ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти регулярный метод решения задачи (1.1), под регулярностью метода понимается его устойчивость к малым погрешностям исходных данных и промежуточных результатов возникающих по ходу решения задачи.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.
Предлагаемый нами ниже метод решает один частный случай, поставленной выше задачи (1.1). Пусть - унитарный и самосопряженный оператор, обладающий свойствам:
 (1.3)
т.е. оператор  - самосопряжен. Поскольку  - вполне непрерывный оператор, то - самосопряженный и вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве  . Если  , то  , откуда  , следовательно  , т.е. ядро оператора состоит лишь из нуля. По теореме Гильберта – Шмидта:
 (1.4)
где  - собственные значения оператора , а  - ортонормированные собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям. Если в формуле (1.4) все  ,  , то , откуда , то есть система собственных векторов , полна в пространстве . Следовательно, система собственных векторов , образуют ортонормированный базис пространства .
Пусть уравнение (1.1) имеет решение , действуя оператором на обе части уравнения (1.1), получим
Достарыңызбен бөлісу: |
