2.7 Коши-Буняковский теңсіздігі
Коши-Буняковский теңсіздігі норманы евклид кеңістігіндегі векторлардың скаляр көбейтіндісіне жатқызады. Мектептегі математика курсында да кездеседі.
Теорема 1.
Кез келген нақты сандар үшін , (n – 1-ден үлкен кез келген натурал сан) келесі теңсіздік орындалады:
немесе , Коши-Буняковский теңсіздігі деп аталады, ал
теңдігі мына шарт орындалғанда ғана орын алады: .
Дәлелдеу. болсын және 1 теореманың бекітулері анық ақиқат.
Енді сандарының ең болмағанда біреуі 0-ден өзгеше болсын.
Содан кейін келесі белгілерді енгіземіз: , , ,бұл түріндегі теңсіздіктіжазуғамүмкіндікбереді. Әлбетте, теңсіздік -ге тең болады, оның сол жағы үшмүшесінің дискриминантымен белгіленеді, бұл , X ∈ R көмекші функциясын қарастыруға мүмкіндік береді. , яғни үшін кез келген осы квадраттық функцияның мәні (оң коэффициенті бар ) теріс емес, бұл үшмүшенің дискриминанты o-ден кіші немесе тең, бұл дегенді білдіреді, басқаша айтқанда, кез келген нақты сандар үшін Коши-Буняковский теңсіздігі орындалады: және алынған қатынастағы теңдік дискриминант 0 болғандағана, яғни f (x) функциясының графигі Ox осіне тигенде ғана орындалады, демек теңдеуінің бір түбірі бар, яғни болғанда келесі теңдеулер жүйесі үйлесімді болады: .Теорема дәлелденді .
Коши-Буняковский теңсіздігінен шығатын салдар:
1) ;
2) .
Бұл қорытындылар айнымалылардың кез келген саны үшін жарамды. Коши және Коши-Буняковский теңсіздіктері ең алдымен әртүрлі теңсіздіктерді дәлелдеу үшін қолданылады, бірақ оларды қолдану қажеттілігі әрқашан анық көрінбейді. Сондай-ақ бұл теңсіздік мектеп бағдарламасында кездеседі. Мысалы, жазықтықтағы векторлар арасындағы бұрыштың косинусын табу формуласы:
;
Оң жақ теңдік – бұл белгілі бір бұрыштың косинусы, егер ол модуль бойынша 1-ден аспаса және бұл екі айнымалы үшін Коши-Буняковскийдің теңсіздігі болса:
,
және векторлар арасындағы бұрыш 0º немесе 180º болғанда ғана, яғни векторлар коллинеар болғанда ғана теңдік мүмкін болатыны анық.
Достарыңызбен бөлісу: |
