Басылым: төртінші -бет



жүктеу/скачать 19,22 Mb.
бет23/47
Дата29.06.2017
өлшемі19,22 Mb.
#20661
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   47

(4.1) теңдеуінің оң жағы. R={|x – x0|<=a; |y-y0|<=b} теңдеуінде жатса, онда мынадай шарт қанағаттандырса

(4.4) N=const

(4.5) M=const

Мұнда мынадай ауытқу шамасы анықталған:



(4.6)

y (xn) – x=xn нүктесіндегі теңдеудің дәл шешімі



yn – теңдеудің жуық шешімі. (4.5) – теориялық тұрғыда анықталған практикада қолданылмайды. Себебі практикада h/2 – қадаммен есептеліп қайталанады. Сонымен h/2 – қадамдағы жуық шамасын yn* - деп белгілейміз.

yn*:|yn* - y(xn)| |yn* - yn| (4.7)

Сонымен Эйлер әдісі диференциалдық теңдеулер системасына да қолданылады жоғарғы ретті. Егер бізге бірінші ретті теңдеулер системасы берілген болса.



(4.8) –бұл есептің шрты ретінде y(x0)=y0 (4.9)

z(x0)=z0



Қойылған есеп үшін Эйлер әдісін пайдаланып y(xi) z (xi)- жуық шамаларын анықтаймыз

Yi+1=yi + h f1 (xi, yi, zi) (4.10)

Zi+1=zi + h f2 (xi, yi, zi) i=0,1,2,…,

Бақылау сұрақтары:


  1. Кәдімгі дифференциалдық теңдеу дегеніміз не?

  2. Сызықтық дифференциалды теңдеу дегеніміз не?

  3. Дифференциалды теңдеу шешімінің жалпы ережесі .

  4. Коши есебі

  5. Интегралды қисықтың анықтамасы?

Дәріс 14

Тақырыбы: Кәдімгі дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістері Рунге –Кутта әдісі.

Мақсаты: Рунге –Кутта әдісі туралы мағлұмат беру.

у/=f(x,y) y(x0)=y0 бастапқы шарты берілген теңдеуінің Хi нүктесіндегі шешімін Yi интегралын белгілейміз. Рунге – кутта әдісі бойынша Yi+1 мәнін Xi+1=Xi +h интегралын анықтаймыз. Yi+1=Yi+^Yi мұндағы ^Yi=1/6[K(i)1+2*K(i)2+2*K(i)3+K(i)4] (7.3)

Ki1=h*f(Хi , Yi)

Ki2=h*f(Хi +h/2, Yi+ K(i)1/2)

Ki3= h*f(Хi +h/2, Yi+ K(i)2/2)

Ki4= h*f(Хi +h, Yi+ K(i)3)

есепте мынадай таблицаны пайдаланамыз.

I

Хi

Yi

K=h*f(X,Y)

^Y

0

X0

X0 +h/2

X0 +h/2

X0 +h
Y0

Y0 +K01/2

Y0 +K02/2

Y0 +K03
K(0)1

K(0)2

K(0)3

K(0)4
K(0)1

2K(0)2

3K(0)3

K(0)4

1

X1

Y1

K

^Y0

^Y0=1/6[K(0)1+2*K(0)2+2*K(0)3+K(0)4]

Y1 = Yi +^ Y0

X1 , Y1=>осыдан

Таблицаны толтыру реті мынадай :



  1. Таблицаның бірінші жолына X0 ,Y0 мәндерінің шамасын енгіземіз.

  2. Осы мәндерге сәйкес f(Х0, Y0 ) мәнін анықтап, оны h-қа көбейтіп K(0)1 –ді табамыз.

  3. X0 +h/2 – ні Y0 +K(0)1/2 – ні анықтаймыз.

  4. f(X0+h/2, Y+K(0)1/2) анықтап, h= K(0)2 табамыз

  5. Үшінші жолға X0 +h/2, Y0 +K(0)2/2 – табамыз

  6. f(X0 +h/2,Y0 +K(0)2/2) – анықтап, оны ашқа көбейтеміз де K(0)3 бөлеміз.

  7. X0+h, Y0 + K(0)3

  8. h – көбейтіп, K(0)4 табамыз. Содан ^Y0 жолына 4 коэффицентті қосамыз.

  9. ^Y0 = (K(0)1 +2*K(0)2 +2*K(0)3+ K(0)4) 1/6

  10. Y1= Y0+^Y0

  11. Клесі і тең 1 болғанда X1,Y1- ді анықтап табамыз.

Теңдеудің оң жағындағы f(x,y) есептеуін таблицаға енгіземіз. Алынған қадамның дұрыстығын тексеру үшін мынадай бөлшек санды санау қажет.

Q=[K(i)2 – K(i)3/K(i)1 –K(i)2] (7.5)



Рунге – Кутта әдісінің дәлдік реті h4. Ауытқу шамасы |y*n-y(xn)|≈ |y*n-yn|/15

Бақылау сұрақтары:

  1. Бірінші және екінші ретті нақтылықтың Эйлер әдісі?

  2. Эйлер әдісінің модификациясы?

  3. Екінші және төртінші ретті нақтылықтың Рунге-Кутт әдісі?

  4. Дифференциалдық теңдеулер үшін Рунге –Кутт әдісі

  5. Сандық есептеудің қадамын таңдау мен қателіктің автоматты бақылауы?



  1. Тәжірибелік сабақтарды өткізу жоспары және оларға дайындалудың әдістемелік нұсқаулықтары

№

Тақырыптар атаулары

Оқыту түрлері,

сағаттар саны



Математикалық модельдеу мен есептеу эксперименті. Айырымдар теориясы элементтері.

2 сағ.



Алгебралық және трансценденттік теңдеулер.Түбірлерді бөлу. Ньютон әдістері. Жанама әдісі.

4 сағ.



Сызықты емес теңдеуді шешу. Хорда әдісі.

2 сағ.




Сызықты теңдеулер жүйесін шешу. Гаусс әдісі.

2 сағ.




Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерінің жалпы сипаттамасы. Крамер әдісі. Кері матрица әдісі.

2 сағ.




Сызықты теңдеулер жүйесін шешу итерциялық әдістері: Итерация әдісі.

2 сағ.




Сызықты теңдеулер жүйесін шешу итерциялық әдістері: Зейдел әдісі.

2 сағ.




Интерполяция есебінің математикалық қойлымы. Шеткі айырымдар мен олардың қасиеттері. Лагранж интерполяциялық көпмүшесі. Лагранж интерполяциялық формуласының ауытқу шамасы.

2 сағ.




Бір келкі түйіндер үшін бірінші Ньютон интерполяциялық формуласы. Екінші Ньютон интерполяциялық формуласы. Ньютон интерполяциялық формуласының қателіктерін бағалау.

2 сағ.





Интегралды жуықтап есептеу: Тік төрт бұрыш әдісі.

2 сағ.




Трапеция формуласы және оның қалдық мүшесі.

2 сағ.




Интегралды жуықтап есептеу: Симпсон формуласы және оның қалдық мүшесі.

2 сағ.




Ньютон, Гаусс, Стирлинг және Бессель интерполяциондық формулалары бойынша кестедегі берілген функция аргументінің сәйкес мәндерінің I және II ретті туындыларын табу.

2 сағ.




Кәдімгі дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешу әдістері Рунге –Кутта әдісі.

2 сағ.






Барлығы

30 сағ.


Практикалық жұмыс №1

Тақырыбы: Математикалық модельдеу мен есептеу эксперименті. Айырымдар теориясы элементтері.

Мақсаты: Әр түрлі ретті шектік айырымдармен жұмыс істеп үйрету. Абсолютты және ықтималды ауытқуды айыра білу.

Мысалы:

P(x)=x3 Dх=1



Шешімі:

Dp(x)=(x+1)3-x3=x3+3x2+3x+1-x3=3x2+3x+1

D2p(x)= D(Dp(x))= D(3x2+3x+1)= 3(x+1)2+3(x+1)+1-(3x2+3x+1)= 3x2+6x+3+3x+3+1-3x2-3x-1=6x+6

D3p(x)= D(6x+6)=6(x+1)+6-6x-6=6

D4p(x)=6-6=0

Ал осының керісіншесі мынадай түрде болады.

Dnуi =уi+n-С1nDуn+i-1- С2nуn+i-2+…-(-1)nуi

Ñxi=xi- xi+1 сол жақ айырым

Осы жазылған айырымдардың ретін кесте бойынша жазса қолайлы

X

Y

Dy

D2y

D3y

X1

Y1

Dy1

D2y1




X2

Y2

Dy2







X3

Y3









Мысалы:


У=2х3-2х2+3х-1

Х0=0 h=1

Шешімі:

Х0=0 Х1=1 Х2=2 Х2=3



У0=-1 У1=2 У2=13 У3=44

DУ0= У1 -У0=2+1=3

DУ1= У2 –У1=13-2=11

DУ2= У3 –У2=44-13=31

D2У0= DУ1 -DУ0=8

D3У1= DУ2 – DУ1

т.с.с.
есептеуге болады. Бірақ кесте қолдансақ, оны оңай жолмен алуға болады.

Мұндағы х пен у бағаналарына сан жазып, ал С, D, E бағаналарына айырманы жазу керек. Мысалы, С2 ге =B3-B2 деп жазамыз да формуланы көшіреміз.




Тапсырмалар: Берілген номер бойынша айырымдар кестесін құрыңыз.


  1. У=х3+2х2+3х-1 Х0=1 h=0,1

  2. У=8х2+3х-1 Х0=0,1 h=0,5

  3. У=3х3-2х2+3х-1 Х0=0,5 h=1

  4. У=2х3-х2+3х-1 Х0=0 h=0,1

  5. У=3х3-2х2+3х-1 Х0=0,2 h=0,1

  6. У=5х4-2х2+3х-8 Х0=1 h=2

  7. У=6х3-2х2+3х-5 Х0=2 h=3

  8. У=2х3-2х2+3х+8 Х0=3 h=0,5

  9. У=9х3-2х2+3х+0,2 Х0=2,2 h=0,1

  10. У=2х3-2х2+3х+0,4 Х0=1,2 h=0,2

Бақылау сұрақтары:

1. Жуық сандардың абсолютты және салыстырмалы қателіктері, олардың жазылу ережесі қандай?

2. Жуық сандардың нақты мәнді цифрлары туралы айтып беріңіз.

3. Нақты цифрлар арқылы абсолютты қателікті қалай табуға болады?

4. Сандарды дөңгелету ережесін айтып беріңіз.

5. Жуық сандардың жазылу ережесін айтып беріңіз.

6. Аргументтер қателігінің функция мәніне әсер ету бағасы қандай?

7. Арифметикалық іс-әрекеттердің бағалау қалай болады?



Практикалық жұмыс №2

Тақырыбы: Алгебралық және трансценденттік теңдеулер.Түбірлерді бөлу. Ньютон әдістері. Жанама әдісі.

Мақсаты: Сызықтық емес теңдеулерді шығаруды үйрену. Қақ бөлу әдісімен танысу.

Мақсаты: Сызықтық емес теңдеулерді шығаруды үйрену. Түбірді бөлу әдісімен танысып, ол әдіспен есеп шығару.

Қақ бөлу әдісін қолданып есеп шығару мысалы:



1. f(x)=5x-6x-3 функциясы берілген. f.’(x)=5xln 5-6 туындысын табамыз, туынды түбірін шығарамыз:

5хlg5-6=0; 5х=;

хlg5=lg6-lg(ln5);



x===.

F(x) функция белгісімен таблица құрамыз. Х тең деп алып, а) критикалық функция белгісін (туынды түбір) және оған жақын.



б) шекті белгімен (оған кіретін белгісіз мәнді).

Х

-

1

+

Sign f(x)

+

-

+

Егер екі функциялық белгінің ауысуы болса, онда тендіктің 2 түбірі болады.

Түбірдің бөлімен аяқталған соң, аралығымен түбірді азайту керек, оның ұзындығы үлкен болмау керек. Ол үшін f(x) функциясының жаңа кестесін құрамыз.



X

-1

0

1

2

Sing f(x)

+

-

-

+

Бұдан шығатын, түбір осы аралықта жату керек. x1[-1; 0] x2 [1;2] деп ойлай отырса, f(x)=x4-x3-2x2+3x-3 берілген f’(x)=4x3-3x2-4x+3. Туынды түбірді табамыз.

4x3-3x2-4x+3=0; 4x(x2-1)-3(x2-1)=0; (x2-1) (4x-3)=0; x1=-1;



x2=1; x3=3/4.

X

-

1

¾

1

+

Signf(x)

+

-

-

-

+

Кестеден көрсетілгендей теңдіктің 2 түбірі болады.

x1(-;-1] x2 [1;+) берілген түбірден аралықты азайтамыз.

X

-2

-1

1

2

Signf(x)

+

-

-

+

Осыған орай x1[-2;-1] x2 [1;2].

Бір түбірді дәлелдейміз, мәселен x1 [-2;-1] 100-ге дейінгі қайталанатын сандарды табу әдісімен, келесі кестені қолдана отырып, шығару онай түседі.



Жауабы:

жүктеу/скачать 19,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   47



©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет