Дәріс Тақырып: Матрица және оған қолданылатын амалдар. Мақсаты


Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар



бет115/468
Дата15.09.2017
өлшемі43,35 Mb.
#33233
1   ...   111   112   113   114   115   116   117   118   ...   468

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар:


  1. Жазықтықтағы аффиндік координаттар жүйесі.

  2. Кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі.

  3. Аффиндік реперлер

  1. Түзудің кесінділік теңдеуі

2. Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтықты

3. Параллель түзулердің ара қашықтығы

4. Түзулердің арасындағы бұрыш

Әдебиеті: [1], [3], [4].

12 -13 сабақ.

Тақырып: Векторлық кеңістіктер, ішкі кеңістіктер. Өлшемі және базисы. Біртектес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешулерінің фундаментальді жүйесі.

Сабақтың мақсаты: Студенттерге векторлардың сызықты тәуелділігі туралы түсінік беру. Векторлар жүйесінің базисі және ранг қасиеттерін баяндау. Студенттерге Евклид кеңістігі,оның нормасы, ортонормалданған векторлар жүйесі және базис, ортогонал толықтауыш түсінігін беру. Евклид кеңістігінің негізгі қасиеттерімен таныстыру

Қарастыратын сұрақтар:


  1. Векторлардың сызықты тәуелділігі.

  2. Векторлар жүйесінің базисі және ранг.

  3. Базис бойынша векторларды бөліп- ажырату.

а) Нақты евклид кеңістігінің анықтамасы және оның қасиеттері.

б) Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері.

в) Ортонормалданған векторлар жүйесі және оның қасиеттері.

г) Ортонормалданған базисте координаттарымен өрнектелген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

д) Ортогонал толықтауыш

е) Евклид кеңістігінің изоморфтылығы.


Векторлардың сызықты тәуелділігі.

Әр түрлі есептерді шығарған кезде, бір вектормен ғана емес кейбір бір тектес векторлар жиынымен әрекеттер жасауға тура келеді.Мұндай жиынды векторлар жүйесі деп атайды да, оларды бір әріппен және реттік нәмірмен белгілейді:

а12,....,ак (1)

1-анықтама. (1)өрнектегі векторлардың сызықтық комбинациясы деп мына түрдегі векторлады атайды:

b=λ1а12а2 как (2)

Мұндағы,λ1,...λк-кез-келген нақты сандар.

Мысалға айталық үш вектор берілсін, а1=(1,2,0),а2=(2,1,1)және а3=(-1,-1,-2). Олардың 2,3 және 4 коэффициенттерімен бірге сызықтық комбинациясы: b=(4.15.-5)

(2)-теңдігіне сәйкес b векторы (1) вектор жүйесі арқылы сызықты өрнектелінеді немесе осы векторлар бойынша бөлініп ажырайды делінеді.



2-анықтама. Егер бір мезгілде бәрі бірдей нөлге тең болмайтын мынадай λ12....,λк сандар бар және осы сандардың векторлар жүйесі нөлге тең болмайтын векторлар жүйесімен сызықтық комбинациясы нөлдік векторға тең болса, яғни

λ1а12а2+...+λк ак=0 (3)

онда (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады.

Егер (3) теңдігі (4) векторлар жүйесі үшін мына: λ12=....=λк=0 жағдайда ғана орындалса, онда осы векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз делінеді.



Мысалға, а1=(1,0),а2=(0,2)-екі векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз,ал b1=(1,2,1) және b2=(2,4,2) – векторлар жүйесі сызықты тіелді, себебі b2- 2b1=0

Айтйлық (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді векторлар (3) қосындысын λs-коэффициенті нөлге тең емес(λs=0) қосындыларын таңдап алып, оларды басқа қосындылар арқылы өрнектейік:

аs=- λ1а1/ λs- λ2а2 / λs -....- λs-1аs+1/ λ2-....- λк ак / λs

Теңдіктен (1.7) сызықты тәуелді векторлар жүйесінің бір векторы, осы жүйенің басқа бір векторы арқылы өрнектелгені (немесе басқа векторлар бойынша бөлініп ажырағаны) байқалады.



Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттерін көрсетейік.

1. Бір вектордан тұратын жүйе – сызықты тәуелді.

2. Нөлдік векторы бар жүйе әрқашанда – сызықты тәуелді.

3. Бірнеше векторлардан тұратын жүйе, векторлардың ішінде басқалармен сызықты өрнектелетін бір вектор болған жағдайда ғана сызықты тәуелді бола алады.

Геометриялық тұрғыдан қарасақ екі өлшемді векторлар жазықтықта, ал үш өлшемді векторлар кеңістікте сызықты тәуелді болуы мүмкін екені белгілі.Бір векторды екінші бір вектормен өрнектеген жағдайда:

а2= λа2 бұл векторлар коллинеарлы делінеді, яғни олар параллельді жазықтықта жатады, яғни олар компланарлы делінеді.Арнайы көбейткіштер арқылы осы векторлардың ұзындықтарын бейнелеу және біреуін екеуінің қосындысымен немесе солармен өрнектеу үшін түзету (енгізу) жеткілікті.

Төмендегі теорема осы айтылған мәселелер жөнінде маңызды.

1-теорема. Rn кеңістікте m векторларды ұстайтын кез келген жүйе мына m>n жағдайда сызықты тәуелді.

Векторлар жүйесінің базисі және ранг.

а12,....,ак –векторлар жүйесін қарастырайық.Жекелеп жиналған векторлар жүйесі және мынадай екі жағдайды қанаңаттандыратын:а) жиындардың векторлары сызықты тәуелсіз;б) жүйенің кез келген векторы осы жиындағы векторлрмен сызықты өрнектелетін векторлар осы жүйелердің максималь тәуелсіз қосымша жүйесі деп аталады.

Берілген векторлар жүйесінің барлық максимальды тәуелсіз қосымша жүйелері бір векторлар санын құрайды деп бекітілген теорема нақты. Векторлар жүйесінің максимальды тәуелсіз қосымша жүйедегі векторлар базистік деп, ал базиске кірген векторлар базистік векторлар деп аталады.Векторлар жүйесінің базистік векторларының саны олардың рангі делінеді.

Мысалға, мына векторлар жүйесінің:

А1=( а1112,.. ..,а1n)

А2=( а2122,.. ..,а2n)

..............................

Аm=( аm1m2,.. ..,аmn)


рангі деп осы жүйедегі сызықты тәуелсіз векторлардың максимальды санын айтады. Векторлар жүйесінің рангі А матрицасының, осы жүйесінің векторларының компоненттерінен құралған рангіне, яғни А матрицасының минорының нөлден басқа ең жоғары ретіне тең.

Мысал. Мына векторлар А1=( 5,4,3,2), А2=( 3,3,2,2), А3=( 8,1,3,-4) жүйесі сызықты тәуелді ме? Егер сызықты тәуелді болса, онда оныңмаксимальды сызықты тәуелсіз қосымша жүйесін анықтау керек.

Шешуі. Векторлардың компоненттері арқылы матрица құрып, оның рангін анықтайық.

А=[5 4 3 2



  1. 3 2 2

  1. 1 3 -4]

Екінші ретті минор:[5 4



  1. 3]

Үшінші ретті екі минорды есептейік:

[5 4 3 [5 4 2

3 3 2 3 3 2

8 1 3 ]=118-118=0; 8 1-4]=2(59-59)=0.


А матрицасының рангі 2-ге тең, сондықтан векторлар жүйесі тәуелді. Себебі, векторлар жүйесінің кез келген компоненттері арқылы құрылған екінші ретті минорлар нөлге тең емес.

Сондықтан максимальды сызықты тәуелсіз қосымша жүйе екі кез келген векторлардан тұрады, ал үшінші вектор олардың сызықтық комбинациялары.

Базис туралы түсінік n өлшемді векторлардың шексіз жиынтықтарынан тұратын кеңістіктегі Rn –де бөлініп-ажырайды.

3-анықтама. n векторлар жүйесі Rn кеңістікте базис деп аталады ,егер

1.осы жұйенің векторлары сызықты тәуелсіз болса

2. Rn-ң кез келген векторы осы жүйенің векторларымен сызықты өрнектелсе.
Кез келген базисте векторларды бейнелеу.

Айталық


а12,....,аm (1.9)

векторлар жүйесі базистік, ал b олардың сызықтық комбинациясы болсын. Онда мына теорема орынды.



2 – теорема. Базисте кез келген векторды бөліп-ажырату мүмкін болса және осындай әрекет нақтылы орындалса, онда ол жалғыз ғана.

Дәлелдеу. Вектор b, (1.9) өрнектегі векторлардың сызықтық комбинациялвры арқылы екі тәсілмен берілсін.

b=α1a+ α2a2+…..+ αmam және b=β1a+ β2a2+…..+ βmam

мұндағы αi және βi - бір-біріне дәл келмейтін сандар жиыны.Бұл жиындарда міндетті түрде бір-біріне дәл келмейтін нөлге тең емес сандар болуға тиісті.

Біріншісінен екінші теңдікті алып тастап мынадай өрнекті алайық.

1 + β2)* α1+(α2 - β2)* α2+.........+m– βm)* αm=0

Алынған теңдік (1.9) өрнектегі векторлар жүйесінің сызықтық комбинациялары. Онда коэффициенттердің барлығы бірдей нөлге тең емес.(себебі αi және βi - бір-біріне дәл келмейді).Теңдік нөлге тең, яғни берілген жүйе сызықты тәуелді болып шықты. Бұл жағдай теореманың шартына қарсы.Сөйтіп алынған қайшылық теореманың нақтылығын дәлелдейді.

Сонымен Rn кеңістікте кез келген базисте

а12,....,аn (1.10)

осы кеңістіктің кез келген векторын мына түрде бөліп – ажырату арқылы бейнелеуге болады.

b=α1a+ α2a2+…..+ αnan (1.11)

және бұл бөліп- ажырату берілген базис үшін жалғыз ғана.

Бөліп- ажырату коэффициенттері а12,....,аn b-векторының (1.10) базистегі координаттары деп аталады және жоғарыда айтылғандай біл жиын Rn-ң кез келген векторлары үшін жалғыз ғана.

Жалпы айтқанда, (1.10) –ды кез келген базисінде бөліп- ажырату коэффициенттерін табу есебі оңай емес. Сол жақтан бастап сызықты комбинациялау векторларының координаттарын b-векторының (1.11) координаттарымен теңестіру керек. Базистік векторлармен b-векторының координаттары мынадай қалыпта берілсін

а1=( а1112,.. ..,а1n)

а2=( а2122,.. ..,а2n)

..............................

an=( аn1n2,.. ..,аnn)

b=( b1,b2,.. ..,bn)

Жоғарыда жазылған тәсілдермен белгісіз n координаттар бойынша b-векторды (1.10) базиске бөліп- ажырату барысында n сызықтық теңдеулер жүйесіне өтеміз

а11а112а2+…+а1nаn=b1

а21а122а2+…+а2nаn=b2



… … …

Аn1а1n2а2+…+аnnаn=bn



Мұндай теңдеулер жүйесі және оларды шешу әдістері арнайы пәнде, яғни векторлық алгебрада кеңірек қарастырылады. Келесі бөлімдерде қарастырылатын қолданбалы математикалық әдістерге оларды онша қажеті болмағандықтан әрі қарай векторлық алгебраның бұл бөлімдеріне тоқталмаймыз.

а) Нақты евклид кеңістігінің анықтамасы және оның қасиеттері.

Анықтама. Нақты сызықты векторлық R кеңістіктің кез келген екі х,уR элементіне (векторына) скаляр көбейтінді деп аталатын (х, у) нақты саны сәйкес келсе және оған мына төмендегі аксиомалар орындалса:
1. (х, у) = (у, х),

2. (х, у) = (х, у), — нақты сан,

3. (х + у, z) = (х, z) + (у, z),



4. (х, х) > 0, егер х 0, (х, х) = 0, егер х = 0,
онда бұл кеңістікті

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   111   112   113   114   115   116   117   118   ...   468




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет