Қызықты деректер 6-сынып математика пәнінің мұғалімі: Токсонбаева Шолпан Асанбаевна

Аудандық сараптау кеңесінің отырысында қаралып, бекітуге ұсынылды.

№ 1 Хаттама , 3 қыркүйек 2016 жыл

Мазмұны
1 Адамдар қалай санай бастады?..............................5

2. Сандарды белгілеу..................................................6

3. Ештеңе - ол да бірдеңе ..........................................8

4. Сиқырлы сандар....................................................10

5. Үлкен сандар.........................................................14

6. Теріс сандар..........................................................15

Бізді жан-жақтан сандар қоршайды, олар бізге барлық жерде қажет. Біз сандар арқылы санап қана қоймаймыз, біз оларды санаймыз. Сандарсыз біз уақытты да, күнді де белгілей алмас едік, сандарсыз біз заттарды сатып ала алмаймыз немесе бізге тағы да қанша екені туралы да айта алмаймыз.Сондықтан сандарды ойлап табу қажет болды. Олардың шығу тарихы өте шытырман және біз қазіргі кезде пайдаланып жүрген қарапайым жүйеге келу үшін адамдарға біршама ұзақ уақыт қажет болды. Қазір сандар барлық жерде және әрқашан қажет. Біздің әлем сандарсыз қалай болар еді, соны көзге елестету өзі қиын.

Оқушылар математика сабағында сандармен түрлі амалдар орындайды. Сабақ барысында немесе сабақтан тыс уақытта оқушылар сандар туралы тарихи мәліметтермен танысса, онда олардың танымдық қабілеттері арта түседі. Қызықты деректер оқушылардың математика пәніне қызуғышылықты оятады деп ойлаймын. Сол себептен осы шағын жинаққа 6-сыныптың оқу бағдарламасының тақырыптарына байланысты қосымша тарихи деректер ұсынып отырмын.

Адамдар қалай санай бастады?

Көптеген ғасырлар бойы адамдарға сандардың қажеті болмады. Егіншілік пен ма шаруашылығы пайда болғанға дейін адамдар "жинаушы-аңшылар" болған, олар жабайы табиғаттан күнкөріске қажет мөлшерде ғана азық тауып , айырбас немесе қорға азын-аулақ мөлшерін ғана қалдырған, сондықтан олар бірдеңені санауға зәру болмаған. Алайда олар уақытты күнге, ай мен жұлдыздарға қарап бақылап отырған.

Әлемде әлі де аз болса жинаушы-аңшылар сияқты тіршілік ететін адамдар бар. Олардың көпшілігі санай біледі, бірақ кейбіреулері санақпен басын қатырып жатпайды. Амазонияның тропикалық орманында тұратын пираха тайпасының адамдары тек екіге дейін ғана санайды, одан артығы олар үшін "көп" деген мағынаны білдіреді. Танзанияны мекендейтін хадза тайпасындағылар үшке дейін санайды. Осы қос тайпа да үлкен сандарсыз-ақ тамаша тіршілік жасайды, мүмкін, оларға үлкен сандардың еш уақытта қажеті болмаған шығар.

Адамзат баласы сандардың атауын ойлап тапқанға дейін саусақтар есептеудің ең қолайлы тәсілін табуға қөмектескен. Сен бірдеңені санау кезінде саусақтарды пайдалансаң, ешқашан есептен жаңылмайсың. Саусақтарына қарап-ақ, сандарды атамастан оларды көз алдыңа елестете аласың. Саусақтар мен сандар арасындағы байланыс көне замандардан бері бар. Тіпті қазір де біз "digit" - "сан" сөзін пайдаланамыз, ол "саусақ" деген ұғымды білдіреді.

Осыдан 5000 жылдай бұрын Ирақта өмір сүрген вавилондықтар алпыс-алпыстан санаған. Олар бір жылдағы 360 күнді 6х60 ретінде елестеткен. олардың санау кезінде саусақтарды қалай пайдаланғаны бізге белгісіз, бірақ олар бас бармақпен бір қолдың саусақтарындағы 12 сегментті қөрсеткен деген болжам бар. Ал екінші қолдың әр саусағы 12 санын білдірген, сондықтан саусақтардың қосындысы 60 санын құрайтын болған. Вавилондықтар минуттар мен секундтарды ойлап тапқан, осы уақыт өлшемдерін біздер әлі күнге дейін 60-тан есептеп отырамыз.

