Исторические сведения

Исторические сведения. 

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной 

деятельности  -  от  двухлетнего  ребенка,  играющего  деревянными  кубиками,  до  зрелого 

математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде 

кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного 

микроскопа. Что же такое многогранник?  

Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда 

как  науку  о  пространстве  и  пространственных  фигурах  -  двумерных  и  трехмерных. 

Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих 

часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что 

многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть 

трехмерного пространства.  

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, 

то  есть  многоугольниками,  имеющими  равные  стороны  и  равные  углы.  Правильным 

многоугольником  является  равносторонний  треугольник,  квадрат  (четыре  стороны), 

пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять 

сторон) и т.д. Число правильных многоугольников бесконечно.  

Что  же  такое  правильный  многогранник?  Правильные  многогранники  иногда 

называют  Платоновыми  телами,  поскольку  они  занимают  видное  место  в  философской 

картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 

348 до н.э.).  

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, 

а  атомы  этих  «стихий»  имеют  форму  четырёх  правильных  многогранников.  Тетраэдр 

олицетворял  огонь,  поскольку  его  вершина  устремлена  вверх,  как  у  разгоревшегося 

пламени;  икосаэдр  –  как  самый  обтекаемый  –  воду;  куб  –  самая  устойчивая  из  фигур  – 

землю,  а  октаэдр  –  воздух.  В  наше  время  эту  систему  можно  сравнить  с  четырьмя 

состояниями  вещества  -  твёрдым,  жидким,  газообразным  и  пламенным.  Пятый 

многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. 

 

 

Тетраэдр  принадлежит  к  семейству  Платоновых  тел.  Он  составлен  из  четырёх 

равносторонних  треугольников.  Каждая  вершина  тетраэдра  является  вершиной  трёх 

треугольников.  Равносторонние  треугольники  являются  гранями  тетраэдра,  вершины 

равносторонних  треугольников  –  вершинами  тетраэдра,  стороны  равносторонних 

треугольников – ребрами тетраэдра. У  правильного тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.  

 

ТЕТРАЭДР 

Вопросы для группы: 

Ответы 

Из  каких  многоугольников  составлен 

правильный многогранник? 

Из треугольников 

Сколько 

граней 

у 

правильного 

многогранника? 

Четыре 

Сколько 

рёбер 

у 

правильного 

многогранника? 

Шесть 

Сколько 

вершин 

у 

правильного 

многогранника? 

Четыре 

Сколько  рёбер  сходится  при  каждой 

вершине многогранника? 

Три 

Какова  длина  ребра  многогранника  (в 

см)? 

22 см 

 

 

Октаэдр принадлежит к семейству Платоновых тел, то есть правильных выпуклых 

многогранников.  Он  составлен  из  восьми  равносторонних  треугольников.  Каждая  его 

вершина является вершиной четырех треугольников. Каждый равносторонний треугольник 

является  гранью  октаэдра,  каждая  вершина  равностороннего  треугольника  –  вершиной 

октаэдра,  каждая  сторона  равностороннего  треугольника  –  ребром  октаэдра.  Таким 

образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. 

 

Какова  размерность  плоского  угла 

многогранника при вершине? 

60

0 

Какова сумма плоских углов при каждой 

вершине? 

180

0 

Дайте 

определение 

правильному 

многограннику (вашему). 

Тетраэдр 

– 

правильный  многогранник, 

составленный  из  четырёх 

правильных треугольников 

Вычислите площадь одной грани. 

 

Площадь 

равностороннего 

треугольника: 

4

3

2

а

S =

, 

так 

как 

сторона 

треугольника  22  см,  то  S  = 

2

2

7

,

205

4

3

22

см



 

Найдите  площадь  полной  поверхности 

многогранника. 

Так  как  граней  – 

четыре, 

то 

2

 

8

,

822

4

см

S

S

гр

пов

полн





=

 

ОКТАЭДР 

Вопросы: 

Ответы 

Из  каких  многоугольников  составлен 

правильный многогранник? 

Из треугольников 

Сколько 

граней 

у 

правильного 

многогранника? 

Восемь 

Сколько 

рёбер 

у 

правильного 

многогранника? 

Двенадцать 

Сколько 

вершин 

у 

правильного 

многогранника? 

Шесть 

Сколько  рёбер  сходится  при  каждой 

вершине многогранника? 

Четыре 

Какова  длина  ребра  многогранника  (в 

см)? 

22 см 

Какова  размерность  плоского  угла 

многогранника при вершине? 

60

0 

Какова сумма плоских углов при каждой 

вершине? 

240

0 

Дайте 

определение 

правильному 

многограннику (вашему). 

Октаэдр – правильный 

многогранник, 

 

 

Из  семейства  Платоновых  тел,  куб  самый  популярный.  Куб  иногда  называют 

гексаэдром  (шестигранником).  Он  составлен  из  шести  квадратов.  Каждая  его  вершина 

является вершиной трёх квадратов. Таким образом, куб имеет шесть граней, восемь вершин 

и двенадцать рёбер.  

 

составленный  из  восьми 

правильных треугольников 

Вычислите площадь одной грани. 

 

Площадь 

равностороннего 

треугольника: 

4

3

2

а

S =

, 

так 

как 

сторона 

треугольника  22  см,  то  S  = 

2

2

7

,

205

4

3

22

см



 

Найдите  площадь  полной  поверхности 

многогранника. 

Так  как  граней  – 

восемь, 

то 

2

 

6

,

1645

8

см

S

S

гр

пов

полн





=

 

КУБ 

Вопросы: 

Ответы 

Из  каких  многоугольников  составлен 

правильный многогранник? 

Из квадратов 

Сколько 

граней 

у 

правильного 

многогранника? 

Шесть 

Сколько 

рёбер 

у 

правильного 

многогранника? 

 

Двенадцать 

Сколько 

вершин 

у 

правильного 

многогранника? 

Восемь 

Сколько  рёбер  сходится  при  каждой 

вершине многогранника? 

Три 

Какова  длина  ребра  многогранника  (в 

см)? 

 

22 см 

Какова  размерность  плоского  угла 

многогранника при вершине? 

90

0 

Какова сумма плоских углов при каждой 

вершине? 

270

0 

Дайте 

определение 

правильному 

многограннику (вашему). 

Куб  –  правильный 

многогранник, 

составленный  из  шести 

правильных квадратов 

Вычислите площадь одной грани. 

 

Площадь квадрата: S = 

a

2

, так как сторона квадрата 

20 см, то S = 20

2

 =400 см

2

 

 

 

 

 

Число граней 

Число рёбер 

Число вершин 

В + Г - Р 

Тетраэдр 

4 

6 

4 

 

Куб 

6 

12 

8 

 

Октаэдр 

8 

12 

6 

 

Додекаэдр 

12 

30 

20 

 

Икосаэдр 

20 

30 

12 

 

В ней содержатся данные о количестве граней, рёбер и вершин всех пяти правильных 

многогранников. Последний столбик содержит формулу, где В – вершина, Г – грань, Р – 

ребро. Используйте эту формулу для каждого многогранника и назовите результат в каждой 

ячейке. (2) Данная формула называется формулой Эйлера. Теорема Эйлера о соотношении 

между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой 

Эйлер  опубликовал  в  1758  г.  в  «Записках  Петербургской  академии  наук»,  окончательно 

навела математический порядок в многообразном мире многогранников. 

 

 

 

 

Домашнее задание: конспект 

Найдите  площадь  полной  поверхности 

многогранника. 

Так  как  граней  – 

шесть, 

то 

2

 

2400

6

см

S

S

гр

пов

полн

=



=

 

Вершины + Грани – Рёбра = 2