Практикалық бөлімі Ықтималдықтар теориясына есептер шығару Кездейсоқ оқиғалар Бірінші мысал

Бір факторлы дисперсиялық талдау

Бұл жағдайда зерттелініп отырған Х сандық сипатты белгісіне бір ғана сапалық фактордың әсерінің бар-жоғы тексеріледі. Сапалық фактордың m деңгейінің әрқайсысында сандық сипатты белгінің байқалған мәндері сынақ арқылы анықталады. Сонымен, мынадай шамалар анықталады:

б) Байқаулардың жалпы саны

в) Группалық орташалар

г) Жалпылама орташа

е) Қалдық дисперсия

Но=
Ол үшін мынадай статистикалық критерий анықталады

-ны анықтаймыз.

Сонда, егер болса, онда Но гипотезасын жоққа шығаруға негіз жоқ болады, егер болса, онда нөлдік гипотеза қабылданбайды, яғни сапалық фактордың зерттелініп отырған көрсеткішке тигізетін әсері мол деп айта аламыз.

Мысал 1 Бір типтес өнім шығаратын үш фабрикадағы мамандықтары бірдей жұмысшылардың еңбек өнімділігіне бір сапалық фактордың (еңбекті ұйымдастырудың) тигізетін әсерін маңыздылық деңгейінде анықтау керек. Бұл есепте сынақ арқылы анықталған жұмысшылардың еңбек өнімділігі базалық еңбек өнімділігі ретінде қабылданған бірлікке қатынасы арқылы төмендегі кестесі берілген:
Реттік нөмірі j x x x
1 1,3 1,4 1,27
2 1,27 1,3 1,05
3 1,09 1,28 1,24

4 1,01 1,22

5 1,09
Шешуі: Сонымен
Енді группалық орташаларды анықтаймыз

Сонда жалпылама орташа

Ары қарай, факторлық дисперсияны табамыз

Кесте 2
Рет

-тік
нө-

мірі
1 1,148 0,0219 0,073 0,0053 0,075 0,0056

0,0635 0,0082 0,0292

Сонымен Онда

ал таблицадан осыдан яғни сапалық фактор еңбек өнімділігіне әсер етпейді деп айта аламыз.
Есептер
1. Сапалық фактордың 4 деңгейінде жүргізілген сынақтардың нәтижесі төмендегі кестеде берілген. Дисперсиялық талдау әдісімен 0,05 маңыздылық деңгейінде группалық бас орташалардың теңдігі туралы нөлдік гипотезаны тексеру керек.
Реттік нөмірі х х х х
1 47 54 52 57
2 50 56 54 61
3 58 61 55
4 67 64
5 66

2. 14 сынақтың 7-уі сапалық фактордың бірінші деңгейінде, 3-уі екінші деңгейінде, ал 4-уі үшінші деңгейінде жүргізілді.

маңыздылық деңгейінде осы фактордың зерттелініп отырған көрсеткішке әсерінің бар-жоғын тексеру қажет. Сынақ нәтижелері төменгі кестеде берілген

Реттік нөмірі х х х

6 40,20
7 42,28

3. Сапалық фактордың 5 деңгейінде жүргізілген сынақтардың нәтижесі төмендегі кестеде берілген. маңыздылық деңгейінде группалық бас орташалардың теңдігі туралы нөлдік гипотезаны тексеру керек.

Реттік нөмірі х х х х х
1 126 115 74 83 80
2 133 119 87 87 80
3 141 122 88 97 82

4 147 128 94 106 86

4. Сапалық фактордың 6 деңгейінде жүргізілген сынақтардың нәтижесі төмендегі таблицада берілген. маңыздылық деңгейінде группалық бас орташалардың теңдігі туралы нөлдік гипотезаны тексеру керек.

Реттік х х х х х х

4 66 64 58 63 56

5. Қаладағы 5 автобус паркінде автобустардың жүру кестесін бұлжытпай орындауы кездейсоқ таңдамалық тәсілмен сыналды. Базалық бірлікке қатынасы бойынша берілген осы сынақ нәтижелері төменгі кестеде. маңыздылық деңгейінде осы көрсеткішке бір сапалық фактордың (еңбекті ұйымдастырудың) қаншалықты әсері бар екенін тексеру керек.

Реттік х х х х х
нөмірі

1 1,21 1,33 1,44 1,61 1,34

6. Сапалық фактордың 4 деңгейінде жүргізілген сынақ нәтижелері төмендегі кестеде берілген. маңыздылық деңгейінде группалық бас орташалардың теңдігі туралы нөлдік гипотезаны тексеру керек.

Реттік х х х х

1 1,6 1,58 1,46 1,51

7. маңыздылық деңгейінде группалық бас орташалардың теңдігі туралы гипотезаны тексеріңіз.

Реттік нөмірі х х х
1 37 60 69
2 47 86 100
3 40 67 98
4 60 92
5 95

6 98

8. маңыздылық деңгейінде төмендегі болжамды Но: а тексеріңіз.

Реттік нөмірі х х х

4 29 30 37

9. маңыздылық деңгейінде мына болжамды тексеріңіз

Но: .

Реттік нөмірі х х х х

10. «Бюффон есебі».Жазықтықта бір-бірінен 2а қашықтықта орналасқан паралель түзулер сызылған болсын.Жазықтыққа қалай болса солай ұзындығы 2l (l

(сурет- А).Әрине, х пен  иненің жағдайын толық анықтайды.Элементарлық оқиғалар кеңістігі тік төртбұрыш болады. E=.Әрбір (х, )Е нүктесі тең мүмкіндігі деп ұйғарамыз.Ине түзуде х шарты орындалғанда ғана қияды. C арқылы (сурет-В) штрихпен көрсетілген облысты белгілелік: С= формуланы пайдаланып, ізделінді ықтималдықты табамыз: формуласы арқылы  санын, тәжірибе жүргізе отырып, есептуге болатынын ескерте кетелік.Ине жазықтыққа n рет лақтырылған болсын және түзуді ине m рет қиып түссін делік. Сонда жиіліктік ықтималдық бойынша жиілігі P(C) ықтималдығына жақындайды, демек, , бұдан .

2a

 Y