Адамзат баласы ғасырлар бойы дене мүшелерін пайдалану арқылы 10-нан кейінгі сандарды есептеудің көтеген тәсілдерін ойлап тапты. Тіпті қазірдің өзінде де кейбір халықтар осындай тәсілдерді пайдаланады. Жаңа Гвинеядағы Папуаның кейбір аралығында тұратын адамдар санауды шынашақтан бастайды, содан соң қолға, кеудеге ауысады да, тек осыдан кейін ғана екінші қолға көшеді. Файвол тайпасы адамның денесі 27 мүшеден тұрады деп есептейді және дене атауларын сандарды белгілеу үшін пайдаланады. Мысалы, 14 санын олар мұрын деп атайды, 27-ден көп сандар үшін олар бір адам деген сөзді қосады. Ал 40 санын атаған кезде олар бір адам және оң жақ көз деп атайды.

Сан - математика ғылымындағы ең негізгі ұғымдардың бірі. Адамзат мәдениет есігін аша бастағанда математикадағы ең бірінші амал нәрселерді санау болды. Жүз мыңдаған жылдар бойы адамдарға тек саусақтармен санаудың өзі-ақ жеткілікті болып келді. Бірақ осыдан 6000 жылдай бұрын дүние өзгерді. Таяу Шығыста тұратын халық мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналыса бастады да, олар фермерлерге айналды. Мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналыса бастаған адамдар базарларда сауда жасауға кірісті. оларға қолдарында қанша нәрсенің бар екенін, қаншасын сатқанын немесе сатып алғанын нақты білу керек болды, әйтпесе адамдар бірін-бірі алдауы мүмкін еді. Сондықтан фермерлер жазба жасап отырды, ол үшін ағаш таяқтарға немесе сүйектерге кертіктер түсірді немесе жіптерге түйіндер байлады.

Өте көне заманда егіпеттіктер Сахара шөлінен өтетін Ніл өзенінің бойында ғана жер өндейтін болған. Әр жылғы жаз сайын суаруға арналған танаптар мен каналдарды Ніл шайып кетіп отырды. Міне, сол себепті де мысырлықтарды ең озық жер өлшеушілер және хронометршілер деп есептейді. Мысырлықтар математиканы тек жер өлшеу үшін ғана емес, сонымен бірге жерді өлшеу, ғимараттар салу және уақытты есептеу үшін де пайдаланған. Ұзындық өлшемінінің бірліктерін анықтау кезінде егіпеттіктер адамның дене мүшелерін негізгі алған. Тіпті қазір де кейбір адамдар биіктікті футпен (ағылшынша foot=аяқ) өлшейді. Мысырлықтар ондықтармен санаған және сандарды әр түрлі бейнелермен немесе "иероглифтермен" белгілеген. Жай сызықтар 1,10 және 100 санын білдірген. Лотос гүлі 1000-ді, саусақ 10000-ды, ілмек - 100 000-ды белгілесе, ал миллионды құдайдың бейнесімен таңбалаған.

Солтүстік Американың байырғы тұрғындары да сондай-ақ мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналысқан. Олар сандарды жазудың өздеріне тән тәсілін ойлап тапқан. Майя тайпасының сандар жүйесі тіпті египеттіктердің жүйесінен артықтау болған. Олар күнді анағұрлым дәл анықтаған. жылдың 365,242 күнге созылатынын нақ сол тайпаның адамдары есептеп шығарған. Сандардың бейнесі оларда бұршақтарға, таяқшалар мен ұлутастарға ұқсас болған, осы заттарды абактар (есепшоттар) ретінде пайдаланған.

Рим империясы үстемдік құрып тұрған кезде рим сандары бүкіл Еуропаға тарады. Римдіктер ондықтармен санаған және әріптерді сан ретінде пайдаланған. Еуропалықтар үшін бұл 2000 жыл бойы сандады жазудың негізгі тәсілі болды. Біз осы уақытқа дейін рим сандарын сағаттардан, корольдік лауазымдар есімдерінен (королева Елизавета ІІ) немесе параграфтарды нөмірлеу үшін қойылатын кітаптардан кездестіреміз- (І), (ІІ) және (ІІІ). Қайсыбір санды жазу үшін сәйкес әріптерді солдан оңға қарай кезекпен жазу қажет, бұл ретте ең аз сандар оң жаққа, ал ең үлкен сандар сол жаққа орналасуы тиіс. Бұл - оп-оңай амал, бірақ сандар тым ұзын және арбиған болып шығуы мүмкін. Шын мәнінде Рим сандары көп жылдар бойы математиканың дамуын тежеп келді. Бұл үнділердің "ақылды тәсілі" Еуропада пайда болғанға дейін созылды және осы тәсіл кейіннен расында да математикаға сіңісіп кетті.

Көне замандарда арифметикалық амалдарды орындауын ең озық тәсілі ШОТТАРДЫ (абақтарды) пайдалану болды, ол - есептеуге арналған амал, мұнда бұршақтар немесе ұсақ малта тастар қатарларға тізілетін. Бірақ осыдан 1500 жылда бұрын үнділер санаудың орналасу жүйесі - сандардың жазылу тәсілін ойлап тапты. Онда символдар шоттағы қатарларға сәйкес келеді. Бұл қиын (арифметикалық) амалдарды орындау шоттың көмегімен қажет етпеді, сандарды жай жаза береді. Бірақ бос қатар үшін таңба қажет болды, сондықтан үнділер нөлді ойлап тапты. Бұл асқан даналық еді. Жаңа сандар Азиядан Еуропаға тарады, біз оларды күні бүгінге дейін пайдаланамыз. Үнді сандары қайта құрылған Мұсылман империясының орталығы Бағдатқа дейін тарады. Әл-Хорезми есімді ғалым математика жөнінде кітаптар жазды, сол кітаптардың арқасында үнді сандары мен нөл бүкіл әлемге жайылды. "Арифметика" және "алгоритм" сөздері оның атынан құралған, ал "алгебра" сөзі оның "Хисаб әл-жабр уа-л- мукабалл" аталатын кітабының атынан туындаған. Біз кейде қазіргі заманғы сандарды араб сандары деп атаймыз, өйткені осы сандар Еуропаға Араб елдерінен келген.

Нөл санының қысқаша тарихы

"Нөл" сөзі қазақшаға аударғанда "ешқандай" дегенді білдіретін латынның "nullus" деген сөзінен шыққан. Нөл әрқашан ештеңені білдіре бермейді. Егер нөлді саннан кейін тіркесе, ол сан он есе көбейеді. Оның себебі - санның орналасуы оның мәнін білдіретін "есептеп шығарудың позициялы жүйесін" пайдаланамыз. Мысалы 123 саны- бір жүздік, екі ондық және үш бірлік. Бос аралықтарды толтыру үшін бізге нөл қажет, әйтпесе біз 11-ді 101- ден ажырата алмаймыз.

Қазіргі кездегі түсінігімізше нөл - сан. Оны басқа сандар сияқты қосуға, азайтуға, көбейтуге, бөлуге болады, тек қана 0-ге бөлуге болмайды.

Теңдеуді нөлге бөлу мүлде мүмкін емес тұжырымға әкеледі. Мәселен, мына сұраққа жауап берсек:

1 0 = 0

Егер екі жақты да нөлге бөлсек, былай болып шығады:

Ал енді сұрақты былай қойса...

2 0 = 0

...және алдыңғы амалды бұған да жасаса, онда былай болып шығады:

Сөйтіп, 1 мен 2 саны бірдей дәрежеге тең, демек:

1 = 2

Ал олай болу мүмкін емес. біз нені дұрыс жасамадық? Оның жауабы былай: сандарды нөлге бөлуге БОЛМАЙДЫ, өйткені мұндай амал - ақылға қонбайтын мағынасыз амал болып табылады.

Сиқырлы сандарға саны, шексіздік және жай сандарды жатқызуға болады. Олардың өздеріне ғана тән ерекшеліктер бар.

деген не? - оның диаметріне бөлінген шеңбер ұзындығы. саны ғалымдар, инженерлер мен дизайнерлер үшін өте пайдалы. Кез келген дөңгелек пішінде (мейлі, ол бұршақ салынған консерві банкісі болсын) және шеңбер бойынша айналатын кез келген затта (мейлі, ол дөңғалақ немесе планета болсын) саны болады. санынсыз адамдар машина жасай алмас еді, планеталардың қалай қозғалатынын түсінбес еді немесе конверві банкісіне қанша бұршақ сыятынын есептеп шығара алмас еді.

Мәселен санының ерекшеліктерінің бірі - оны дәл есептеп шығару мүмкін емес. санына дәл тең болатын сияқты жай пропорция жоқ. Мысырлықтар -дің 16²/9², ал оның 256/81 немесе 3,16-ға тең екендігін есептеп шығарды. Жаман емес, бірақ үтірден кейінгі бірінші белгіге дейін ғана дәл.

