Информационное письмо



бет16/29
Дата28.12.2021
өлшемі1,85 Mb.
#128954
түріЛекции
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   29
Байланысты:
Силлабус теоретические основыДУ и выч матем маг

Литература: [13] гл.2 §5-9
12 неделя

Тема: Решение систем линейных уравнений. Точные методы.

Содержание лекции: Методы решения систем линейных уравнений. Формула Крамера. Метод Гаусса.

Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы:

1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.),

2) итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу их относятся метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна. При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Заметим, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Формулы Крамера. Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

(1)
Обозначим через

(2)
матрицу из коэффициентов системы (1), через



— столбец ее свободных членов и через — искомый вектор

Если матрица А— неособенная, т. е.




то система (1), или эквивалентное ей матричное уравнение , имеет единственное решение. Введем

Получим формулы Крамера.



Наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных. Этот метод носит название метода Гаусса. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными




(3)
Пусть а11≠0 (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (3) на этот элемент получим:



(4)


Пользуясь уравнением (4), легко исключить из системы (3) неизвестную x1 Для этого достаточно из второго уравнения системы (3) вычесть уравнение (4), умноженное на а21 из третьего уравнения системы (3) вычесть уравнение (4), умноженное на а31 и т. д. В результате получим систему из трех уравнений



где коэффициенты вычисляются по формуле






Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   29




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет