Теңдеулердің құрылымын стандарттау арқылы шешуге студенттерді үйрету әдістемесі

Күрделі теңдеулердің шешімін табу қиын. Сондықтан теңдеулерді топ-топқа бөліп, әрбір топтың бір теңдеуінің шешу процесін үлгі ретінде оқулықтар да, әдістемелік әдебиеттерде де ұсынып жүр. Солардың ішінде «алгебраический тренажер» авторларының мына сөзі көңілге қонымды болып келеді: «Голые решебники, с одной стороны, и «чистые» сборники задач, с другой,  две крайности учебной литературы. Первые совсем не оставляют места для творчества. Работа со вторыми, как правило, возможно лишь под руководством опытного наставника. Желательно иметь нечто среднее, скажем, обучающий сборник задач. Дадим разъяснения. В каждой теме есть базисные (опорные) задачи, идея решения которых группирует вокруг них целый класс аналогичных задач. Таким образом, научившись решать ключевую задачу, мы открываем путь к решению «задач-родственников». На наш взгляд, решение именно базисных задач следует демонстрировать в сборнике, а аналогичные рассматривать как упражнения. Мы надеемся, что настоящее пособие как раз и является сборником задач подобного рода. ... Книга построена по схеме «ключевая задача + упражнения». Алгебралық тренажердің айтқан идеяларын теріске шығара алмаймыз. Аз да болса біліктілікті арттыруға пайдасы барлығын тәжірибеден байқадық. Демек, «ключевая задачаның – кілттік есептің» саны көбейсе, онда есептің құрылымына сәйкес әдістерді еске түсіру және сақтау қиындала береді. Мысал ретінде бір парагафтан кілті әр түрлі болатын бір есептен алайық.

4– есеп. х⁸ -6х⁴ +5 = 0  х = к?

Жүйенің екі теңдігіндегі у –тің көрсеткіштерін салыстырсақ, онда құры- лымы тұрақты функция квадрат үшмүшеліктің (у² - 6у +5) екінші мүшесінің құрамында болатындығын байқаймыз, немесе бірінші мүше дәрежесінің негізін тұрақты функция үшін қабылдаймыз. Өйткені оның бірінші мүшесін- дегі көрсеткіш 2 құрылымы тұрақты функцияға қатысы жоқ. Басқаша айтқ- анда, 2 – стандарт функцияның дәреже көрсеткіші емес. Стандарт функ- цияның негізін табу үшін квадрат үшмүшелікті түрлендіріп жаздық. Ол процесті құрылымы тұрақты функция арқылы жазып былай да көрсете аламыз.

(4.1) теңдігіндегі х⁴ –тің орнына х⁸, х⁶ –сін қойсақ, онда квадрат теңдеу- дің формасы өзгермейді.

Мүшенің саны үшеу болуы талапта көрсетілген. (4.2) теңдеудің мүше- лерін дәреже көрсеткіштеріне қарай топтастырсақ, онда ол талап та орында- лады.

(4.3) теңдеуінің бірінші екі мүшесінің негізгі айырмашылығы дәреже көрсеткіштерінде. Екінші мүшедегі х - 4/х –ті у –пен белгілеп квадраттасақ, онда форманың дәреже көрсеткіші де табылады деген болжам айтамыз.

Есептің талабы орындалды.

К оординат жүйесінде квадрат үшмүшеліктің графигі салынғаннан кейін квадрат теңдеудің негізгі (ордината өсінің оң жағында орналасқан) шешімі у=3 және симметриялық шешімі у = 0 табылады. Оларды жүйенің бірінші теңдігіне қойып х² –3х - 4 = 0 нақты теңдеуін және х² = 4 симметриялық теңдеулерін аламыз. Бірінші теңдеуден х₁ = 4 негізгі және х₂ =-1 симметриялық шешімдер табылады. у=0 шешімді жүйенің бірінші теңдігіне қойғанда тағыда екі симметриялық шешімдер х₃ = 2, х₄=- 2 табамыз.

2 –есеп.  х  г ?

Мұндағы сұрақ таңбалары f(х), у, р, q шамалары белгісіздігін білдіреді.

Бұл теңдікте тұрақты функция табылған сияқты, бірақ сол арқылы теңдіктің оң жағындағы квадрат үшмүшелік өрнектелмейтіндігі бірден байқ- алады. Жүйедегі квадрат теңдеу құрамында тағыда бір ақпар бар. У² –тың дәреже көрсеткіші тұракты функцияның көрсеткіші емес. Осы тұрғыдан қарастырғанда у пен ру –ті салыстырсақ, оларды ұқсас деп айтамыз. Орнала- су тұрғысынан берілген теңдеудегі негіз бен 3х² +х +1 салыстырып ұқсасты- ғы бар –жоқтығын анықтауымыз керек. Үшмүшеліктердің дәреже көрсетішт- ері бірдей болғандықтан олардың құрылымынан ұқсас өрнектер ажыратып алуымызға болады. Сондықтан осы идеяны іске асыру тұрғысынан 3х² + х +1 –ді түрлендірейік.

Құрамында бір ғана функция болғанда квадрат теңдеуді шеше аламыз. Осы мүмкіншілік бірінші жолдың «» таңбасынан кейін орналасқан теңдік- ті х⁴ – не бөлгенде ғана іске асатындығы байқалады.