Ал грек философы Архимед дөңгелектердің айналасына 96 фигура салған және осылайша ол санының 220/70 пен 223/71 аралағының шамасында болатынын есептеп шығарған, ол үтірден кейін 3 белгіге дейінгі дәлдік.

Ағылшын астрономы Джон Мэчин санын есептеп шығару үшін күрделі формула жасады және ос ысанның алғашқы жүз таңбасын есептеп шығару үшін пайдаланды.

Ағылшын математигі Вильям Шенкс санының үтірден кейінгі 707 таңбасына дейін есептеуге 15 жыл жұмсады, бірақ 528-ші таңбада қателесті де, оның одан арғы есептері бұрыс болып шықты!

Токиялық Ясумаса Канада компьютердің көмегімен санының үтірден кейінгі 1,24 триллион таңбасын есептеп шығарды. Қазірден бастап және мәңгілікке санының таңбалары -тек шексіз ғана емес, сонымен қатар мүлде кездейсоқ таңбалар, олар ешқандай математикалық тізбекті құрамайды.

Дәл осы себептен - " иррационал" сан. Егер оны толық түрінде жазғың келсе (ол шын мәнінде мүмкін емес), оның белгілері ешқашан аяқталмайды.

Шексіздік. Сен қандай ең үлкен санды көзіңе елестете аласың? Сен қандай санды атасаң да, бәрібір оған әрқашан бірді қоса аласың. Содан кейін сенің тағы бірді, тағы және тағы қоса беруіңе болады...Сандардың қаншалықты үлкен (немесе кішкентай) болуы мүмкіндігінің іс жүзінде шегі жоқ. Осы феноменді сипаттау үшін математиктер пайдаланатын термин шексіздік болып табылады. Уақыттың шексіз саны мәңгілік деп аталады.

Шексіздіктің таңбасы бір бүйіріне аударылған 8 саны сияқты көрінеді. Шексіздік - таң қаларлық қиял-елес.

Шексіздік - қайсыбір сан емес, ол жай - ұғым ғана. Нақ осы себептен шексіздікті қосатын самалардың әрқашан мағынасы бола бермейді.

Жай сандар - бірден басқа бүтін сандарға жіктеуге болмайтын бүтін сан. Мәселен, 23 саны жай сан болып табылады, себебі оңы ешқандай сан қалдықсыз бөле алмайды. Ал 22 жай санға жатпайды: оны 11-ге және 2-ге бөлуге болады. Кейбір математиктер жай сандарды математиканың құрылыс блоктары деп атайды, себебі жай сандарды өзара көбейту арқылы қалған барлық бүтін сандарды алуға болады. Міне, оған бірнеше мысал:

55= 5 11

75= 3 5 5

39=3 13

Жай сандардың жұмбақ сыры мынада: олар әдеттегі сандардың арасында кездейсоқ пайда болады. Математиктер қайсыбір заңдылықты анықтау үшін жылдар бойы текке әуреленді. Заңдылықтың жоқтығы осы сандарың әрқайсысын тору керек екенін білдіреді.

Кіші жай сандарды "електің" көмегімен анықтауға болады. Мұны жасау үшін тордың ішіне 1-ден басқа (ол жай сан емес) жүзге дейін сандарды жаз. Екінің өзінен басқа 2-ге бөлінетін сандарды бәрін сыз. Содан кейін үштің өзінен басқа 3-ке бөлінетін сандарды барлығын сыз. 4-ке бөлінетін, 5-ке, 7-ге бөлінетін сандарды сызу арқылы тордың ішінде қалған сандардың барлығы жай сан болады.

73939133 - керемет жай сан. Осы санның аяқ жағынан бастап қаншасын алып тастасаң да, қалғаны бәрібір жай сан болып шығады. Бұл ғалымдарға белгілі осындай қасиеті бар ең үлкен жай сан.

Елеушті кішкене жай сандарды табу үшін пайдалану қолайлы, ал үлкен сандарды қалай табуға болады? 523 367 890 103 саны жай сан болып табыла ма? Мұны білудің жалғыз тәсілі- осы санның өзге сандарға қалдықсыз бөлінбейтініне көз жеткізу, ол үшін көп уақыт керек. Мұны тіпті осындай тәсілмен тексеру арқылы да математиктер кейбір керемет үлкен жай сандарды тапты. Осы кезде ең үлкен жай сан 7,8 миллион саннан артығырақ. Егер оны қолмен жазса, оған 7 апта уақыт кетеді және 46 километр қағаз жұмсалады.

