Тема 3. ОБЪЕМЫ ТЕЛ. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

б) Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной оси и отсекающей
на окружности основания дугу
a
. Диагональ сечения равна d и состав
ляет с плоскостью основания угол
b
. Найдите объем цилиндра.
в) Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиуголь
ную призму, у которой каждое ребро равно а.
г) Площадь осевого сечения цилиндра составляет
1
3
площади осно
вания цилиндра. Найдите его объем, если площадь основания равна S.
д) Докажите, что если два цилиндра имеют равные объемы и равные
площади разверток, то такие цилиндры равны.
е) Среди всех цилиндров, у которых осевое сечение имеет одну и ту
же диагональ, равную d, найдите цилиндр, имеющий наибольший объ
ем. Чему равен этот объем?
76. а) В прямой круговой цилиндр вписана треугольная призма
ABCA
1
B
1
C
1
. В основании призмы лежит прямоугольный
D
AВС. Отре
зок, соединяющий вершину A
1
с серединой ребра ВС, равен l и накло
нен к плоскости AВС под углом
a
. Найдите объем призмы. Задаются ли
этими данными цилиндр и призма?
б) В условие задачи 76, а добавим, что
D
AВС — равнобедренный. Не
будет ли это условие лишним? Решите вновь составленную задачу.
в) Как еще можно дополнить условие задачи 76, а? Составьте еще
одну задачу и решите ее.
77. а) В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро рав
но b и образует с плоскостью основания угол
a
. В эту пирамиду поме
щен прямой круговой цилиндр с квадратным осевым сечением так, что
одна из его образующих расположена на диагонали основания пирами
ды, а окружность каждого основания касается двух смежных боковых
граней пирамиды. Найдите объем цилиндра.
б) В правильный тетраэдр с ребром а поместите равносторонний
цилиндр так, чтобы одно из оснований цилиндра содержалось в осно
вании тетраэдра, а окружность второго основания касалась трех боко
вых граней. Найдите объем этого цилиндра.
в) В куб с ребром а поместите равносторонний цилиндр так, чтобы
его ось лежала на диагонали куба, а окружности оснований цилиндра
касались граней куба. Найдите объем этого цилиндра.
78. а) Докажите, что объем прямой треугольной призмы равен поло
вине произведения площади боковой грани на расстояние ее от проти
—
159
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

воположного ребра. Сформулируйте аналогичное планиметрическое
предложение.
б) Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция,
боковая сторона которой равна 15, а основания равны 25 и 7. Диагональ
призмы равна 29. Найдите объем призмы.
в) Найдите объем прямой треугольной призмы, зная, что ее основа
ние — прямоугольный треугольник; радиус окружности, описанной
около основания, равен R и диагонали наибольшей и наименьшей бо
ковых граней составляют с основанием углы
a
и 2
a
.
г) Около призмы, в основании которой лежит трапеция с основа
ниями а и b, описан шар радиуса R. Высота призмы равна H. Найдите
объем призмы.
79. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треуголь
ник, у которого один из острых углов равен
a
, а высота, проведенная из
вершины прямого угла на гипотенузу, равна h. Найдите объем призмы,
если известно, что в нее можно вписать шар.
80. а) Около шара радиуса R описана правильная треугольная приз
ма. Найдите ее объем.
б) Основанием призмы служит правильный треугольник, вписан
ный в окружность радиуса R. Боковые грани призмы — квадраты. Най
дите объем этой призмы.
в) В шар радиуса R вписана правильная треугольная призма. Боко
вое ребро призмы равно радиусу шара. Найдите объем призмы.
81. а) Основанием прямого параллелепипеда служит параллело
грамм, у которого одна из диагоналей равна 17, а стороны — 9 и 10. Пло
щадь поверхности параллелепипеда равна 334. Найдите его объем.
б) Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм,
стороны которого равны 20 и 21, а площадь боковой поверхности равна
246. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 5. Найдите объем па
раллелепипеда.
в) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 25 и 39.
Площади его диагональных сечений равны 204 и 336. Найдите объем
параллелепипеда.
г) Диагонали прямого параллелепипеда равны 92 и 88, а стороны ос
нования — 15 и 16. Найдите объем параллелепипеда.
д) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, диагонали
которого относятся как 5 : 16. Зная, что диагонали параллелепипеда
равны 13 и 20, найдите объем параллелепипеда.
—
160
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

82. а) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и со
ставляет с плоскостью основания угол в 30
°
, а с плоскостью боковой
грани — угол в 45
°
. Найдите объем этого параллелепипеда.
б) Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: