§ С. ВЫ ЧИ СЛИ ТЕЛЬН Ы Е ЗАДАЧИ
27
*) Здесь принято, что если р (9) < 0, то на соответствующем луче точки
графика нет.
Г Л А В А ГІ
ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. Основные определения
Ф у нк ц и и ц е л о ч и с л е н н о г о а р г у м е н т а
176. Функция целочисленного аргумента принимает значения
»j = 0,9;
щ = 0,99;
ия = 0,999; ...,
ип— 0,999 ... 9; ...
и
раз
Чему равен lim ип? Каково должно быть п, для того чтобы абсолют-
Т1—
►
СО
пая величина разности между ип и ее пределом была не больше 0,0001?
177.
Функция
ип
принимает значения
1
1
1
1
иі = 1;
щ — j ;
щ — -у-; •••;
«я = -г;
Найти lim ип. Каково должно быть и, для того чтобы разность
/г
—
*00
между ип и ее пределом была меньше заданного положительного числа е?
178.
Доказать, что
ип = ” ~
| стремится к
1
при неограниченном
возрастании п. Начиная с какого и абсолютная величина разности между
ип и 1 не превосходит 10~4?
179. Функция vn принимает значения
Зл
пл
cos
vi = —
v.2 = ~ - ;
іһ =
COS
-гг
COS
-С-
COS
2
cos л
2
2
Найти lim vn. Каково должно быть п, для того чтобы абсолютная
Я—
►
СО
величина разности между vn и ее пределом не превосходила 0,001?
Принимает ли vn значение своего предела?
1
5
7
180. Общий член ип последовательности ггі = -rj-, щ = -
—
17
2" — 1
2'Ч- 1
... имеет вид —^
ті
— , если п — нечетное число, и — ф— ,
если п — четное число.
§ 1. ОСНОВНЫЕ О П РЕД ЕЛЕНИ Я
29
Найти lim ип. Каково должно быть п, для того чтобы разность
«-►00
между ип и ее пределом по абсолютной величине не превосходила 10~‘5;
данного положительного числа е?
‘\п- 4-1
181.
Доказать, что последовательность
ип = ^ ф 9
при неограни-
4
ченном возрастании п стремится к пределу, равному ү , монотонно воз
растая. Начиная с какого п, величина
— ип не превосходит данного
положительного числа е?
1/ /J-
Q*
182. Доказать, что ип — -- ---- при неограниченном возрастании п
имеет пределом 1. Начиная с какого п, величина | 1— ип | не превосхо
дит данного положительного числа е?
Какой характер имеет предельное изменение переменной //„?
183. Функция vn принимает значения биномиальных коэффициентов:
т (т — 1)
гп (т — 1) (т — 2)
Vi — т ,
v-i —
| _ 2
>
—
1. 2*3
’ ’ * ‘ ’
__т {т — 1) (т — 2)... [(/« — (п — 1)]
1*2*3...«
где т — целое положительное число. Найти lim vn.
П-+СО
184. Доказать, что последовательность ип= 1 -f-(— 1)" не имеет пре
дела при неограниченном возрастании п.
185. Доказать, что при неограниченном возрастании п последова-
2« + (— 2)«
тельность ii,i= -~фі—
не имеет предела, а последовательность
2
«
_і_
/__ 2Уг
vn= —
— — имеет предел. Чему он равен?
186. Имеет ли предел последовательность:
. ПК
Sin
-ту
1) H„ = » s in ^ ;
2) = - ( я > 1)?
187. Доказать теорему: если последовательности нь гь,
ип, ...
и vlt и2, ..., vn, ... стремятся к общему пределу а, то к тому же пре
делу стремится и последовательность щ,
ио, г** ..., ию vn, ...
188. Доказать теорему: если последовательность uh ш, ..., ип, ...
стремится к пределу а, то к тому же пределу стремится любая ее бес
конечная подпоследовательность (например, и\, щ, щ, ...).
189. Последовательность и 2, ..., и,„ ... имеет предел а Ф 0. Дока
зать, что lim І^±і==і. Что можно сказать об этом пределе, если а = 0?
П-* СО
(Привести примеры.)
Ф у н к ц и и н е п р е р ы в н о г о а р г у м е н т а
190. Дано у = х 1. Когда х - *2 , то у-+ 4. Каково должно быть 8,
чтобы из \ х — 2|<^о следовало \у — 4 |
в = 0,001 ?
191. Пусть у === ~тг"i’ ’г. При х-+2 имеем:
Каково должно
Л*- “~р 1
о
3
быть о, чтобы пз | х — 2 }<^о следовало у ---^ <Г 0,1 ?
О
192. Пусть y =
, у При х — 3 имеем: у
. Каково должно
быть 8, чтобы пз | х — 3 j <^8 следовало
— у <^0,01?
193. Доказать, что sin а: стремится к единице при х —у тс/2. Каким
условиям должен удовлетворять л* в окрестности точки лг = тс/2, чтобы
имело место неравенство 1— sin д:<^ 0,01 ?
194. При неограниченном возрастании х функция у = ^
.- стре-
X “у” 1
мится к нулю: lim
j.■
— = 0. Каково должно быть N, чтобы из|лг|^>Л^
д--оэл“ “ Г 1
следовало у<^ з?
V3 — 1
195. Если Х - +
0 0
, то у — '
>
• 1. Каково должно быть N, чтобы
х3 -(- S
пз | jc |
А/ следовало | у — l |<^s?
Достарыңызбен бөлісу: |