Конспект лекций Модуль Механика

 

10 

  Конспект лекций 

  

Модуль 1. Механика 

Механика – раздел физики, в котором изучаются закономерности механического движения 

и причины, вызвавшие или изменившие его.  

Механическое  движение  состоит  в  изменении  с  течением  времени  взаимного 

расположения тел или их частей.  

В  классической  механике  рассматривается  движение  макроскопических  тел  со 

скоростями,  много  меньшими  скорости  света  (с)  в  вакууме.  Законы  движения 

макроскопических  тел  со  скоростями,  сравнимыми  со  скоростью  c ,  изучаются 

релятивистской  механикой.  Для  описания  движения  микроскопических  тел  (отдельных 

атомов и элементарных частиц) применяются законы квантовой механики. 

Механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики. Мы ограничимся 

изучением только кинематики и динамики. 

 

I. Кинематика 

Кинематика  –  раздел  механики,  рассматривающий  закономерности  движения  тел  вне 

зависимости от причин, вызывающих или изменяющих его. 

Всякое  перемещение  твердого  тела  можно  представить  как  комбинацию 

поступательного  и  вращательного  движений.  Поступательным  называется  движение,  при 

котором  любая  прямая,  жестко  связанная  с  перемещающимся  телом,  остается  параллельной 

своему  первоначальному  положению.  При  вращательном  движении  все  точки  тела 

описывают  окружности,  центры  которых  лежат  на  одной  прямой,  называемой  осью 

вращения.  

Тела существуют и движутся в пространстве и во времени. Произвольно выбранное тело, 

относительно  которого  определяется  положение  других  тел,  называется  телом  отсчета. 

Совокупность  тела  отсчета,  связанной  с  ним  системы  координат  и    часов,  представляет  собой 

систему отсчета. 

 

1.1. Кинематическое описание движения материальной точки 

 

Рис.1.1 

Материальной  точкой  называется  тело,  размерами  и  формой 

которого можно пренебречь в данной задаче.  В декартовой системе 

координат  (рис.1.1)  положение  материальной  точки 

A

 

в 

определенный момент времени, задается тремя координатами 

z

y

x

,

,

 

или  радиус-вектором 

r



,  проведенным  из  начала  координат 

О

  в 

данную точку

А

.  При  движении  точки  ее  координаты  изменяются  с 

течением  времени.    Кинематические  уравнения  движения 

материальной точки можно записать в скалярном виде:  

                           

)

(

),

(

),

(

t

z

z

t

y

y

t

x

x







                                           (1.1.1) 

или в векторной форме:                          

).

(t

r

r







                                                            (1.1.2) 

1.2. Траектория, длина пути, вектор перемещения 

Линия,  описываемая  движущейся  материальной  точкой  относительно  выбранной 

системы  отсчета,  называется  траекторией  ее  движения.  В  зависимости  от  формы 

траектории различают прямолинейное и криволинейное движения. 

 

Рис.1.2 

Рассмотрим 

движение 

материальной 

точки 

вдоль 

траектории  AB  (рис.1.2).  Длина  криволинейного участка  AB  

называется  длиной  пути 

S



.  Это  скалярная  величина, 

являющаяся функцией времени             

)

(t

S

S







. 

Вектор 





r , проведенный из начального положения  A  точки 

в положение  ее   B  в данный момент времени, называется 

 

11 

вектором  перемещения.  Это  приращение  радиус-вектора  точки  за  время 

t



. 

.

1

2













r

r

r

При  прямолинейном  движении  в  одном  направлении  вектор  перемещения 

совпадает  с  соответствующим  участком  траектории  и  модуль  перемещения    равен 

пройденному пути  S



:  

                                                                 

S

r









.                                                              (1.1.3) 

 

Единица перемещения - 

м . 

1.3. Скорость 

Скорость  – это векторная величина, определяющая быстроту  и направление  движения 

точки в данный момент времени.  

Средняя скорость точки 







    за  время  t



 определяется  отношением  длины  пути  S



  к 

промежутку времени  t



:

 

.

/

,

s

m

t

S











                                                               (1. 1.4) 

Единица скорости - 

с

м

. 

 

Вектор средней скорости точки 









 за время  t



 определяется отношением приращения  

радиус-вектора точки 





r

 к промежутку времени  t



:

 

.

t

r















                                                               (1. 1.4) 

Единица скорости - 

с

м

. 

