып табылады. Қанша уақыт өтсе де маңызын жоймаған халықтың ұлттық мұрасын тәлім-тәрбиенің түп қазығына айналдыру – біздің де асыл борышымыз. Сондықтан халқымыздың ауыз әдебиетінде, ертегілерде, шешендік тапқыр сөздерінде, салт-дәстүрінде оқушылардың ақыл-ой зердесін тәрбиелеуде ұлттық мазмұнды есептер шығарудың маңызы зор.
Есеп: Қыңырдың жасы. Есепке құмар бір кісі қыңырдан: - Жасың нешеде? – деп сұрапты. Сонда ол: - Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені шегеріңіз. Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде? Жетесінде жоқ, Жете сыйламайды. Шешуі: Қыңырдың қазіргі жасын -х десек, есеп шарты бойынша: 3(х+3) – 3(х-3) = 3х+9 – 3х + 9 =18 Тексеруі: 18+3=21;
18 – 3=15; 21 х 3 – 3 х 15 = 63 – 45 =18. Жауабы: Қыңырдың жасы 18 - де.
Есеп: «Қисынсыз жору» Мынау бір есеп мүлде мағынасыз болып көрінуі мүмкін: Егер 8 = 54 болса, 84 неге тең? Осы оғаш сұрақ онша мағынасыз емес, бұл есепті теңдеу құрып шығаруға болады.
84 = 8х + 4 «54» саны 5х + 4 екенін көрсетеді. 8= 5х + 4 теңдеуі шығады, бұл ондық санау системасында
«84» = 812 + 4 = 100. Сонымен, егер 88 = «54» болса, онда «84» = 100
Мына түрдегі есепте осыған ұқсас шығарылады: 5 6 = 33 болғанда, 100 неге тең болады? жауабы: 81 (тоғыздық санау системасы)
Егер сендер теңдеудің кей кездерде біздің өзімізден гөрі алдын ала болжағыштығына күмәнданатын болсаңдар, мына есепті шығарып көріңдер. Әкесі 32 жаста, баласы 5 жаста. Қанша жылдан кейін әкесінің жасы баласының жасынан 10 есе үлкен болады? Ізделіп отырған мерзімді х арқылы белгілейік. х жыл өткен соңәкесі 32 + х, ал баласы 5 + х жаста болады. Әкесінің жасы ол кезде баласының жасынан 10 есе үлкен болуы себепті, мынадай теңдеу шығады: 32 + х = 10 (5 + х) Мұны шешіп, х = -2 болатынын табамыз. «Минус 2 жылдан соң» деген «екі жыл бұрын» деген сөз. Біз теңдеу құрған кезімізде, болашақта ешқашан әкесінің жасы баласының жасынан 10 есе үлкен бола алмайтынын ескермегенбіз – ондай қатынас тек өткен уақытта ғана болуы мүмкін еді. теңдеу бізден өткен ойлампаз болды және де өзіміз жіберіп алған ағаттықты ескертті.
1. Аулада тауықтар мен лақтар бар. Олардың 19 басы және 46 аяғы бар. Аулада неше тауық және лақ бар? Белгісізге белгілеу енгіземіз: Бастары: тауық – х Аяқтары: тауық – 2х лақ – у лақ – 4у
Теңдеулер жүйесін құрамыз 38 – 2у + 4у =46 2у=46 – 38 2у=8 у=4 х = 19 – 4 =15 х = 15
Шешімдерін зерттеу: тауық – 15 лақ – 4
бастарының саны: 15 + 4 = 19 аяқтарының саны: 2=46 Есептің жауабы: 15 – тауық 4 – лақ
«Түлкісін аярлыққа бермейтін дос Көрейін сенде қанша ақыл мен ес. Балапан, көжек санын өзің тапшы Аяқтары 94, басы 35» 1. Есептің мәтінің түсіну. Түлкінің айлакерлігі, қаздың ақылдылығы, балапанда – 2 аяқ көжекте – 4 аяқ 2. Теңдеу құру: Балапан саны – х Көжек саны – у Балапанда 2 аяқ – 2х Көжекте 4 аяқ – 4х
Сонда Теңдеулер жүйесі шығады. Теңдеулер жүйесін шешу
Теңдеудің шешімдерін зерттеу: Балапан – 23 Көжек – 12 Бастарының саны 23+12=35 Аяқтарының саны 2 Жауабы: 23 балапан, 12 көжек
Логикалық есептерді шығару оқушы шығармашылығы болып табылады
Есеп: Мұғалім сыныпқа 11 дәптер алып келіп, әр оқушыдағы дәптер саны 1 – дей болатындай етіп таратты. Сынып 20 – дан көп, 40 – тан аз. Сыныпта қанша оқушы бар?
37 – оқушы бар. 3 – дәптерден берген 1. 1,2,3,4,5 сандарының арасына арифметикалық таңбалар мен жақшаларды қойып, нәтижесін 1 – ге теңестіру
12
Логикалық есептердің бір түріне әріптердің орнын цифрлармен алмастыру арқылы да есептеулер орындауға болады. 1.
Есеп: Түлкі 33 тышқан аулады. Ол аулаған тышқандарын тышқан санын әр түрлі етіп, 6 үймеге бөліп үйді. үймелердің ең үлкенінде 8 тышқан бар. Келесі үймедегі тышқандар маны оның алдыңғы үймедегі тышқандар санынан 1 тышқан кем. Ең соңғы үймеде неше тышқан бар? Шешуі: Барлығы – 33 тышқан бар 8 7 6 5 4 3
Жауабы: Соңғы үймеде 3 тышқан бар
1. Көбейтіндіні есепте: Шығарылуы: (10-10)=0 Көбейтінді 0 – ге тең
-
Жауабы:
«21» шешу үшін жұлдызшалардың орнына математикалық амал таңбасымен (қосу, бөлу, азайту, көбейту, жақша) нәтижесінде 21 саны шығатындай етіп, алмастыру қажет. Сонда тігінен де, көлденең де сандар қосындысы 21 – ге тең болуы тиіс.
2 4 5 9 1 7 = 21 3 8 6 2 9 2 = 21 9 1 7 5 3 4 = 21 5 8 2 5 3 1 = 21 6 5 1 4 2 8 = 21 7 9 7 6 1 7 = 21 = = = = = = 21 21 21 21 21 21 Шешуі: Көлденең: ( 2+4+5-9+1)*7=21 3-8+6-2-9+2=21 ( 9+1 )*7÷5+( 3+4 ) =21 ( 5+8 )+( 2*5-3)+1=21 6*5+1-4+2-8=21 ( 79-76 )*( 1*7 ) =21 Тігінен: ( 2+3+9-5-6 )*7=21 4*8+1-8+5-9=21 ( 5+6-7-2+1 )*7=21 ( 9+2 )*5÷5+4+6=21 ( 1+9+3-3 )*2+1=21 ( 7*2-4+1-8 )*7=21
Шешуі: баласы: х әкесі: 10х
Т/қ:
4(х+10)=10х+10 4х+40=10х+10 10х-4х=40-10 6х=30
х=5
Теңдеудің шешімін зерттеу: баласы – 5 жаста әкесі - 5 10 – жылдан кейін: баласы – 15 жаста әкесі – 60 жаста болады.
Аялдама: 1+1+1+1=4 Адамдар: (14+ 6 )- 8- 7+ 4+ 1=10 адам
Туған жылға 9 – ды қосып, 12 – ге бөлгендегі қалған қалдығы өзіңіздің туған жылыңыз (қазақша) болып шығады. Қазақша жыл аттары: 1. Тышқан 2. Сиыр 3. Барыс 4. Қоян 5. Ұлу 6. Жылан 7. Жылқы 8. Қой 9. Мешін 10. Тауық 11. Ит 12. Доңыз
Мысалы: Менің туған жылым 1994 жыл. І. Қазақша қай жылға келетінін білу үшін 9 – ды қосып, 12 – ге бөлейін. 1) 1994 + 9 = 2003 2) ит жылы туған екенмін
ІІ. Әкем 1962 жылы туған 1) 1962 + 9=1971 2) 1971 барыс жылы Әріптерді цифрлармен алмастыру
1. Шешуі: КҮН 354 К=3 + + Ү=5 ТҮН 254 Н=4 ЖЕР 608 Т=2 Ж=6 Е=0 Р=8
2. Шешуі: АБВ 321 А=3 х х ВВ 11 Б=2 АБВ 321 В=1 + + АБВ 321 Г=5 АГАВ 3531
Мысалы – 1. «алты қанат киіз үйге екі мысық келіп кірді де, бірінші керегенің түбіне екеуі балалап, әрқайсысы алтыдан балалады. Олардың бәріде мысық болып өсті де, тағыда алты – алтыдан балалады, т.с.с. осылайша әр керегенің түбіне барып балапан шықты». Сонда киіз үйден неше мысық өсіп шығады?
1. Есепті талдау а) Алты қанат киіз үй туралы түсінік ә) Мысықтардың өсімталдығы туралы б) Әр кереге түбіне әрқайсысы алтыдан мысық шығаратыны туралы түсінік беру 2. Есепті схема сурет түрінде жазу 3. Шығару тәсілі - әр керегенің түсіне 6 – дан балалайтын болғандықтан, әр керегедегі мысықтар санын 6 – ға көбейту. 4. Есепті шығару: әр керегедегі мысық саны. 12+72+432+2592+15552+93312= 111972 5. Есептің нәтижесін тексеру: 6. Есепті зерттеу: Әр керегеде мысықтар саны өсіп 6 есеге көбейіп отырады 7. Есептің жауабы: алты қанат киіз үйден барлығы 111972 мысық өсіп шығады.
Шешуі: 30 үшбұрыш бар
Судоку сандар тізбесі. Бұл жапондық есептеу логикалық ойлауды қажет етеді. Кез келген қатарында, кез келген бағанда 3*3 блогында бірдей цифр болмауы керек.
2)
Есеп: Өрнекті ықшамдаңдар.
.
1) ;
2) ;
3) ;
4) . Жауабы: .
Марат пен Жанат поезда жүріп келе жатып, терезеден бағандарды қарап отырып санайды: «бір, екі, ...» . Марат «Р» әрпіне тілі келмегендіктен, «Р» әрпі бар сандарды өткізіп жібереді де, келесі «Р» әрпі жоқ сандарды жалғастырады. Жанат «Ш» әрпіне тілі келмейді, сондықтан «Ш» әрпі бар сандарды өткізіп жібереді. Мараттың ақырғы бағаны «жүз» номерімен аяқталады. Бұл Жанатта нешінші номерді иеленді? Шешуі: Марат 1,4,11,14, 20-29,31,34,40-49,51,54,61,64,71,74,81,84,91,94 сандарын өткізді. Сонда барлығы 36 санды өткізіді, ендеше ақырғы баған «64» санына тең. Жанат 3,13,23,33,43,53,63,73,83,93 бағандарын өткізіп жіберді. «64» баған Жанатта «90» номер.
Бір жылы жазғы каникулға (1 маусымнан 31 тамызға дейін) 14 жексекнбі келді. 31 желтоқсан жұманың қай күніне түседі? Шешуі: Маусым, шілде, және тамыз айларын 14 жексенбі күні болуы ұшін. 1 маусым мен 31 тамыз жексенбі болуы керек. 31 тамыз жексенбі болғандықтан 1 қыркүйек дүйсенбі болады. 1 қыркүйектен бастап 31 желтоқсанға дейін 30+31+30+31=122 күн. 122:7=17 және 3 қалдық шығады. Ендеше, 1 қыркүйектен 31 желтоқсанға дейін толық 17 апта және 18 аптаның 3 күніне келеді, ал үшінші күн бұл – сәрсенбі. Жауабы: 31 желтоқсан – сәрсенбі. Еcеп: Әкесі балаларына: «Міне, сендерге 130 жаңғақ беремін. Оларды екі бөлікке бөлгенде, 4 еселенген кіші бөлігі, үлкен бөлігін 3 есе кеміткенге тең болсын». Мұны қалай жасауға болады? Шешуі: Кіші бөлігін х деп белгілейік, сонда (130-х) – жаңғақтың үлкен бөлігі болсын. Сонда 4х= (130-х) теңдеуін аламыз. 12х = 130-х, 13х = 130, х=10 шығады. Кіші бөлігінде - 10 жаңғақ, ал үлкен бөлігінде - 120 Жауабы: 10 жаңғақ және 120 жаңғақтан екі үймеге келтіреміз. Еcеп: х2= у2+77 теңдеуін қанағаттандыратын, барлық х және у натурал сан жұптарын табыңдар. Шешуі: у2 –ты теңдеудің сол жағына шығарып, х2 - у2 =77 теңдігін шығарамыз. Квадраттардың айырмасының формуласын пайдаланып, сол жағын көпмүшеліктерге жіктейміз: (х+у)(х+у) =77. Натурал сандар болатын 77 санына тең көпмүшеліктерді жазып аламыз: 1 және 77, 77 және 1, 11 және 7, 7 және 11. Жүйелерді құрып және оларды шығарайық. х – у =1 2х = 78, х = 39, у = 77 – 39 = 38, бұдан сандар жұбы (39;38) х + у = 77 шығады.
х – у =77 2х = 78, х = 39, у = 1 – 39 = -38, х + у = 1 мұнда (39;-38) бұл сандар жұбы біздің шартты қанағаттандырмайды, өйткені -38 натурал сан емес. х – у =11 2х = 18, х = 9, у = 7 – 9 = -2, бұл (9;-2) сандар жұбы х + у = 7 да қанағаттандырмайды.
х – у =11 2х = 18, х = 9, у = 11-9 = 2, (9;2) сандар жұбы х + у = 7 қанағатандырады.
тең, яғни ( + ) :3 = , бұдан х = 1, = . Онда бірінші бөлшек - , - үшінші бөлшек болады. Сонда шығатыны ең кіші бөлшек -ке тең. Жауабы: Бөлшектің ең кішісі бөлшегі. Есеп: Автомобильдің номері екі екі таңбалы сандардан құралған. Екінші сан бірінші санның орындарын ауыстырғанда шығады, ал екеуінің айырмасы, екі таңбалы санның бірінші санымен екінші санының қосындысына тең. Автомобильдің номері қандай? Шешуі: Егер бірінші сан 10х + у тең болса, онда екінші 10у + х сәйкес, ал екеуінің айырмасы (10х + у) - (10у + х) = 9х - 9у = 9(х – у) тең және бұл сол сандардың қосындысына тең, яғни (х+у). 9(х – у) =(х+у) , = 9 . Х және у натурал сан болғандықтан, олардың қосындысы да натурал сан. 9 – натурал сан, ендеше (х – у) – натурал сан, бұдан х > у . х+у = 9 к х – у = к жүйесін шығарып аламыз, к – натурал сан.
Алгебралық қосынды тәсілін жүйеге пайдаланып, х = 5 к у = 4 к шығарамыз, онда 5 к + 4 к = 9, к = 1, х = 5, у = 4. Жауабы: Автомобильдің номері 54 457 жүктеу/скачать 58,88 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|