Бас редактор Байжуманов М. К

ISSN 1607-2774 
Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университетінің хабаршысы № 4(92)2020 
122 
.
Y
G
X



(21) 
Let's result without the proof the following lemma: if the trihedron 
OABC
rotates on an angle 

near an axis 
OA
, the matrix of guide cosines in new position 
1
G
is set by the formula 
BG
G

1
, 
where 
 

















cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
1
B
. (22) 
Similarly, when turning by angle 

around an axis 
OB
, we get 
G
B
G
2
2

, 
where 
 

















cos
0
sin
0
1
0
sin
0
cos
2
B
, (23) 
and when rotates by angle 

around the axis 
OC
.
G
B
G
3
3

, 
where 
 












1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
2





B
. (24) 
3
2
1
,
,
B
B
B
- orthogonal matrices, besides, 
 


.
3
,
2
,
1
,
1




i
B
B
i
i


If the starting position 
OABC
is the same 
z
y
x
O



and the end position is reached by turning 
by angles 
,
,
,
3
2
1



, then 
     
,
1
1
2
2
3
3



B
B
B
G

(25) 
or 

















2
1
2
1
2
3
2
1
3
1
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
3
1
3
2
1
3
1
3
2
c
c
c
s
s
s
s
c
c
s
s
s
s
c
c
c
c
c
s
c
s
s
c
s
s
s
c
c
c
G
. (26) 
Here, 
i
c
 and 
,
3
,
2
,
1
,

i
s
i
definition for 
i

cos
 и 
i

sin
. 
The infinitesimal rotation associated with 


, should be considered as a set of three 
consecutive infinitesimal rotations with angular velocities 
3
2
1
,






. Then, according to the known 
vector property of infinitely small rotations, we can consider 


the sum of three separate angular 
velocity vectors 




,
0
,
,
0
,
0
,
0
,
2
2
1
1












3
3
,
0
,
0





recorded in different coordinate 
systems. However, the components of these vectors with respect to any coordinate system can be 
obtained using orthogonal transformations 
3
2
1
,
,
B
B
B
. Let's write out components of a vector in the 
system connected with a moving body: 
     
   
 
3
3
3
2
2
2
3
3
1
1
1
2
2
3
3














B
B
B
B
B
B



(27) 
and detailed: 
;
2
3
1
3
2
1





s
c
c


;
2
3
1
3
2
2





c
s
c



(28) 
.
3
1
2
3







s
Let's resolve the system (28) regarding 
3
2
1
,
,






: 

ISSN 1607-2774 
Вестник Государственного университета имени Шакарима города Семей № 4(92) 2020 
123 


;
2
2
3
1
3
1
c
s
c






;
2
3
1
3
2



c
s



(29) 


.
3
2
2
3
1
3
2
3








c
s
c
s

Therefore, there is a one-to-one correspondence between 


and 


vectors for all 
3
2
1
,
,



, except 
0
cos
2


. Thus, in the case of small fluctuations of mass near the equilibrium position, this 
method of trihedron orientation 
OABC
relatively to 
z
y
x
O



excludes those "undesirable 
paradoxes" that were encountered when using Euler angles. 
Taking out the second order members in (26) and (28), we get 














1
1
1
1
2
1
3
2
3






G
,
.





(30) 
Let us define 

as the contact surface of the shell with the mass, through 


rs
ss
s





,
,


- the components of the stress tensor. Then, the reaction of the shell is given by 
the following formulas: 
 


;
1
1
1
2
0













d
B
B
F


(31) 
 




 




,
1
1
1
2
3
1
1
1
2
0
0



















d
B
B
B
B
r
K




where 
,
cos
,
sin
2
,
sin
0













R
h
R
r






1
,
0
,
0
3

and 

-angle between the positive 
axes 
z

and 
r
and the points of junction of the mass with the shell. 
Through 


s
ss
s
Q
N
N
N
,
,



and 


0
,
,
ss
s
M
M
M



signify the components of the force and 
moment tensors on 

, taking into account the known expressions: 
;
2
2
dr
N
h
h






;
2
2
dr
r
M
h
h






(32) 
and ratio 


Rdrd
d

of formula (31) transformed to: 
 


;
2
0
1
1
1
2
0












жүктеу/скачать 9,41 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: