Решение.
Пусть банк начислял
𝑝%
годовых. Тогда Алексей за все время получил
7700(1 + 0,01𝑝%)
2
рублей, а Борис за один год получил
7700(1 + 0,01𝑝%)
рублей.
Обозначим
𝑥 = 1 + 0,01𝑝
, тогда поскольку Алексей получил на 847 рублей больше,
имеем:
7700𝑥
2
− 7700 = 847
.
Решая это уравнение получаются корни:
𝑥
1
= 1,1; 𝑥
2
= −0,1.
Так как
𝑥 > 0
, то
остается только корень
𝑥
1
= 1,1
, откуда получается
𝑝 = 10
. Таким образом, банк начислял
вкладчикам по 10% годовых.
Следующий вид уравнений — иррациональные уравнения.
Уравнения называются иррациональными, если в таких уравнениях переменные
содержатся под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
Основными методами решения иррациональных уравнений являются следующие:
1)
метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2)
метод введения новых переменных.
В некоторых случаях следует применять различные искусственные приемы.
231
Научный журнал «Инновации. Наука. Образование»
Индексация в РИНЦ
н
Инновации. Наука. Образование
Рассмотрим примеры по каждым методам.
№1.
√3𝑥 + 1 − √𝑥 + 5 = 1.
√3𝑥 + 1 = 1 + √𝑥 + 5 ⇔ 3𝑥 + 4 = 1 + 2√𝑥 + 5 + 𝑥 + 5 ⇔ 3𝑥 − 𝑥 + 4 − 1 − 5 = 2√𝑥 + 5
⇔ 2𝑥 − 2 = 2√𝑥 + 5 ⇔ 𝑥
2
− 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 5 ⇔ 𝑥
2
− 3𝑥 − 4 = 0
⇔ 𝑥
2
+ 𝑥 − 4𝑥 − 4 = 0 ⇔ (𝑥
2
+ 𝑥) + (−4𝑥 − 4) = 0 ⇔
𝑥(𝑥 + 1) − 4(𝑥 + 1) = 0 ⇔ (𝑥 − 4)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1
Необходимо сделать проверку.
Если
𝑥 = 4
, то
√3 ∙ 4 + 4 − √4 + 5 = 1 ⇔ 1 = 1
. Если
𝑥 = −1
, то
√3 ∙ (−1) + 4 −
√(−1) + 5 = 1 ⇔ −1 = 1.
Следовательно, верный корень
𝑥 = 4
.
№2.
√𝑥 − 3 − 6 = √𝑥 − 3
4
.
Чтобы решить такое уравнение, нужно выбрать второй метод — метод введения
новых переменных.
Сделаем замену переменных:
𝑡 = √𝑥 − 3
4
.
Тогда изначальное уравнение примет вид:
𝑡
2
− 𝑡 − 6 = 0
.
В ходе решения уравнения получаем два корня
𝑡 = −2; 𝑡 = 3
. Тогда получается
√𝑥 − 3
4
= −2; √𝑥 − 3
4
= 3.
Первое уравнение действительных корней не имеет, второе
уравнение имеет корень
𝑥 = 84
.
Обязательно нужно выполнить проверку.
√84 − 3 − 6 = √84 − 3
4
⇔ 3 = 3.
Следующим шагом изучения различных видов уравнений будут изучение методов
решения показательных уравнений.
Основные методы решения показательных уравнений:
1)
переход от уравнения
𝑎
𝑓(𝑥)
= 𝑎
𝑔(𝑥)
к уравнению
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
;
2)
введение новых переменных.
Иногда приходится применять искусственные приемы.
Рассмотрим некоторые примеры.
№1.
4
𝑥
2
−3𝑥
= 2
2𝑥−6
Так как основания одинаковые, то можно приравнять степени:
𝑥
2
− 3𝑥 = 2𝑥 − 6
Остается только решить данное уравнение. Корни уравнения
𝑥
1
= 2, 𝑥
2
= 3.
232
Научный журнал «Инновации. Наука. Образование»
Индексация в РИНЦ
н
Достарыңызбен бөлісу: |