Тақырып № 1 1. Математикалық талдауға кіріспе

Нақты санның геометриялық бейнесі-сандар өсіндегі нүкте және керісінше, сандар өсіндегі әрбір нүкте нақты санды анықтайды. Сондықтан «нақты сан», «сандар өсіндегі нүкте» терминдері бір мағыналы, яғни синонимді сөздер ретінде қолданылады.

Нақты сандар жиыны рационал және иррационал сандар жиындарының біріктірілуінен тұрады. Рационал сан деп екі бүтін санның қатнасы ретінде өрнектелетін санды айтады. Бұл сан шекті ондық бөлшек немесе периодты шексіз ондық бөлшек түріне келтіріледі. Иррационал сан периодты емес шексіз ондық бөлшек түрінде өрнектеледі. Егер сандар өсіндегі нүктенің координат басына дейінгі қашықтығы бірлік кесіндімен (масштабпен) өлшемдес болса, онда бұл нүкте рационал санның, өлшемдес болмаса иррационал санның бейнесі болады. Рационал сандар жиыны , иррационал сандар жиыны , ал нақты сандар жиыны әріпімен белгіленеді және болады.

«Нақты сандар жиыны» мен «нақты сандар өсіндегі нүктелер жиыны» туралы ұғымдар бір мағынада қолданылады да, қысқаша «сандар жиыны» немесе «нүктелер жиыны» деп айтылады.

Екі санмен шектелген нүктелер жиыны аралық деп аталады да деп белгіленеді. Егер аралықты шектейтін нүктелер осы жиынға енсе, онда бұл аралық сегмент деп аталады да деп, ал енбесе интервал делінеді де, деп белгіленеді; осы нүктелердің біреуі еніп екіншісі енбесе, онда аралық жартылай интервал немесе жартысегмент деп аталады да немесе деп белгіленеді. Интервал өзіне енетін кез келген нүктенің маңайы деп аталады. Центрі нүктесінде болатын ұзындығы -ге тең интервал осы нүктенің -маңайы деп аталды да деп белгіленеді.

Нақты сандар жиынының негізгі қасиеті-оның үзіліссіздігі. Бұл қасиет төмендегі теорема түрінде айтылады:

Төмендегі суретте осы теореманың геометриялық нұсқасы көрсетілген.

Мұндағы және сегментінің ұзындығы нөлге ұмтылатын шама, ал осы сегменттердің бәріне ортақ нүкте.

Өлшеу процесін қолдануға болатын әрбір объектің сандық мәні шама деп аталады. Табиғатты зерттейтін ғылым саласының тек өзіне тән шамалары болады. Атап айтқанда: физикадасалмақ, масса, жылу сыйымдылығы т.с.с.; химияда-атомдық салмақ, валенттілік, т.т.; геометриядакесіндінің ұзындығы, фигураның ауданы, дененің көлемі т.с.с.

Белгілі бір сандық мәнін сақтайтын шама тұрақты деп аталады. Әр түрлі сандық мәндер қабылдай алатын шама айнымалы делінеді. Әдетте, тұрақты шама латын алфавитінің алғашқы әріптерімен айнымалы шама соңғы әріптерімен белгіленеді.