DiM 2203 дискретті математика

2.3. Функциялар мен бейнелеулер 
Айталық, А, В жиындарында f   AхB сәйкестігі бар болсын. Анықтама  
Егер 
f
=A, 
f
=B  және 
f
y
x
f
y
x
)
,
(
,
)
,
(
2
1
болғандығынан     
2
1
y
y
    болса,  онда 
B
A
f
  сәйкестігі  функция  деп  аталады  ол        f  :  A
B        немесе   
B
А
f
   
болып жазылады. Бұл анықтамадан функция дегеніміз функционал  сәйкестік 
екендігін  көреміз  және  f  функциясының  типі  А В  деп  оқылады  .      f 
функциясы анықталу облысының әрбір элементіне  (х )  мәндер облысынан бір 
мәнді  (у)сәйкестендіреді  және    у  =  f  (х)  болып    белгіленеді.  )  (х  аргумент,  у 
функцияның  мәні)  болып  жазылады  (у    х-тың  образы).Мысалдар: 
f={(1,2),(2,3),(3,2)}  –  функция;          f={(1,2),(1,3),(2,3)}  -  функция  емес;  {(x,x
2
-
2x+3), x R} – функция ;   бұл функция әдетте y=x
2
=2x+3 болып жазылады. 
Анықтама      Толық  анықталған  функция  f  :  A B  А-ны  В-ға  іштей 
бейнелеу деп аталады. 
f : A
iштей
 B   (   
f
=A ,    
f 
B)    толық анықталған функция  
Анықтама    Егер     
f 
=  B  болса  функция  сюръективті  функция  деп 
аталады. 
Анықтама  Егер  функция  толық  анықталған  (
f
=A)  және  сюръективті 
(
f
=B) болса ,онда  ол   А-ны В-ға толық бейнелеу деп аталады: f : A
толык
 B  
болып жазылады. 
Анықтама .А
iштей
А  бейнелеу А жиынын түрлендіру, ал А
толык
  А 
бейнелеуі А-ға алмастыру деп аталады А
Алмастыру
А   болып та белгіленеді. 
f және g функциялары тең болады, егер төмендегі шарттар орындалса: 
•  Олардың анықталу облыстары біреу  -ол  Ажиыны; 
•  Кез-келген а   A  үшін  f(a) = g (a). 
Сәйкестік 
Міндетті түрде болу керек қасиеті 
Функционалды 
Толық 
анықталған 
Сюръективті 
Функция 
А-ны В-ға іштей 
бейнелеу 
А-ы В-ға толық 
бейнелеу 
+ 
+ 
+ 
 
+ 
+ 
 
 
+ 
f:  А1 А2 ... Аn 
  В  типті  функция  п  –орынды    функция  деп 
аталады.Бұл  жағдайда  функцияның  п  аргументі  бар  деп  түсіну 
келісілген.:f(а1,...,  аn)=b,  мұндағы  а1 А1,...,аn Аn,  b В.  Айталық,  G AхB 
сәйкестігі  берілсін.  Тек    (а,b) G  болса  ғана  (b,a) Н  болатын  H BхA 
сәйкестігі, G-ң кері сәйкестігі деп аталады және G-1 болып белгіленеді. 
Анықтама  Егер  f:A B  сәйкестігіне  кері  сәйкестік  функционалды 
болса (яғни әрбір b
f
 үшін бір ғана a
f
 болса), онда ол f функциясына кері 
функция деп аталады, f 
-1
 болып белгіленеді. 
Кері  сәйкестікте  образ  бен  прообраздың  орындары  ауысып 
келетіндіктен  f  функциясына  кері  функция  болу  үшін  f  :  A B  f 

функциясының  мәндер  жиынының  әрбір  b
 
f
  элементінің  жалғыз  ғана 
образы болу керек. 
Бұдан  f  :  A B  функциясы  өзінің  анықталу  облысы 
мен  мәндер  облысының  өзара    бір  мәнді  сәйкестігі  болса  ғана    оған  кері 
функция болатындығы көрінеді. 
Егер h(x) = g(f(x)), мұндағы, х А орындалса h:А С функциясы f және 
g функцияларының композициясы деп аталады және f(g) белгіленеді. 
Көбіне  h  функциясы  f  ті  g  –ң  орнына  қойғаннан  алынды  деп 
айтады.Көп орынды f: А
т
 
