Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады



бет1/8
Дата25.08.2017
өлшемі1,8 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8
Кіріспе

Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады. Қазіргі уақытта ықтималдылықтар теориясы ғылым мен техниканың алуан түрлі салаларында қолданылып отыр, математиканың көптеген салаларына қарағанда, ерекше орын алып отыр. Ықтималдылықтар теориясының

әдістері, оның апараты барлық жаратылыс тану және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп ұғынылатын тіл ғылымына, педагогика мен психологияға, сондай-ақ архелогияға да еніп, олардың ішкі құрлыс заңдарын ашып көрсететін пәрменді құралға айналып отыр.

Кибернетиканың негізгі салалары- информациялық теория, ойын теориясы, операция теориясы, сенімділік теориясы т.б. математикалық аппараттары ықтималдылық теориясы негізінде құрылған.

Бұл теория - кездейсоқ құбылыстарды бақылау нәтижесінде пайда болған математикалық ғылым. Бұл ғылым XVII ғасырда пайда болған делінеді. Ал ықтималдықтың бастапқы ұғымдары өте ертедегі заманда –вқ кездеседі. Мәселен, біздің жыл санауымыздан 2238 жыл бұрын Қытайда өткізілген санаққа қарағанда, жаңа туға ұл балалардың санына қатынасы тұрақты және ол сан ½ -ге теғң( яғни ықтималдығы ½) делінген .

Ықтималдылықтар теориясының ғылым ретінде қалыптасуына оның дамуына көптеген шет ел ғалымдары: Б.Паскаль (1623-1662), П.Ферма (1601-1665), Х.Гюйгенс (1629-1695), Я.Бернулли (1654-1705), А.Муавр (1667-1754), Т.Байес (1702-1763), П.Лаплас (1749-1827), Ф.Гаусс (1777-1855), С.Пуассон (1781-1840) орасан зор үлес қосты.Ұлы орыс математигі Пафнутий Львович Чебышевтың (1821-1894) XIX ғасырдың орта кезінде жарық көрген іргелі зерттеулерінен бастап Россияда ықтималдылықтар теориясы пәрменді дамыды. Аса ірі еңбектер сіңіріп, жаңа әрі құнды нәтижеге қол жеткен Россия-Совет ықтималдық теориясын дамытқан Совет ғалымдары: А.АМарков (1856-1922), А.М.Ляпунов (1857-1918), А.Я.Хинчин (1894-1959), А.Н.Колмогоров (1903 жылы туған), С.Н.Бернштейн («1880-1968), В.И.Романовский (1879-1954), В.И.Слуцкий (1880-1948), Б.В.Гнеденко (1912 жылы туған) есімдері жұртшылыққа кеңінен мәлім.

Ықтималдылықтар теориясы мен математикалық статистиканы дамытып, ірі жетістіктерге ие болған ғалымдардың бірі- Ташкент математика мектебінің негізін қалаушы В.И.Романовский. Көрнекті ғалымдар Т.А.Сарымсақов (1915 жылы туған), С.Х.Сираждинов (1920 жылы туған) сияқты, В.И.Романовскийдің басқа да шәкірттері бұл ғылымның өркендеуіне елеулі үлес қосып келеді.

§1. Комплексті шарт, сынау, оқиға, жағдайлар.

Бұл ұғымдарды түсіндіру үшін мысалдарға жүгінейік.

1-мысал. Басбармағымыздың үстіне монетті қойып, оны қаттырақ ыршытып жіберейік. Монет жоғары ыршып, бетті тегіс еденге түседі де, дөңгелеп барып бір жағымен жатады.Сайып келгенде монеттің жерге жалпағынан түсуі үшін, көптеген қимыл-әрекеттер жасалынды, бұлардың жиынын комплексті шарт деп атайды. Ал лақтырылған монеттің тиын (не герб) жағымен жоғар қарап түсуі осы комплексті шарттың орындалуының нәтижесі болады. Мұны оқиға деп атайды.

2-мысал.Бір тектес материалдан жасалған симетриялы дұрыс кубтың әрбір жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда (комплексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі, қай жағы (нөмірі) түссе де мұнымыз оқиға болады.

3-мысал. Сынап бағанасының 760мм қысымда суды 1000С дейін қайнатсақ, ол буға айнала бастайды. Судың буға айналуы оқиға болады да, ал сол бу пайда болғанға дейінгі барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болып табылады.

Комплексті шарт деген терминнің орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданатын боламыз. Бұдан былай сынау нәтижесін оқиға деп түсінетін боламыз. Әдетте оқиғаларды А,В,С, ... бас әріптермен белгілейді.

Бұл мысалдардан біз сынау жүргізілгенде монет (куб) жерге бір бетімен түскенде, оның екінші бетінің жоғары қарап түспейтінін байқап отырмыз. Мұндай рқиғаларды, яғни сынау жүргізген кезде бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын нәтйжелерді (оқиғаларды)жағдайлар дейміз. Оларды А12, ...,Аn әріптерімен белгілейміз. Осы сыналынатын жағдайлардың барлық (жалпы) санын n-мен белгілейміз. Мысалы, моменті лақтырғандағы жағдайлар саны n=6 болады.

§2. Оқиғалар классификациясы

Сынау жүргізгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға дейді.

Мұндай оқиғаларға моентті лақтырғанда тиын жағымен жоғар қарап түсуі (А оқиғасы), кубты лақтырғанда алты жағының бірінің жоғары қарап түсуі (А оқиғасы) т.т. мысал бола алады. Өйткені қай жағдайдың шығатынын алдын ала айта алмаймыз.

Сынау нәтижесінде оқиға (А оқиғасы) сөзсіз пайда болатын (пайда болмайтын) болса, ондай оқиғаны ақиқат (мүмкін емес) оқиға дейді. Кубты лақтырғанда алты нөмірінің бірі (7-ші нөмірлі жағы) үстіне қарап түсуі (А оқиғасы)- ақиқат (мүмкін емес) оқиға. Ақиқат оқиғаларды U әрпімен, мүмкін емес оқиғаларды V әрпімен белгілеу қабылданған.

Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар дейді. Мәселен, 1-параграфтағы екінші мысалда А1, А2 (бірінші және екінші нөмірлі жақтар) оқиғалары- үйлесімсіз оқиғалар. Бұл мысалдағы кез келген екі-екіден алынған оқиғалар да үйлесімсіз.

Кез келген екі-екіден алынған оқиғалар үйлесімсіз болса, ондай оқиғаларды қос-қостан үйлесімсіз дейді.

Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда екіншісінің де пайда болуы мүмкін болатын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды. Мысалы, кубтың жұп нөмірінің шығуы (А оқиғасы) және үш санына еселік нөмірдің шығуы (В оқиғасы) үйлесімді. Өйткені кубтың 6-нөмірінің шығуын көрсететін А6 оқиғасы А оқиғасы пайда болғанда да, В оқиғасы пайда болғанда да пайда болуы мүмкін.

Сынау нәтижесінде оқиғалардың тек әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаларды жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар дейді. Мысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының біреуі (А оқиғасы) шығуы сөзсіз, сондықтан А1, А2, А3, А4, А5,А6 оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар, бұлар оқиғалардың толық тобын (системасын) құрайды деп атайды. Сондықтан бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық системасын құрайды.



Жаттығулар

  • Екі жақ болып дойбы ойыны өткізілді. Бір жағының ұтуы, ұтылуы немесе екі жақтың тең түсуі- кездейсоқ оқиға.

  • Мұғалімнің белгілі бір оқушыдан сұрауы-сынау. Оқушының5,4,3,2 баға алуы- кездейсоқ оқиға.

  • Ауа райын бақылау –сынау. Бүгін қар, жаңбыр жаууы- кездейсоқ оқиға.

  • Оқушының тәртібін бақылау сынау. Оның сабаққа кешігіп келуі –кездейсоқ оқиға .

  • Нысананы көздеп ату- сынау. Нысанаға тию (А оқиғасы) не тимеу (В оқиғасы)- кездейсоқ оқиға. Осы мысалдағы мәлімет бойынша оқиғалардың толық тобын сипаттап беріңіз.

  • 4-класс математика кітабының кез-келген бетін ашу –сынау. Осы бетте «жиын» сөзінің кездесуі-кездейсоқ оқиға. Бұл беттегі сөздер қай жағдайда оқиғалардың толық тобын құрайды?

  • Мына төмендегі оқиғалардың қайсысы кездейсоқ, ақиқат, мүмкін емес болады: 1) бірінші кездескен автомашина нөмірінің жұп болып келуі қандай оқиға? 2) жәшіктің ішінде ылғи ақ шарлар бар. Кез келген бір шар алынды, оның түсі: а) қызыл болуы, б) ақ болуы қандай оқиға болады?

  • 1-ден 20-ға дейінгі сандарды 20 карточкаға жазып алып , оларды әбден араласьырып барып, ішінен 2 карточканы алғанда төмендегі қос сандар (оқиғалар) шықты; олар үйлесімді ме әлде үйлесімсіз бе:

1)4және7 сандары;

2) жұп және 15 сандары;

3) тақ және 3-ке еселік сандар;

4) жай сан және 5-ке еселік сандар?



§3. Ықтималдылықтың классикалық анықтамасы

Өткен параграфта біз оқиға түрлерін келтірдік, енді оқиғаның пайда болу мүмкіндігінің сандық өлшеуішін көрсетеміз. Жалпы айтқанда, А оқиғасының пайда болу мүмкіндігінің сандық мөлшері үшін р(А) функциясының мәні алынады. Мұны осы А оқиғасының ықтималдылығы деп атайды. Осы қалпында р(А)-ның ешқандай мәні жоқ. Ал ықтималдылық ұғымы да, кездейсоқ оқиғалар сияқты, ықтималдылықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Сондықтан ықтималдылық ұғымын осы кездейсоқ оқиғамен байланыстыра қарастырып, ықтималдылықтың нақты сандық мөлшерін көрсетеміз.

Қандай болмасын математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдылықтар теориясының құрылуын ықтималдылықтың классикалық анықтамасына негіздеиміз. Ілгеріде ықтималдылықтар теориясын бұдан да басқа анықтама негізінде құруға болатынын көреміз.

Ықтималдылықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас еді. Ықтималдылықтың бұл анықтамасы өте қарапайым, оны түсіну үшін жоғары математиканы білу қажет емес. Сондықтан да біз ықтималдық теориясын баяндауды осы анықтамадан бастаймыз.

Ықтималдылықтың классикалық анықтамасы оқиғалардың тең мүмкіндігіне (тең ықтималдылығына) сүйенеді. Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық (формальды) анықтама беруді қажет етпейді. Жалпы сынау нәтижесінде бірнеше оқиғалар пайда болуы мүмкін болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің, екіншісіне қарағанда, артықшылығы бар деп айта алмайтын болсақ, яғни сынаулар нәтижесінің симметриялы қасиеті болса, мұндай оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Бұған 1-параграфта келтірілген 2-мысал айғақ. Өйткені кубтың әрбір жағының пайда болу мүмкіндігі бірдей.Сондықтан бұлар тең мүмкіндікті (яғни тең ықтималдылықты) оқиғалар болады.

Бірнеше оқиғалар тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын (системасын) құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін (мүмкін болатын) нәтижелерінің толық тобы деп атайды. Бұл терминнің орнына тең мүмкіндікті барлық жағдайлар немесе жалпы жағдайлар саны не, қысқаша, жағдайлар деп атайды. Ал тең мүмкіндікті үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын оқиғалардың (жағдайдың) бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын тудыруы мүмкін, яғни екінші сөзбен айтқанда, А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға бөлінеді және олардың кез келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығатын болады. Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмірі А1 ,А3 ,А5 пайда болуынан, А оқиғасының пайда болуын байқаймыз. Былайша айтқанда, А оқиғасы тақ нөмірлі А1 ,А3 ,А5 үш оқиғаға (жағдайға) бөлініп отыр. Бұл тақ нөмірлі оқиғалар саны (ол 3-ке тең) осы А оқиғасына қолайлы жағдайлар болып табылады. Сонымен, сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінетін мүмкін мәндерді осы оқиғаға (А-ға) қолайлы жағдайлар деп атайды.

1-мысал. Жәшікте 10 шар бар. Олардың 4-еуі ақ, 6-уы қызыл шар. Жәшіктегі шарларды араластырып жіберіп, қарамай тұрып бір шарды алайық. Алынған шар ақ шар болып шығуының (А оқиғасы) сандық мөлшерін (ықтималдығын) анықтау керек.

Шешуі. Әрбір шардың пайда болу мүмкіндігі бірдей (яғни бұлар тең мүмкіндікті оқиғалар) және оның шығу мүмкіндігінің сандық мөлшері (ықтималдығы) 1/10-ге тең А оқиғасы үшін барлық мүмкіндікті 10 жағдайдың тек 4-уі ғана қолайлы.А оқиғасы қолайлы жағдайлар санын (олар 4) барлық жағдайлар санына (олар 10)қатынасы,осы оқиғаның пайда болуының мүмкіндік дарежесін белгілейтін қандай да бір сан ƿ(А) болмақ,бұны ƿ(А)=4/10 ықтималдық мәні деп қабылдаймыз.



Анықтама.А оқиғасына қолайлы жағдайлар санының (m) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санына (n) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады:

Р(А)=m/n

Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама дейміз. Бұдан төмендегі салдарлар шығады.



  • Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең. Шынында, оқиға ақиқат болу үшін А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m сынаудағы барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны n-ге тең, яғни m=n болады. Онда (1) бойынша

Р(U)=m/n=1

  • Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нольге тең. Шынында да, егер оқиға мүмкін емес болса, онда А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны mнольге тең болады. Олай болса, ықтималдықтың анықтамасынан

Р(V)=0/n=0

  • А оқиғасының ықтималдығы р(А( ноль мен бір аралығындағы оң таңбалы сан. Шынында, А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m нольден n-ге дейінгі өздерін қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды, яғни

0<Бұл теңсіздіктің екі жақ бөлігін де n санына бөлсек, шығады

0≤ m/n≤1

Немесе


0 ≤ р(А) ≤ 1

Енді ықтималдықтың классикалық анықтамасын пайдалана отырып, ықтималдықтың тікелей есептеуге бірнеше мысалдар келтірейік.

Ықтималдықтың тікелей есептеу екі тәсілмен орындалады. Бірнеше тәсіл бойынша есептің берілген шартына ықтималдық тікелей есептелінеді, екінші жағдайда комбинаторика формулалары пайдаланылады. Біз осы екі жағдай үшін есептерді жеке-жеке шығарайық. Алдымен бірінші жағдай үшін бірнеше мысалдар мен жаттығулар келтіреміз. Есептерді екінші тәсілмен шығару үшін комбинаторика элементтерімен танысып өтеміз.

§4. Ықтималдықты тікелей есептеуге мысалдар

1-мысал. Есеп шарты 1,2 мысалында көрсетілгендей. Сынау нәтижесінде екіге еселі нөмірлі жақтың (оқиғаның) пайда болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Жақтың екіге еселі нөмірлері 2,4,6. Бұларға сәйкес оқиғалар А2, А4, А6 . Демек, А оқиғасына қолайлы жағдайлар (оқиғалар) саны m=3 екен. Жалпы жағдайлар саны n=6 екені мәлім. Сонымен, екіге еселі нөмірінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы р(А)=3/6=1/2, немесе 50%.

2-мысал. Жәшікте 3 ақ шар, 5 қызыл шар, 2 жасыл шар бар. Бұл шардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар алынды. Алынған шар:а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б) жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а )Шарлардың үлкендігі және салмағы бірдей болмағандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей.Бір түсті шар шыққанда екінші түсті шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=10.А оқиғасына (ақ шардың шығуы) қолайлы жағдайлар саны m=3. Демек, оның ықтималдығы

Р(А)=m/n=3/10=0.30 не 30% болады.

Қалғандарын да осылайша анықтаймыз, сонда

ә )р(В) =0,5;

б) р(С)=0,20.

3-мысал. Абай Құнанбаев тілінің сөздігінде әр түрлі 6000 сөз бар, оның 2975-і тек бір реттен ғана қолданылған, 800-і тек екі реттен қолданылған, 490-ы тек үш реттен қолданылған. Қалғандары төрт реттен және одан артық рет қолданған .

Ақын сөздігінен кез келген бір сөз алынды. Бұл сөз ақынның: а) тек бір реттен және ә) тек екі реттен, б) тек үш реттен, в) төрт және одан да көп реттен қолданылған сөз қорына тійістілік ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а) Сынаудың барлық мүмкін нәтижелері (жағдайлар) саны 6000-ға тең. Әр сөздің де алыну мүмкіндігі бірдей, өйткені әрбір сөзді жеке-жеке карточкаға жазып , оларды араластырып, кез келген біреуін аламыз деп қарастыруымызға болады. Бұлар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайды.Тек бір рет қолданылған сөздің алынуын А оқиғасы десек, онда бұл оқиға қолайлы жағдайлар саны 2975 болады. Олай болса, ізделінген ықтималдылық

р(А)=m/n=2975/6000=0.496 не 49,6% болады.

Қалғандарын да осылайша анықтау қыйын емес, сонда

ә )0,150 б)0,082 в)0,272

болады.


4-мысал. Монет екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб жағы пайда болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Есептің дұрыс шешілуі (әсіресе ықтималдыққа тиісті есептерді) есеп шартын дұрыс талқылауға байланысты. Бұл фактіні осы есептің шешуін талқылау арқылы көрсетейік.

Бірінші жолы: Даламбер талқылауы. Герб жағымен не бірінші лақтырғанда, не екінші лақтырғанда түседі, не тіпті түспейді. Сонымен, барлық жағдайлар саны-үшеу. Олардың ішінде А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны-екеу. Демек ізделінген ықтималдық.

Р(А)=2/3=0.667 не 66.7%болады.

Екінші жолы: бірінші монетті бір рет лақтырғанда герб не тиын жағымен түсуі мүмкін. Қай жағымен түссе де, бұл екінші рет лақтырғандағы монеттің герб (Г) не тиын (Т) жағының түсуімен комбинацияланып келеді. Ақырында, төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады. Олар:

ГТ; ТГ,


ГГ; ТТ.

Мұнда Г-герб, Т-тиын. Есептің шартын қолайлы жағдайлар саны. 3. Олай болса, ықтималдығы

Р(А)=3/4=0.75 не 75%

Сонымен, табылған екі ықтималдықтың қайсысы дұрыс, қайсысы қате деген сұрау өзінен өзі туады. Соны анықтайық. Даламбердің қателігі мынада болған: ол ГТ және ТГ жағдайлар жиынын ГГ және ТТ жағдайларымен тең мүмкіндікті деп алған. Шындығында бұлай болмайты екінші талқылаудан байқалады. Сонымен, екінші шешудің дұрыстығын байқаймыз.

5-мысал. Бірден екі ойын кубы лақтырылды. Олардың әрқайсысының жақтары 1,2,3,4,5,6 цифрларымен нөмірленген. Екі куб еденге түскенде үстінде шыққан нөмірінің (ұпайларының) қосындысы 7 болу ықтималдығы неге тең?

Шешуі. Алдымен лақтырылған екі ойын кубы нөмірлерінің барлық мүмкін түсу жағдайларын есептейік. Бірінші куб жақтарының нөмірлері әр түрлі алты тәсілмен түсуі мүмкін. Бұлар әр жолы екінші кубтың алты нөмірінің бірімен комбинацияланады. Бұл жағдай 1-таблицада келтірілген. Таблицаның ұяларындағы екі цифрдың біріншісі бірінші куб жағының нөмірін көрсетеді де, екіншісі, екінші куб жағының нөмірін көрсетеді. Ұялар саны 6∙6=36, демек барлық мүмкін жағдайлар саны n=36. Бұл жағдайлар қос-қостан үйлесімсіз, тең мүмкіндікті және оқиғалардың толық тобын құрайды. Енді қойылған сұраққа жауап беру үшін А оқиғасына, яғни нөмірінің қосындысы 7 болатын, қолайлы жағдайлар саны m неге тең болатынын анықтаймыз. Ол үшін таблицадан цифрларының қосындысы 7-ге тең болатын ұялар (элементарлық оқиғалар) санын табамыз. Олар (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).

Сонымен, А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m=6 екен. Олай болса, іздеген ықтималдық мәні

Р(А)=m/n=6/36=1/6



1-таблица

2-ші куб

жақтарының

нөмірі

1-ші куб


жақтарының

нөмірі


1


2

3


4


5


6


1

2

3



4

5

6



(1,1)

(2,1)


(3,1)

(4,1)


(5,1)

(6,1)


(1,2)

(2,2)


(3,2)

(4,2)


(5,2)

(6,2)


(1,3)

(2,3)


(3,3)

(4,3)


(5,3)

(6,3)


(1,4)

(2,4)


(3,4)

(4,4)


(5,4)

(6,4)


(1,5)

(2,5)


(3,5)

(4,5)


(5,5)

(6,5)


(1,6)

(2,6)


(3,6)

(4,6)


(5,6)

(6,6)


6-мысал.(Де Мере есебі). Француз армиясының кавалериясы Де Мере (XV ғасыр өмір сүрген) құмар ойынға өте әуесқой және ұтудың әр түрлі жолдарын іздегіш болған екен. Құмар ойыннан туған есептің шешілетіне көзі анық жетпесе, математиктерден сұрап отырған. Сондай ойындардың бірі екі кубтың лақтыру, үш кубты лақтыру т.т. Кубты лақтырғанда ұпайлар ұпайлар қосындысы қандай сан болатынына бәсеке тіккен. Өте зерек ойыншы Де Мере үш кубты лақтырғанда ұпайларының қосындысы 11не 12 болып келу жағдайы жиі кездесетінін байқаған, бірақ солай болатынына өзі сене қоймаған және өзінше дәлелдеп те көрген. Сондықтан ол 1654 жылы замандасы Паскальға хат жазады. Хатында осы аталған есепті шешуді өтінеді. Біз бұл есепті төмендегіше тұжырымдайық.

Дұрыс үш кубты лақтырғанда ұпайларының қосындысы 11 не 12 болып келу жағдайының қайсысының ықтималдығы артық?

Шешуі. Ұпайларының қосындысы 11 болатыны А оқиғасы болсын, ал 12 болатыны В оқиғасы болсын.Кубтардың әрбіреуінің кез келген жағының шығу мүмкіндіктері бірдей.Екі кубты лақтырғанда барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны 36 болатыны 5-мысалдан мәлім.Олай болса,үш кубты лақтырғанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны 36*6=216 болатынын байқау қиын емес.Көрнекі болу үшін 6 қатарлы,36 бағаналы таблица құрайық.(2-таблицаны қара):

2-таблица



1

2



35

36

(1,1,1)

(1,1,2)


(1,1,3)

(1,1,4)


(1,1,5)

(1,1,6)


(1,2,1)

(1,2,2)


(1,2,3)

(1,2,4)


(1,2,5)

(1,2,6)






(6,5,1)

(6,5,2)


(6,5,3)

(6,5,4)


(6,5,5)

(6,5,6)


(6,6,1)

(6,6,2)


(6,6,3)

(6,6,4)


(6,6,5)

(6,6,6)


Әрбір ұядағы жақша ішіндегі сандардың біріншісі-бірінші кубтың түскен ұпайы,екіншісі-екінші кубтың түскен ұпайы,үшіншісі-үшінші кубтың түскен ұпайы.Енді осы таблицаны пайдаланып,ұпайларының қосындысы х-ті табу қиын емес.Бірнеше ұядағы х-тің мәні бірдей болуы мүмкін,сондықтан олардың санын m(х) дейік.Сонда

m(3)=m(18)=1

m(4)=m(17)=3

m(5)=m(16)=6

m(6)=m(15)=10

m(7)=m(14)=15

m(8)=m(13)=21

m(9)=m(12)=25

m(10)=m(11)=27

Бұдан А және В оқығаларының ықтималдығын анықтау оңай.Өйткені А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m(11)=27,ал В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m(12)=25.Демек,іздеген ықтималдығымыз мынадай :

Яғни .Сондықтан да ұпайларының қосындысы 11 болады деп бәсекелескен адамның ұту мүмкіндігі көбірек.

Енді Де Мере шешуін келтірейік.

Де Мере 11 ұпай 12-ден гөрі жиі шығатынын бақағанымен,оған сене қоймайды да,өзінше дәлелдемесін келтіреді,ол төменднгідей:

11 ұпайды 6 түрлі тәсілмен шығарып аламыз,олар:(6,4,1),(6,3,2),(5,5,1),(5,4,2),(5,3,3),(4,4,3).

12 ұпайды да 6 түрлі тәсілмен табамыз (6,5,1),(6,4,1),(6,3,3),(5,5,2),(5,4,3),(4,4,4). Бұдан 11 ұпай және 12 ұпай шығу ықтималдығы бирдей екенін көремиз.