Қазіргі кезде белгілі үлкен жай санды жазу үшін орташа көлемдегі 10 кітап қажет болады.

Мұхиттың суында қанша тамшы бар ? Адам денесінде қанша атом бар? Ғаламды толтыру үшін қанша майда құм керек? Кейбір сандардың үлкен екені соншалық, оларды біз тіпті көзімізге де елестете немесе қағазға түсіре алмаймыз.

Математиктер осы мәселені "дәрежелерді" пайдалану арқылы шешеді. Дәреже дегеніміз не? Дәреже дегеніміз- негізгі саннан сәл жоғарырақ оң жақ тұсқа жазылатын сан, мәселен былай: 4². Бұл "екінші дәрежедегі 4" дегенді білдіреді. 4³ = 444 және ол 64-ке тең болады. Дәрежелер пайдалануға қолайлы, өйткені солардың көмегі арқылы тым ұзын сандарды жазу оңайырақ болады. Мәселен, саны, ол 9-дың 9 дәрежесінің 9 дәрежесін білдіреді, немесе 9^387420489 . Осы санды жазу үшін 369 миллион белгі және ұзындығы 800 км қағаз кажет болады.

Архимедтің есептеу бойынша, әлемді толтыру үшін 10⁶³ (1 вигинтиллион) құм ұнтағы қажет екен.

Жазуды оңайлату үшін ғалымдар әдетте үлкен сандарды оң дәрежелерінде жазады- осы жүйе стандартты форма аталады. Сонымен 9 миллиардты (9 000 000 000) математик 910⁹ деп жазар еді. Калькуляторлардың көпшілігі сандар дисплейге сыймаған кезде, оларды стандарттық формада жазады.

Үлкен сандар қатары

Өмірде, тұрмыста кездесетін көптеген шамалар (жылдамдық, температура, баға, т.б.) көбейіп, азайып өзгеріп отырады. Шамалардың өзгерістерін белгілеу үшін оң сандармен қатар теріс сандар еңгізіледі. Теріс сандар туралы ең алғашқы ұғым біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырдағы қытай математиктерінің еңбектерінде кездескен. оң санды "өсу" өзгерісінде қолданса, теріс санды "кему" өзгерісінде қолданған немесе теріс сандар "қарыз" мағынасында қолданған, ал оң сандарды қолда бар зат "мүлік" деп түсінген.

Теріс сандар ең алғаш рет Джань Цаньнің (ІІІ ғ.б.э.д.) "Математиканың тоғыз кітабы" еңбегінде кездеседі. Бұл кезде "минус" таңбасын әр түрлі сиялармен жазған.

Ежелгі грек ғалымы Диофант (ІІІ ғ.) өз еңбектерінде теріс сандармен есептеуді қолданған.

VI-VII ғасырларда үнді математиктері теріс сандарды "қарыз" мағынасында жүйелі түрде қолданып есептеген.

үнді математигі және астрономы Брахмагупта (598-660) ең алғаш рет теріс сандарға арифметикалық төрт амал қолданған .

Италия математигі Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ХІІІ ғ.) теріс сандардың оң сандарға қарама -қарсы сандар екенін тұжырымдады.

Математикаға теріс сандардың енгізілуімен қатар 0 саны да жаңа мағынаға ие болды. 0 саны санақ басы болып, әрі санда жоқ разряд- сандардың қосындысы деп есептелді.

Неміс математигі М.Штифель (ХVI ғ.) теріс сандарды 0 санынан кіші сандар ретінде қарастырды.

ХVIІ ғасырда Голландия математигі А.Жирара (1595-1632) теріс сандарды координаталық түзу бойында санақ басынан солға қарайғы бағытта кескіндеуді енгізген.

Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы координаталық түзуді енгізіп, теріс және оң сандарға түсінік берді.

Теріс сандар туралы нақты мәліметтер және оларды қолдану ХVIІІ ғасырдың бірінші бірінші жартысында ғана жүзеге асырылды. осы кезден бастап теріс сандардың қазіргі жазу белгісі қолданылды.

1. Алдамұратова Т.А. Математика. Жалпы білім беретін мектептердің 6-сыныбына арналған оқулық "Атамұра", 2015