 В, g: В
n
 С функциясы үшін  f-ті  g –ға қоюдың 
әртүрлі варианттары бар. Нәтижесінде әртүрлі типтегі функциялар алынады.   
Мысалы, т = 3 және п = 4 үшін h = g (x
1
,  f(у
1
,у
2
, у
3
), х
3
, х
4
) функциясында 6 
аргумент бар ал оның типі   В   А
3
    В2 
 С. Аргументтерін басқаша атап   
f1,...,fn  функцияларын  бір-біріне  қойғаннан  алынған  функция  f1,...,fn  функ-
цияларының суперпозициясы деп аталады. Бұл суперпозицияны және функ-
ционалдық  белгі  мен  аргументтердің  символдарын  сипаттайтын  өрнек  
формула деп аталады. 
Функциялардың берілу тәсілдері: 
•  График түрінде; 
•  Кесте; 
•  Функцияны  басқа  функциялардың  суперпозициясы  түрінде  сипаттайтын 
формула  түрінде; 
Анықтама.  Егер  f 
-1
  сәйкестігі  толық  емес  функция  болса,  яғни    x
1
, 
x
2
f
  үшін,  x
1
x
2
  болғандығынан  f(x
1
) f(x
2
)  болса,  f  функция  инъективті 
(Инъекция)  функция  деп  аталады..Егер  f  –  инъекция  болса  f:
болып 
белгіленеді. 
Анықтама.  Егер 
G
    =  B  болса  f:A
B    функциясы  сюръективті 
(сюръекция)  функция деп аталады f:
В
А
толыќ
. 
Анықтама.  Егер  f  инъективті  және  сюръективті  болса,  ол  биективті 
деп аталады: f:A B 
Анықтама.  Егер  f  А-ы  В-ң  әр  түрлі  мәндеріне  бейнелесе,  онда  f 
функциясы  өзара  бір  мәнді  сәйкестік  немесе  биективті  функция  (биекция) 
деп  аталады.  Сонымен,  егер  функция  сюръективті  және  инъективті  болса, 
функция  биекция  болады.    Егер  f    А  мен  В  арасындағы  биекция  болса,  f  : 
A
B  болып  жазылады.  F:  A A  биекциясы  А  жиынының  (подстановка) 
алмастыруы деп аталады. 
Суретте графиктік түрде функциялар берілген 
 
}
4
,
3
,
2
,
1
{
],
1
,
0
[
]
1
,
0
[
:
i
f
i
 

f
1
 – сюръективті, инъективті емес 
f
2
 – инъективті, сюръективті емес 
f
3
 – инъективті, сюръективті – биекция 
f
4 
 - инъективті де емес, сюръективті де емес 
2- мысал: Үш функцияны қарастырайық 
:
3
,
2
,
1
,
:
i
R
R
f
i
  
1) 
x
e
x
f
)
(
1
 инъективті, сюръективті емес   
2) 
x
x
x
f
sin
)
(
2
 сюръективті, инъективті емес 
3) 
1
2
)
(
3
x
x
f
биективті;Негізгі әдебиет: 1[10-14]; 2[10-16]  
Қосымша әдебиет: 7[9-34]  
Бақылау сұрақтары: 
1.  Сәйкестік,бейнелеу,функциональды бейнелеу дегеніміз не?  
2.  Қандай  бейнелеулер  инъективті,  сюръективті,  биективті  деп 
аталады? 
3.  Кері функция бар болудың қажетті және жеткілікті шарты? 
 