Паскалдың түсіндіруі бойынша,Де Мере іс жүзінде кездесетін жаідайды есепке алмаған,мысалы,тек 6,4,1, сандар комбинатциясы 6 рет кездеседі,(келесі пораграфтарды қара),олар;

(6,4,1) (4,1,6) (1,4,6)

(6,1,4) (4,6,1) (1,6,4)

Сондай-ақ (6,3,2) комбинатциясы-6,(5,5,1)-3,(5,4,2)-6,(5,3,3)-3,(4,4,3)-3. Сонымен ұпй саны 11 болатын барлық комбинациялар саны 27 екен.

Осы сияқты,12 ұпай шығатын комбинациялар саны мынадай;(6,5,1)-6,(6,4,2)-6,(6,3,3)-3,(5,5,2)-3,(5,4,3)-6,(4,4,4)-1,барлық саны 25-ке тең.

Сонымен,Де Мере қателігі комбинациялардың әр түрінен бір-бірден ғана алғандығында болып отыр(4-мысалдағы Даламбер қателігімен салыстыр)

Жаттығулар

1.Математика емтиханына 30 билет дайындалған,олар 1- ден 30-ға дейінгі сандар нөмірленген.Оқушы кез келген бір билетті алады.Алынган билет нөмірі:а)5-ке есел!к сан,ә)7-ге есел!к сан,б)тақ сан болу ықтималдығын анықтау керек.

Ықтималдықты анықтар алдында,осы мысал негізінде оқиғалардың қос-қостан үйлесімсіздігі,тең мүмкіндікті,оқиғалардың толық тобы,оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны ұғымдарына сипаттама беріп және оқиғаларды әріптермен белгілеп алған жөн.

2.Тексерілген детальдар тобында бірінші сортты деталь-100,екінші сортты деталь -50,үшінші сортты деталь да 50.Топ детальдың ішінен кез келген бір деталь алынады.Осы алынған детальмыз:а)1-сортты,2-сортты, б)3-сортты болу ықтималдығын анықтаңыз.

3.Әкеле жатқан жәшіктегі 91 жарамды,10 жарамсыз детальдың біреуі түсіп қалған.Қайсысы түскені белгісіз.Жәшік тиісті жерге жеткізілгеннен кейін,оның ішінен кез келген бір деталь алынады.Осы алынған деталь жарамды болып шықты.Жоғалған детальдың;а)жарамды болу,ә)жараамсыз болу ықтималдығын анықтаңыз.

4.38 шардың бетіне қазақ дыбыстарының әріптері жазылған.Кез келген бір шар алынады ,сол алынған шарға;а)дауысты дыбыс,ә)ұяң дыбыс,б)қатаң дыбыс,в)еріндік дыбыс,г)езулік дыбыс,д)үнді дыбыс жазылған болу ықтималдығын анықтаңыз.

5.Телефон соғатын нөмірдің соңғы екі цифры абонент есіне түспей қалып(бірақ ол цифрлардың әр түрлі екендігі есінде),ол кез келегн нөмірді алады.Сол алған нөмірінің соңғы екі цифры өзінің ұмытып қалған цифрлары болу ықтималдығын анықтаңыз.

6.Колодадағы 36 картаның біреуі алынды.Ол картаның:а)қарға болу,ә) король болу,б)суретті карта(король,дама,валет) болу ықтималдығын анықтаңыз.

7.Ойын кезінде бір бала 1-ден 9-ға дейінгі цифрлардың бірін атады.Екінші бала олрадың ішінен үшке еселікке кез келеген біреуін сол цифрдың орнына атаған. Сол аталған цифр ойдағы цифр болып шығу ықтималдығын анықтаңыз.

8.Монет үш рет лақтырылған.Тиын жағымен:а)кем дегенде екі рет түсу.ә)екіден артық емес рет түсу ықтималдығын анықтаңыз.

9.5-мысалдың шартын пайдаланып:а) ұпайларының қосындысы 3-ке еселік сан,ә)ұпайларының қосындысы жай сан болу ықтималдығын есептеңіз.

10.6-мысалдың шартын пайдаланып :а)ұпайларының қосындысы 15-тен кем болмау,ә)ұпайларының қосындысы 5-тен артық болмау ықтималдығын есептеңіз.

11.Жәшікке a ақ шар ,b қызыл шар бар.Жәшіктен қалаған бір шар алынады.Алынған шардың қызыл түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.

12.Жәшіктегі ақ а шарлардың, қызыл b шарлардың біреуі қалғанша алынған.Сол қалған шардың:а)ақ шар болу,ә)қызыл шар болу ықтималдығын анықтаңыз.

13.Жәшікке ақ а шар,қызыл b шар бар.Жәшіктен бір шар алынады,ол ақ шар болып шықты.Бұл шарды қайта салмай,жәшіктен келесі шар алынады.Ол алынған шардың:а)ақ шар болу,ә)қызыл шар болу ықтималдығын анықтаңыз.

14.Бірдей 10 карточканың әрбіреуі 1-ден 10-ға дейінгі сандарға сәйкес түрде екілік санау системасындағы сандармаен нөмірленген.Карточкаларды араластырып алып,ішінен кез келген бір карточка алынады.Осы карточкаға жазылған санның кемінде бір цифры <0> болу ықтималдығын анықтаңыз.

