Ііі-бөлім. Интерполяция және функцияны жуықтау 1 Функцияны жуықтау Есептің қойылымы және негізгі ұғымдар

жүктеу/скачать 0,82 Mb.

бет	4/6
Дата	01.03.2023
өлшемі	0,82 Mb.
	#170668

1 2 3 4 5 6

Байланысты:
3-ши болим

Мысал 1.

	1	3	4
f(x_i)	12	4	6

Кесте түрінде берілген функция үшін Лагранж интерполяциялық көпмүшелігін анықтаңдар.
Кестеден болатындығы оңай анықтауға болады, (яғни (3.2.4) көпмүшеліктің дәрежесі екіден аспайды) . (3.2.4) формуласын қолданып,

болатындығын аламыз.
Мысал 2.

	1	2	3	5
f(x_i)	1	5	14	81

Кесте түрінде берілген функция үшін Лагранж интерполяциялық көпмүшелігін анықтаңдар. , .
Көпмүше дәрежесі үштен аспайтын Лагранж көпмүшесін аламыз.

Мысал 3. функциясы кесте түрінде берілген.

	0	1	2	6
f(x_i)	-1	-3	3	1187

Лагранж интерполяциялық көпмүшелігін қолданып нүктедегі функцияның мәнін табайық.
Шешімі:

Тапсырмалар. Лагранж интерполяциялық көпмүшелігін қолданып, берілген нүктелердегі функцияның жуық мәнін анықтаңдар.
Кесте 1. x=1,382

	1,375	1,380	1,385	1,390	1,395	1,400
	5,0419	5,1774	5,3201	5,4706	5,6296	5,7978

Кесте 2. x=0,138

	0,115	0,120	0,125	0,130	0,135	0,140
	8,6572	8,2932	7,9582	7,6489	7,3623	7,0961

Кесте 3. x=0,164

	0,150	0,152	0,160	0,167	0,200	0,215
	6,6165	6,3998	6,1965	6,0055	5,8255	5,6558

Кесте 4. x=0,222

	0,210	0,216	0,218	0,225	0,240	0,245
	4,8317	4,7226	4,6185	4,5191	4,4242	4,3333

2. Ньютон көпмүшелігі. Осыған дейін интерполяциялық түйіндердің орналасу заңдылығы туралы ешқандай болжам айтылған жоқ. Енді интерполяция түйіндері бір-бірінен бірдей арақашықтықта орналасу жағдайын қарастырамыз, яғни , ; h – интерполяция қадамы.
Алдымен ақырлы айырымдар ұғымын енгізейік.
түйініндегі функцияның , мәндері белгілі болсын, яғни Функция мәндерінің айырымдарын құрайық:

Бұл функцияның бірінші ретті айырымы деп аталады. Жалпы жағдайда

Функцияның екінші ретті айырымдарды құруға болады:

Дәл осылайша k ретті айырымдар құрылады:

Ақырлы айырымдарды функцияның мәндері арқылы да өрнектеуге болады. Мысалы,

Дәл осылайша нүктесіндегі кез-келген -шы айырым мәні
(3.2.6)
тең болады. Осы формуланы ескере отырып, түйіндегі айырым мәні келесі түрде болады:
.
Ақырлы айырымдарды қолдана отырып мәнін анықтаға болады:
.
Ньютон интерполяциялық көпмүшелікті құруға көшейік. Оны келесі түрде іздестіреміз:
(3.2.7)
Көпмүшелік графигі берілген түйіндер арқылы өту керек, яғни , Осы шартты (3.2.7) көпмүшеліктің коэффициенттерін анықтау үшін қолданамыз:

Осыдан коэффициенттерін анықтайық:

Дәл осылайша басқа да коэффициенттерді табуға болады. , коэффициенттердің жалпы формуласы келесі түрде болады:
,
Осы өрнекті (3.2.7) формуласына қойып, Ньютон интерполяциялық көпмүшелікті аламыз:
(3.2.8)
ақырлы айырымдар (3.2.6) формуласымен анықталады.
(3.2.8) формуласы көбіне басқа түрде жазылады. Ол үшін жаңа айнымалы енгізіледі онда

Осы формулаларды ескере отырып, (3.2.8) Ньютон интерполяциялық көпмүшелігі келесі түрде болады:
(3.2.9)
Алынған көпмүшелік берілген функциясын кесіндідегі барлық нүктелерде жуықтайды. Бірақ есептеулердің дәлдігін жақсарту үшін және (3.2.9) формулада мүшелер санын азайту үшін (3.2.9) формуласын үшін қолданған дұрыс. Аргументтің басқа мәндері үшін, мысалы үшін, (3.2.9) формулада - дің орнына -ді алған дұрыс. Осылайша, Ньютон интерполяциялық көпмүшелікті келесі түрде жазуға болады:
(3.2.10)
(3.2.10) формуласы Ньютонның бірінші интерполяциялық көпмүшелігі деп аталады және қарастырылып отырған кесіндінің бірінші жартысында орналасқан нүктелердің функциядағы мәнін анықтау үшін қолданылады. Бұл келесі жағдаймен түсіндіріледі: ақырлы айырымы келесі функция мәндері арқылы есептелінеді , мұндағы ; сондықтан i-дің үлкен мәндерінде біз жоғары ретті айырымдарды есептей алмаймыз . Мысалы, болған жағдайда (3.2.10) формуласында тек және айырымдар ғана есептелінеді.
Ал кесіндінің екінші жартысында орналасқан нүктелердің функциядағы мәнін анықтау үшін (3.2.8) формуласында жаңа айнымалы енгізіледі, онда Ньютон интерполяциялық көпмүшелік келесі түрде болады:
(3.2.11)
(3.2.11) формуласы Ньютонның екінші интерполяциялық көпмүшелігі деп аталады.

Мысал. Кесте түрінде берілген функциясының Ньютон интерполяциялық көпмүшелік формулаларын қолданып, х=0,1 және x=0,9 нүктелердегі функцияның мәнін анықтаңдар.

x_i	y_i	∆y_i	∆²y_i	∆³y_i	∆⁴y_i	∆⁵y_i
0	1,2715	1,1937	-0,0146	0,0007	-0,0001	0
0,2	2,4652	1,1791	-0,0139	0,0006	-0,0001
0,4	3,6443	1,1652	-0,0133	0,0005
0,6	4,8095	1,1519	-0,0128
0,8	5,9614	1,1391
1,0	7,1005

Бұл жағдайда h=0,2. х=0,1 [0; 0,2] кесіндіде орналасқандықтан, және . Онда (3.2.9) формуласы бойынша

Функцияның x=0,9 нүктедегі мәнін (3.2.11) формуласымен анықтаймыз. Бұл жағдайда x=0,9  [0,9; 1] болғандықтан, және Онда

Тапсырмалар. Ньютонның бірінші немесе екінші интерполяциялық формулаларын қолданып, берілген аргументтердің функциядағы мәнін анықтаңдар
1)

	1,215	1,220	1,225	1,230	1,235	1,240	1,245	1,250	1,255	1,260
	0,106044	0,113276	0,119671	0,125324	0,139328	0,134776	0,138759	0,142367	0,145688	0,148809

1,2273 1,210 1,2336 1,2638.
2)

	1,415	1,420	1,425	1,430	1,435	1,440	1,445	1,450	1,455	1,460
	0,888551	0,889599	0,890637	0,891667	0,892687	0,893698	0,894700	0,895693	0,896677	0,89861

1,4161 1,4625 1,4135 1,4565.
3)

	0,101	0,106	0,111	0,116	0,121	0,126	0,131	0,136	0,141	0,146
	1,26183	1,27644	1,29122	1,30617	1,32130	1,33660	1,35207	1,36773	1,38357	1,39959

0,1026 0,1440 0,099 0,151.
4)

	0,180	0,185	0,190	0,195	0,200	0,205	0,210	0,215	0,220	0,225	0,230
	5,61543	5,46693	5,32634	5,19304	5,06649	4,94619	4,83170	4,72261	4,61855	4,51919	4,42422

0,1817 0,2275 0,175 0,2375.
5)

	1,340	1,345	1,350	1,355	1,360	1,365	1,370	1,375	1,380	1,385
	4,25562	4,35325	4,45522	4,56184	4,91306	5,04192	5,17744	5,32016	5,47069	5,62968

1,3617 1,3921 1,3359 1,3995.

жүктеу/скачать 0,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6