2.4. Жиындардың қуаты  
 
Берілген  А  және  В  ақырлы  жиындарының  қуаттарының  теңдігін 
олардың элементтерін санау арқылы білуге болады. Мысалы,    A={a, b, c, 
d, e, f};  B={α, β, γ, δ, ε, ζ};    |A| = |B| =6. 
Жиындардың теңдігін білудің басқа да жолы бар: 
A 
a 
b 
c 
d 
e 
f 
B 
α 
β 
γ 
δ 
ε 
ζ 
Егер а  A  үшін бір ғана b B сәйкес болса және керісінше әрбір b B 
үшін  бір  ғана  a A  сәйкес  болса,  онда  А  және  В  жиындарының  арасында 
өзара бір мәнді сәйкестік бар дейді.Мұндай жиындар эквивалентті немесе тең 
қуатты жиындар деп аталады.  Айталық N натурал сандар жиыны болсын 1, 
2,  3,  4, 5, …, M  – олардың квадраттарының жиыны:  1,  4, 9, 16, 25, Олай 
болса, N ~ M. 
Натурал  сандар  жиынына  эквивалентті  жиындар  саналымды  жиындар 
деп аталынады. Саналымды жиын туралы мынадай теорема бар: 
1-Теорема.  Қандай  да  бір  жиын  саналымды  болу  үшін,  оның 
элементтерін шексіз тізбек түрінде кескіндеу қажетті және жеткілікті. 
2-Теорема.  Саналымды  жиынның  кез-келген  ішкі  жиыны  саналымды 
жиын. 
3-Теорема. Ақырлы немесе саналымды жиындардың бірігуі-саналымды 
жиын. 
Салдар.  Рационал  сандар  жиыны  саналымды  жиын.  Шынында  да 
барлық оң рационал сандарды шексіз кесте түрінде өрнектеуге болады:  
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … 
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, … 
3/1, 3/2, 3/3, 3/4., 3/5, … 
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, … 
…………………………, 

Бұл  кестені  сол  жақ  жоғарғы  бұрыштан  бастап  диагональ  бойымен 
айналуға болады. Бірақ барлық шексіз жиындар саналымды емес. 
Кантор  теоремасы.  [0;1]  кесіндісіндегі  барлық  нақты  сандар  жиыны 
саналымды  емес.  Теореманы  кері  жорып  дәлелдейміз  .  Айталық  бұл  жиын 
саналымды болсын. Демек, бұл жиынның барлық элементтерін шексіз тізбек 
түрінде өрнектеуге болады. 
Α
1
 =  0,а
11
а
12
а
13
а
14
… 
Α
2 
 =  0,а
21
а
22
а
23
а
24
… 
Α3  =  0,а31а32а33а34… 
……………………… 
Төмендегі тәртіппен В = b1b2b3b4…шексіз ондық бөлшек тізбегін  b1 ≠ 
a11,  b2  ≠  a22,  b3  ≠  a33  және  т.б.  құрайық.  Бұл  бөлшек  айтылған  тізбекке 
енбейді,  себебі  тізбектің  бірінші  мүшесінен  оның  бірінші  цифры  өзгеше, 
екіншісінен  екінші  цифры  өзгеше  т.б.  Ендеше  [  0;1]  кесіндісінің  барлық 
нақты  сандар  жиыны  саналымды  емес.  Бұл  жиынның  қуаты  континуум  (С 
қуатты), ал С қуатты жиын континуальды жиын деп аталады. 
Теорема.  [a,b]  кесіндісінің  бардлық  нақты  сандар  жиыны  континуум 
қуатты. 
Шынында  да  y=a+(b  -  a)x  функциясы  [  0;  1]  және  [  a;  b]  кесіндісінің 
нүктелерінің  арасында  өзара  бір  мәнді  сәйкестік  орнатады,  демек  [  a;  b] 
кесіндісіндегі  нақты  сандар  жиынының  қуаты  [  0;  1]  кесіндісіндегі  нақты 
сандар жиынының қуатындай. 
Теорема.  Континуум  қуатты  ақырлы  немесе  саналымды  жиындардың 
жиыны – континуум қуатты жиын болып табылады. 
1 Салдар. Барлық нақты сандар жиыны континуум қуатты. 

1
[}
1
;
[
[
;
1
{[
k
k
k
k
k
R
 
2 Салдар. Барлық иррационал сандар жиынының қуаты С. I=R/Q 
Негізгі әдебиет: 2[12-20];  3[10-43]  
Қосымша әдебиет: 7[9-34]  
Бақылау сұрақтары: 
1. 
Қандай жиын саналымды жиын деп аталады? 
2. 
Қандай жиындар континуум қуатты? 
3. 
Ақырлы  жиынға,  континуум  қуатты  жиындарға  мысал 
келтіріңіз. 
4. 
Жазықтықтағы нүктелер жиынының қуаты қандай? 
5. 
Екінің  дәрежесі  болатын  сандардан  құралған  жиынның 
қуаты қандай?  
 