15.Бірдей 20 карточканың әрбіреуі 1-ден 20-ға дейінгі сандарға сәйкес түрде үштік санау системасындағы сандармен нөмірленген.Алынған бір карточкаға жазылған санның кемінде екі цифры <1> болу ықтималдығын анықтаңыз.

§5.КОМБИНАТОРИКА ТУРАЛЫ ТҮСІНІК

Классикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды,есептеу –А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m-ді және сынаудың барлық жағдайлар саны n-ді табуға келіп тіреледі.Ықтималдықтар теориясында m мен n мәндері,ілгеріде көрсетілгендей,оп – оңай анықтала бермейді.Бұларды табу үшін қайсы бір жиын элеменнтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді.Мысалы келтірейік.Жәшіктегі әріптер жиыны a,b,c элементтерден құралған десек,онда бұл жиыннан әріптерді:

1)бір-бірден 3 тәсілмен аламыз,олар;a,b,c:

2) екі–екіден 6 тәсілмен аламыз,олар:

Ab,ba,ca


Ac,bc,cb

3)үш-үштен 6 тәсілмен аламыз,олар:

Abc,bac,cab

Acb,bca,cba

Мұндағы алынған әріп тіркестерінің бір-бірінен айырмасы не элементтерінде,не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр.Мұндай тіркестер - жиын элементтерінің комбинациясы болады.

Сонымен,шешуі <<нешеу>>,<<неше тәсілмен>> деген сұрауларды қажет ететін есептер комбинаторикалық есептер делінеді.Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика саласы комбинаторика немесе комбинаторикалық математика деп аталады.

Математиканың бұл саласы соңғы жылдары жедел қарқынмен дамып келеді.Кейіңгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептегіш техниканың дамуы,шектеулі математика ролінің артуы,ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық маңызының кунннен-кунге артуы негізгі себеп болып отыр.

Комбинаторика есептерін екі әдіспен шешуге болады.Біріншісінде ,шешудің барлық мүмкін варианттарын бір-бірінен есептейді,екіншісінде-қорытылған формуланы пайдаланып шешеді.Әрине,бірінші әдіс түсінуге жеңіл болғанымен,күрделі математикалық есептерді шешуге келгенде пәрменсіз.Сондықтан,екінші әдісті ,яғни комбинаториканың қарапайым формулаларын негіздеп,оларды ықтималдықтарды есептеуге пайдаланатын боламыз.Бұл айтылғандарды мысалмен түсіндірейік.

1-мысал.Жаздыгүні автоматтан газды су ішу үшін бір тиындық немесе үш тиындық монет керек.Ал автомат-телефонды пайдалану үшін екі тиындық монет керек.10 тиыны бар адам су ішіп,автомат-телефон арқылы сөлесу үшін оны 1,2,3 тиындықтарға майдалаудың бірнеше тәсілін ойластырды.Сонымен, 10 тиынды 1,2,3 тиындықтарға неше тәсілмен майдалауға болады?

Шешуі.10 тиынды майдалаудың барлық тәсілдерін келтірейік:10 тиынды ылғи 3 тиындыққа майдалауға болмайды.Алайда 3 үш тиындық және 1 тиындыққа,2 үш тиындық және 2 екі тиындыққа т.т майдалауға болады.Бұл айтылғандар ықшам болу үшін 10 тиынды майдалаудың барлық мүмкін варианттары төмендегі 3-таблицада келтірілді.

3-табдица

Рет саны

3 тиынды монет саны

2 тиынды монет саны

1 тиынды монет саны

1

2

3



4

5

6



7

8

9



10

11

12



13

14


3

2

2



2

1

1



1

1

0



0

0

0



0

0


0

2

1



0

3

2



1

0

5



4

3

2



1

0


1

0

2



4

1

3



5

7

0



2

4

6



8

10


Бұл таблицада кқрсетілген майдалау тәсілі әр түрлі және бұдан басқа тәсіл жоқ.Сондықтан 10 тиынды 1,2,3 тиындықтарға 14 тәсілмен ғана майдалауға болады екен.Сөйтіп,бұл есептің шешуін табу үшін мүмкін жағдайлардың бәрін бір –бірлеп есептедік.

2-мысал.Елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен мемлекеттік автоинспекция шұғылданады.Олар екі, үш әріптен неше комбинация (қосылыс,тіркес) жасайтынын білу керек.Бұл фактіні байланыс қызметкері де ,кодалау мамандары да білуге тиісті.Сонымен, орыс алфавитіндегі 32 әріптен үш әріптен құрылатын комбинациясын (тіркес,қосылыс) неше тәсілмен жасауға болады.

Шешуі.Бұл есепті шешу әріптер жиынынан үш әріп комбинациясына қойылатын талапқа байланысты.Түсінікті болу үшін бұл әріптердің әрбіреуін формасы бірдей жеке карточкаларға жазайық.Сөйтіп,оларды топтастырайық,яғни бір колода етейік.Сонда колодадағы карточкалар жиын болады.Әріптерді колодадан екі түрлі жолмен іріктеп влуға болады.