Мгновенная  скорость 





  (скорость)  –  векторная  величина,  равная  первой 

производной по времени от радиус-вектора 



r  движущейся точки:  

dt

r

d

t

r

t



















0

lim



.                                                        (1. 1.5) 

Вектор 





  направлен  по  касательной  к  траектории  точки  в  сторону  ее  движения.  Модуль 

скорости определяется выражением:   

.

lim

lim

0

0

dt

dS

t

S

t

r

t

r

im

t

o

t

t









































                                      (1.1.6) 

                      

Откуда                                                                   

dt

dS

dt

ds













,                                                                      

(1.1.7) 











2

1

0

t

t

S

dt

dS

S



.                                                               (1.1.8) 

При равномерном движении (

const





) формула пути имеет вид:  

t

S







.                                                                   (1.1.9) 

 

1.4. Ускорение и его составляющие 

Ускорение  - это векторная величина, характеризующая быстроту  изменения  скорости 

материальной точки по модулю и направлению. 

 

12 

Вектор  среднего  ускорения  точки 







a

  за  время 

t



  определяется  отношением 

изменения скорости 







 к промежутку времени  t



: 

 

.

t

а















                                                             (1.1.10) 

Единица ускорения - 

2

с

м

. 

Мгновенное ускорение (ускорение) – векторная величина, равная первой производной по 

времени от скорости точки или второй производной по времени от ее радиус-вектора: 

.

lim

2

2

0

dt

r

d

dt

d

t

a

t



























                                                 (1.1.11) 

С  учетом  (1.1.6)  модуль  ускорения  равен                       

2

2

dt

S

d

dt

d

a







                                           

(1.1.12) 

.

/

3

;

/

14

;

5

;

)

(

2

2

s

m

C

s

m

B

m

A

where

Ct

Bt

A

t

S













 

.

2

)

(

Ct

B

dt

dS

t









.

/

6

2

2

s

m

C

dt

d

a













 

Движение  с  постоянным  ускорением  (

const

a



)  называется  равнопеременным 

(равноускоренным, если 

0



a

, и равнозамедленным, если 

0



a

).  

Обозначим  скорость  в  начальный  момент  времени  (

o

t



)  через 

0



.  Тогда  из 

зависимости  (1.1.11) 

.

dt

a

d

dt

d

a













 











t

t

d

a

d

0

0









  можно  определить  закон 

скорости при равнопеременном движении:                                                       

t

a





0





                                                        

(1.1.13) 

Подставив (1.1.13) в (1.1.8), получим:     

                                                        

2

)

(

2

0

0

0

0

t

a

t

t

d

t

a

t

d

S

t

t























.                           (1.1.14) 

Направление  вектора 



a   совпадает  с  направлением  вектора 







.  Поэтому  при 

прямолинейном ускоренном движении  направление вектора 



a

 совпадает с  направлением 

вектора 





, а при замедленном движении противоположно ему. 

 

Рис.1.3 

При криволинейном движении (рис.1.3) вектор 



a

, так же как 

и  вектор 







,  направлен  в  сторону  вогнутости  траектории. 

Удобно разложить вектор 



a

 на две компоненты (рис.1.4):  

 

Рис.1.4 

тангенциальную  (





a )  в  направлении  вектора 





  и  нормальную  (



n

a ),  перпендикулярно  ему, 

так, чтобы                              

.













a

a

a

n

                                                                                (1.1.15) 

Тангенциальное  ускорение  характеризует  быстроту  изменения  величины  скорости 

),

(

dt

d

a







 нормальное – быстроту изменения направления вектора скорости.  

Можно  показать,  что  модуль  нормального  ускорения  при  равномерном  вращении 

точки по окружности радиуса 

R

 определяется формулой  

 

13 

.

2

R

a

n





                                                       (1.1.16) 

Модуль полного ускорения точки равен:          

.

R

dt

d

a

2

2

2

































                        (1.1.17) 

Сопряженная окружность-окружность, часть которой совпадает с траекторией вблизи некоторой точки. Радиус 

кривизны траектории – радиус сопряженной окружности:   

.

2

n

a

R





 

Значения  составляющих  ускорения  при  различных  видах  поступательного  движения 

точки приведены в табл.1.1. 

