Ф-жоокб-01/018 Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі

F (х₁ , х₂ , . . ., х_n )  max (min) (9.4)

g₁( х₁ , х₂ , . . ., х_n ) ≤ b₁ , 1=1,m (9.5)
Бұл есепті шешу үшін Лагранж көбейткіштер әдісін қолдануға болады. Ол бойынша λ₁, λ₂, . . . , λ_m деген белгісіз айнымалыларды енгіземіз; олар Лагранж көбейткіштері деп аталады. Осыдан кейін Лагранж функциясы құрастырылады:

Z (х₁ , х₂ , . . ., х_n) = F + λ₁ [b₁ g₁ (х₁ , х₂ , . . ., х_n)] (9.6)

Осы Лагранж функциясының бірінші туындыларын нөлше теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін алады:

∂Z/∂X_j = ∂F/∂X_j - λ_j , ∂ g_j/∂X_j = 0 (j = 1, n )

∂Z/∂ λ₁ = b₁ - g₁ (х₁ , х₂ , . . ., х_n) = 0, (1 = 1, m ) (9.7)
Бұл теңдеулер жүйесінің кез келген шешімі F функциясының экстремумы береді.

Сонымен Лагранж әдісінің шешу жолы былайша жазылады:

1. 
   Лагранж функциясын (9.6) құрастыру
   
2. 
   Лагранж функциясының туындыларын тауып, оларды нөлге теңестіру керек.
   
3. 
   Осыдан алынған (9.7) теңдеулер жүйесін шешу.
   
4. 
   Осы шешімдердегі мақсат функциясының мәндерін тауып, салыстыру арқылы мақсат функциясының максимумын немесе минимумын анықтау.
   

Есеп.

х₁ + х₂ + х₃ = 4

2х₁ - 3х₂ = 12
Шешуі:

1. Лагранж функциясын құрастырамыз:

Z = х₁ ² + х₂ ² + х₃ + λ₁ (4 - х₁ - х₂ - х₃) + λ₂ (12 - 2х₁ +3 х₂)
2.Лагранж функциясының туындыларын нөлге теңестіреміз:

∂Z/∂х₁ = 2х₁ - λ₁ - 2 λ₂ = 0 ;

∂Z/∂х₂ = 2х₂ - λ₁ - 3 λ₂ = 0 ;

∂Z/∂х₃ = 1 - λ₁ = 0 ;

∂Z/∂х₂ = 12 - 2х₁ +3 х₂ = 0 ; Осы теңдеулер жүйесінің шешуі:

λ₁ = 1; λ₂ = 50/26; х₁ = 63/26; х₂ =31/13; х₃ =103/26

4. Мақсат функциясының осы шешімге сәйкес мәнін табамыз:

F _min = (63/26)² + (31/13)² + 103/ 26 = 807/52 .