Біріншісі (қайталанбайтын іріктеме.).Бірінші алынатын әріп колодадағы 32 әріптің бірі болпды,яғни оны 32 тәсілмен алуға болады.Ал,екінші әріп колодада қалған 31 әріптен алынады.Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті тіркестер(комбинациялар) саны - 32×31=992 болады.Бұл екі әріпті тіркестердің әрқайсысы үшінші алынатын әріппен тіркесіп ,үш әріпті тіркес құрайды,сонда олар 32×31×30=29760 тәсілмен алынады.Бұл жағдайда әрбір үш әріпті тіркестегі әріптер түрліше болып кездеседі.

Екіншісі (қайталанатын іріктеме).Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленген соң,ол колодаға қайыра салынады.Сонда екінші алынатын әріп те колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса ,екі әріпті тіркестерді

32×32=322=1024

Тәсілмен алуға болады .Осы сияқты үш әріпті тіркес 32×32×32=322×32=32768

Тәсілмен жасалады.Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай шек қойылмайды ,яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестің ішінде екі,үш рет қайталанып келуі мүмкін.

Сонымен,32 әріптен үш –үштен алу іріктеме (выборка) болып табылады.Бірінші жолы колодадан қай әріп алынатыны белгіленгеннен кейін,колодаға ол қайта салынған жоқ.Сондықтан мұндай іріктемені қайталанбайтын іріктеме деп атаймыз. k=3 саны іріктеме көлемі болады.

Екінші жолы колодадан алынған әріп белгілеп алынғаннан кейін,ол қайтадан колодаға салынады.Сонда екінші әріп колодадаға 32 әріптің ішінен алынады.Үшінші әріпті алғанда да өзгермейді.Сондықьан бұлайша іріктеуді қайталанатын іріктеме деп атайды.Мұнда да іріктеме көлемі k=3.Ал,элементтері алынып отырған жиын ,яғни 32 әріп жиыны,бас жиын болады.Әдетте ,бас жиындағы әріптер сол жиын элементтері болады.

Бұл мысалдардың екеуінде де комбинация санын анықтағанда көбейту амалын пайдаландық.Енді көбейтудің мынадай ережесін байқау қиын емес.



Көбейту ережесі. Егер A жиыны a1,a2,…am,яғни m элементтен ,ал B жиыны b1,b2,…bk ,яғни к элементтен құралатын болса (бұл екі жиын бір жиыннан алынуы да мүмкін ),онда әрқайсысынан бір-бір элементтен алынған әр түрлі (ai,bj) комбинация саны m×k болады (i=1,2,…m: j=1,2,…,k).

Шынында,бұларды (аi,bj) түрінде m горизонталь және k вертикаль жолдардан тұратын мына таблицаға орналастыруға болады:

4-таблица

В
А


b1

b2



bk

a1

a2



am



(a1,b1)

(a2,b1)



(am,b1)



(a1,b2)

(a1,b2)



(am,b2)







(a1,bk)

(a2,bk)



(am,bk)



Бұл таблицадағы әрбір (ai,bj) тек бір реттен ғана кездеседі.Олардың (ұялардың) барлық саны -m×k.Бұл ереже жиын саны екіден артық болғанда да орындалады .Мысалы,элементтер саны сәйкес m,k,h сандарына тең болатын A{a1,a2,…,am},B{b1,b2,…,bk},C{c1,c2,…,ch} үш жиын берілсін .Әр жиынннан тек бір элементтен ғана алынған әр түрлі (ai,bj,ch) үш элемент комбинациясын жасауға болады,мұндағы i=1,2,…,m, j=1,2,…,k және l=1,2,…,h .Олардың саны -m×k×h өйткені A және B жиындарынан алынған әрбір (ai,bj) пары үшініші жиынның әрбір элементімен комбинацияланады.Бұл комбинация саны,әрине, (m×k)×h=mkh санына тең.Енді комбинаторикалық есептерді шешуге және ықтималдықтар теориясының есептерін шешуге қажетті бірнеше формулаларды қорытып,оларға мысалдар келтірейік.Мұны қайталанбайтын іріктемеге тиісті формулаларды қорытудан бастайық.


Каталог: ebook -> umkd
umkd -> Мамандығына арналған Сұлтанмахмұттану ПӘнінің ОҚУ-Әдістемелік кешені
umkd -> Қазақстан Республикасының
umkd -> Қазақстан Республикасының
umkd -> Студенттерге арналған оқу әдістемелік кешені
umkd -> ПӘннің ОҚУ Әдістемелік кешені 5В011700 «Қазақ тілі мен әдебиеті» мамандығына арналған «Ұлы отан соғысы және соғыстан кейінгі жылдардағы қазақ әдебиетінің тарихы (1941-1960)» пәнінен ОҚытушыға арналған пән бағдарламасы
umkd -> «Балалар әдебиеті» пәніне арналған оқу-әдістемелік материалдар 2013 жылғы №3 басылым 5 в 050117 «Қазақ тілі мен әдебиеті»
umkd -> ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешенінің
umkd -> 5 в 011700- Қазақ тілі мен әдебиеті
umkd -> 5 в 011700- Қазақ тілі мен әдебиеті
umkd -> «Филология: қазақ тілі» мамандығына арналған


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8


©engime.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

енгізу | тіркеу
    Басты бет


материалдарды жүктеу