Таблица 1.1 

Движение  

Тангенциальное 

ускорение 



a  

Нормальное ускорение 

n

a  

Равномерное прямолинейное  

0

 

0

 

Равнопеременное прямолинейное  

const

a

a







 

0  

Равномерное вращение  

0

 

const

a

a

n





 

Равнопеременное криволинейное 

const  

0



 

1.5. Поступательное движение твердого тела 

При  поступательном  движении  твердого  тела  все  его  точки  тела  имеют  одинаковые 

(совпадающие  при  наложении)  траектории,  одинаковые  по  численному  значению  и 

направлению  скорости  и  ускорения.  Поэтому  рассмотренные  выше  кинематические 

характеристики  материальной  точки  целиком  и  полностью  применимы  к  поступательному 

движению твердого тела. 

 

1.6. Кинематика вращательного движения 

При описании вращательного движения удобно пользоваться полярными координатами 

R  и 



, где  R  - радиус (расстояние от центра вращения до точки), 



 - полярный угол (угол 

поворота).  

Угловое  перемещение  –  аксиальный  скользящий  вектор, 

модуль  которого  равен  углу  поворота,  направление 

определяется  правилом  правого  винта,  а  модуль  равен  углу 

поворота. При малых углах поворота





  

.











R

S

                          (1.1.18) 

Угловая скорость:                   

t

d

d











,                          (1.1.19) 

Рис.1.5 

Угловое ускорение:                 

.

2

2

dt

d

dt

d

















                                                                     (1.1.20) 

Единицы углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения  - 

2

,

,

с

рад

с

рад

рад

. 

Векторы 





  и 





  лежат  на  оси  вращения.  Направление  вектора 





  совпадает  с 

направлением  вектора 





d

.  Вектор 





  направлен  в  сторону  вектора 





  при  ускоренном 

движении и противоположен ему при замедленном (рис.1.5). 

  В  случае  равнопеременного  вращения  тела  (

сonst





)  из  (1.1.20) 







t

dt

d

0

0









 

получаем закон скорости:                                 

t











0

                                                

 (1.1.21) 

 

14 

Подставив (1.1.21) в (1.1.19), получим:  

.

2

)

(

2

0

0

0

t

t

dt

t

dt

t



























                  (1.1.22) 

Установим  связь  между  линейными  и  угловыми  кинематическими  характеристиками 

точки. Если за время 

t



 точка 

A

 описала дугу 

S



 (рис.1.6), то модуль ее линейной скорости 

(с учетом (1.1.3) и (1.1.18)) равен:   

.

lim

lim

lim

0

0

0















































R

t

R

t

R

t

S

t

t

t

            (1.1.23)

 

Рис.1.6 

В векторном виде последняя формула имеет вид:  

















r





.                                                     (1.1.24) 

Тангенциальное ускорение 



a  связано с угловым ускорением 



:  

















R

R

dt

d

dt

d

a

)

(

 

    или 

















r

a





.                 (1.1.25) 

Нормальное ускорение  

 

R

R

a

n







2

2





          или         











R

a

n

2



.                 

(1.1.26) 

В  табл.  1.2  приведены  кинематические  характеристики  тела  при  поступательном  и 

вращательном движениях. 

Таблица 1.2 

Поступательное 

Движение 

Вращательное  

Движение 

Связь между 

характеристиками 

Радиус-вектор 



r

 

Угол поворота 



 

 

Вектор 

перемещения 



r

d

 

Вектор углового 

перемещения 





d

 

 

Длина пути 

dS

 

Длина пути 

dS

 



d

R

dS





 

Скорость 

dt

r

d









 

Угловая скорость 

t

d

d











 









R

 

























r





 

Ускорение 

2

2

dt

r

d

dt

d

a

























a

a

a

n

 

Угловое ускорение 

2

2

dt

d

dt

d

















 

 

Тангенц. 

ускорение 

dt

d

a







 

 

 









R

a

 

















r

a





 

Нормальное 

ускорение 

R

a

n

2





 

 

 

R

a

n





2



 











R

a

n

2



 

 

II. Динамика материальной точки и поступательного 

 движения твёрдого тела 

Динамика – раздел механики, изучающий законы движения тел и причины, вызывающие 

или изменяющие эти движения. 

 

15