Теорема 2. Компоненты несвязного замкнутого множества суть множества замкнутые.
Пусть F замкнутое множество и пусть , где . Допустим, что, например, А незамкнуто; тогда существует последовательность точек {рn} такая, что рп—>р и р не содержится в А. Так как { рn } и F замкнуто, то p и значит p .С другой стороны , значит , которое таким образом не пусто. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Всякое открытое множество U(p), содержащее данную точку р, мы будем называть окрестностью точки р; из определения следует, что U (р) является окрестностью для любой точки . Система окрестностей {U} называется базой пространства R, если для любой точки и любой её окрестности U(р) найдётся окрестность U(р) из базы такая, что
Всякое открытое множество может быть представлено как сумма окрестностей, составляющих базу. Действительно, по условию для каждой точки p найдётся окрестность U(р) базы такая, что Но тогда очевидно
В приложениях мы почти исключительно будем встречаться с метрическими пространствами, обладающими счётной базой:
Достарыңызбен бөлісу: |