2.5.  Қатынастар. Бинарлы қатынастар.  
 
Қатынастар–жиын немесе жиындар элементтерінің арасындағы өзара 
байланыстарды  беру  тәсілдері.  Қатынастардың  ішінен  унарлы,  бинарлы 
қатынастар  көбірек  белгілі.  Унарлы  (бір  орынды)  қатынастар  бір  жиын 
элементтерінің белгілі бір R қасиетінің болуын  бейнелейді.М жиынының R 

қасиетімен  (белгісімен)  ерекшеленетін  элементтерінің  жиыны  М-ң  бір  ішкі 
жиынын  құрайды.(Мысалы,  қобдишадағы  шарлардың  бір  бөлігінің    ақ 
болуы)  Оларды  унарлы  қатынас  деп  атайды,  R  мен  белгіленеді,  яғни  a R, 
R M.  
Бинарлы қатынастар. 
Бинарлы  қатынастар  М  жиынының  бір  жұп  элементтерінің  қандай  да 
бір  өзара  қарым-қатынасын  анықтауға  қолданылады.  Мысалы,  М  адамдар 
жиыны  десек  2  адамның  бір  қалада  тұруы,  бір  ұйымда  қызмет  істеуі, 
біреуінің екіншісінен жас болуы, әке мен бала болуы т. б. 
Анықтама  Екі  орынды  немесе  бинарлы  Р  қатынасы  деп  А,  В 
жиындарының  декарт  (тура)  көбейтіндісінің  (a,b)  жұптарынан  тұратын  ішкі 
жиынын айтады  және (a,b) P, P A B болып белгіле неді. А–Р қатынасының 
анықталу  облысы,  ал  В  мәндер    облысы  деп  аталады.Айталық,  P AxB 
қатынасы мына суреттегідей кескінделсін: 
 
Бинарлы  қатынас  бір  жиынның  ішінде  болса,  мысалы  М-жиынында 
болса          Р  қатынасы  (a,b) P,  P MхM=M
2
  немесе  (a,b) P,  аРb  болып 
белгіленеді.  Жалпы  жағдайда  n  орынды  R  қатынасы  деп  n  жиынның  тура 
(декарт) көбейтіндісінің R ішкі жиынын айтады: 
R   M
1 
x M
2 
x…x M
n
 
Егер (a
1
,a
2
,…,a
n
) R, ал (a
1
M
1
,…,a
n
M
n
) онда a
1
,a
2
,…,a
n
 элементтері R 
қатынасында делінеді. Егер n орынды R қатынасы М жиынында болса, яғни 
M
1
=M
2
=…=M
n
, онда R M 
n
. 
Бинарлық қатынастардың берілу тәсілдері. 
Бинарлық  қатынастар  жиын  болғандықтан,  жиынның  берілу 
тәсілдерінің бәрімен беріле   алады. Ақырлы жиындарда берілген қатынастар 
әдетте төмендегідей әдістермен беріледі: 
1.  Бинарлы  қатынас  орындалатын  жұптардың  тізімі    арқылы. 
Мысалы, A={2,3,4,5,6,7,8} жиыны берілсін. P={(x,y) | x,y A, y  x-ке бөлінеді  
және    x≤3}    бинарлы  қатынасын  P={  (2,2),  (2,4),  (2,6)  ,(2,8  )  ,(3,3)  ,(3,6)  }  
түрінде жазуға болады. 
2.  Графиктік  түрде:  Графиктік  кескіндеудің 
бірнеше түрлері бар: 
2.1. 
Координат 
өсьтеріне 
қатынастың 
элементтерін  белгі  леу  арқылы.  Алдыңғы  мысалды  
графикалық түрде  суреттегідей кескіндеуге болады.  
2.2.  А  мен  В  жиындарының  элементтерінің  арасындағы   Р  қатынасын 
стрелкалар арқылы көрсетуге болады.  

Мысалы,A={a,b,c}; 
B={1,2,3} 
жиындары 
берілсін. 
Олардың 
элементтерінің  арасындағы   
P1={(a,2),(b,1),(c,2)}  қатынасын  төмендегі  6-суретпен  кескіндеуге 
болады. 
 
2.3. Граф арқылы да кескіндеуге болады. Мысалы, P
2
={(a,b),(b,b),(c,a)} 
қатынасының граф түріндегі бейнесі 6-суреттегідей болады. 
3.  Бинарлы  қатынастың  матрица  арқылы  берілуі.A={a
1
,a
2
,…,a
n
} 
және  B={b
1
,…,b
n
}  ақырлы  жиындары  және  P AхB  бинарлы  қатынас 
берілсен.  Р  бинарлы  қатынастың  [P]=(P
ij
)  mхn  мөлшерлі  матрицасын 
төмендегі ережемен анықтаймыз: 
P
i j 
=  
болса
жо
аатына
бинарлы
егер
P
b
а
егер
болса
бар
аатына
бинарлы
егер
P
b
а
егер
j
і
j
і
)
,
(
,
0
)
,
(
,
1
  
Алынған 
бұл 
матрица 
элементтер 
арасындағы байланыс туралы толық ақпарат береді 
және  оны  компьютерге  өрнектеу  мүмкіндігі  бар.      
Мысалы,  Суретте  көрсетілгендей  P A
2
  A={1,2,3} 
бинарлы қатынасының матрицасы  
[P]=
0
0
1
1
0
0
1
1
1
;  P={(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(3,1)} 
2-мысал. M={1,2,3,4,5,6}. Егер Р   қатаң кіші болуды білдір се Р М х 
М  қатынасын  тізім  және  матрица  түрінде  бейнелеу  керек:  Р  қатынасы  М 
жиынының  a   b  болатын  элементтер  жұбынан  тұрады.  Р=
}
;
,
)
,
(
{
b
a
M
b
a
b
a
. 
Олай  болса,  Р  қатынасын  тізім  және  матрицамен  беруге  болады:    Р={  (1,2), 
(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3),  (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5),  (3,6), (4,5), (4,6)} ; 
Анықтама. Кез-келген жиын үшін анықталған 
Id
A
={(x,x)  |  x A}  қатынасы  тепе-теңдік  қатынас 
немесе  диагональ  қатынас  деп  аталады,  ал  U
A
⇌A
2
 
универсалды  немесе  толық  қатынас  деп  аталады.   
Айталық,  Р  –  бинарлы  қатынас  болсын.   
P
⇌{x  |  (x,y) P  қандай  да  бір  Y 
үшін}    жиыны  Р  қатынасының  анықталу  облысы  деп,  ал 
Р
⇌{y  |  (x,y) P 
қандай да бір Х үшін} жиыны   Р қатынасының мәндер жиыны деп аталады.   
Мысалы, A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}  жиынының P = {(x, y) | x, y   A, у  x  ке 
бөлінеді  және  х  ≤3}  қатынасы  үшін    P={(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6))  
қатынасы  мен  х={3}  үшін  анықталу  облысы 
Р
={2,3}.    Мәндер  аймағы 
Р
={2,3,4,6,8}; 
Бинарлы қатынастарға қолданылатын операциялар. 
Бинарлы қатынастар P M
1
хM
2
 (P M
2
, M
1
=M
2
=M)  жиын болғандықтан 
оларға жиынға қолданылатын барлық амалдар орындалады. Олар: 
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
P

1. Бірігу Р
1
Р
2
;                      Р
1
Р
2
={(a,b) | (a,b)   P
1
 немесе (a,b)   P
2
} 
2. Қиылысу  P
1
P
2
;               P
1
P
2
={(a,b) | (a,b)   P
1
 және (a,b)   P
2
} 
3. Айырым  P
1
\P
2
;                  P
1
\P
2
={(a,b) | (a,b)   P
1
 және (a,b)   P
2
} 
4. Толықтауыш 
P
;                
P
=U\P, мұндағы U=M
1
M
2 
(U=M
2
) 
5. Кері қатынас  P
-1
;               P
-1
 = {(a, b) | (b, a)   P}. 
P
-1
⇌{(y,x) | (x,y) P}  жиыны Р қатынасына кері қатынас деп аталады. 
Мысалы, Р-жас болу болса, P
-1
  үлкен болу, Р-баласы 
болу болса, P
-1       
әкесі болу. P (x)={y | (x,y) P қандай 
да бір х үшін}  Х жиынының Р  -ға  қатысты образы 
(бейнесі)  деп,  ал  P
-1
(x)  –  Х  жиынының  Р-ға  қатысты 
прообразы  деп  аталады.  Мысалы,  A={2,3,4,5,6,7,8} 
жиыны  берілсін.   
P={(x,y) | x,y A,y x-ке бөлінеді  және  x≤3}  бинарлы қатынасына  кері 
қатынас    P
-1
={(2,2),  (4,2),(6,2),  (8,2),(3,3),(6,3)};    X-ң    Р-ға  қатысты  образы   
P(x)={3,6};    X-ң    Р-ға  қатысты  прообразы  немесе    P
-1 
(  x  )=  {3}.6  Бинарлы 
қатынастың көбейтіндісі немесе Р
1
 мен Р
2
 композициясы Р
1
Р
2
. 
Айталық А,В,С жиындары  және Р
1
 ,Р
2
 қатынастары берілсін. 
Р
1 
 
АхВ және Р
2 
 ВхС бинарлы қатынастарының көбейтіндісі немесе Р
1
 мен Р
2
 
композициясы  бар болады яғни  (a,b)   Р
1
○Р
2       
 егер (a,z) P
1 
және (z,b) P
2
 
болатындай z B элемент табылса; Р
1
○Р
2
={(a,b) | a A, b C және (a,z) P
1 
. 
  
.
Дербес  жағдайда,  егер  Р  қатынасы  М  жиынында  анықталған  болса  
P M
2
, онда 
Р○Р={(a,b) | (a,c),(c,b) P} 
Мысалы  Р-баласы болу болса, онда Р○Р-немересі болу. 
Бинарлы қатынастардың  қасиеттері 
1.  А  жиынында  берілген  бинарлы  қатынас  болсын:  Р А
2
.Кез-келген 
х А үшін х Р х  қатынасы бар болса,  Р  қатынасы  рефлексивті деп аталады. 
(бір жиын ішіндегі жұптар қатынасы мы салы бір қалада тұру - рефлексивті).  
2.  Егер  х  Р  х  қатынасы  А  жиынның  бір  де  бір  элементі  үшін 
орындалмаса  Р  қатынасы  антиреф  лексивті  (баласы  болу  қатынасы  - 
антирефлексивті).  Антирефлексивті  матрицаның  бас  диагоналы  тек 
нөлдерден тұрады. 
3.  Егер  кез-келген  х,у А  үшін    (х,у) Р
(у,х) Р  болса,  яғни  Р
-1 
=P 
немесе[P]
T
=[P]  болса,  Р  қатынасы  симметриялы  деп  аталады.  Егер      x  A  y 
болудан у А х болса (бір фирмада жұмыс жасайды), онда А симметриялы. 
4.  Егер  (х,у  ) Р және  (у,х) Р болғандығынан  х=y  болса, яғни  P P
-1 
 
Id
A
,  онда  Р  қатынасы  антисимметриялы  деп  аталады,яғни  х  Р  у  және  у  Р  х 
қатынастары  әртүрлі  х  пен  у-тың  ешқан  дай  жұбында  бір  уақытта 
орындалмаса  (баласы  болу,  бастық  болу  -  антисимметриялы),  онда  бұл 
қатынас антисимметриялы. 
5.  Егер  (x,y) P  және  (y,z) P  болғандығынан  (x,z) P  болса,  (яғни 
Р Р Р)  онда  Р  –  транзитивті  қатынас  деп  аталады,яғни    х  Р  у  және  у  Р  z 
болудан x P z болса (жасырақ болу, інісі болу) Р-транзитивті болады. 

жүктеу/скачать 3,62 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: