Дифференциальные уравнения высших порядков


Уравнения, не содержащие явно искомой функции



бет2/8
Дата16.05.2022
өлшемі0,66 Mb.
#143518
түріРешение
1   2   3   4   5   6   7   8
Байланысты:
Лекции 6-7

Уравнения, не содержащие явно искомой функции


и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида:


В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:



Делая обратную подстановку, имеем:

И нтегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

Пример. Найти общее решение уравнения .
Применяем подстановку


Произведя обратную замену, получаем:


О бщее решение исходного дифференциального уравнения:

Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.


Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Это уравнения вида


Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:



Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:



Пример. Найти общее решение уравнения


Замена переменной:



1)


Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:



С учетом того, что , получаем:




Общий интеграл имеет вид:


2)


Таким образом, получили два общих решения.


Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.


Определение._Линейным_дифференциальным_уравнением_n__–_го_порядка'>Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида:



где p0, p1, …,pn функции от х или постоянные величины, причем p0 ¹ 0.


Левую часть этого уравнения обозначим L(y).



Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pnпостоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.


Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.


Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет