Конспект лекций Модуль Механика



Pdf көрінісі
бет1/6
Дата13.04.2020
өлшемі1,17 Mb.
#62341
  1   2   3   4   5   6
Байланысты:
1 физика- механика


 

10 


  Конспект лекций 

  

Модуль 1. Механика 



Механика – раздел физики, в котором изучаются закономерности механического движения 

и причины, вызвавшие или изменившие его.  



Механическое  движение  состоит  в  изменении  с  течением  времени  взаимного 

расположения тел или их частей.  

В  классической  механике  рассматривается  движение  макроскопических  тел  со 

скоростями,  много  меньшими  скорости  света  (с)  в  вакууме.  Законы  движения 

макроскопических  тел  со  скоростями,  сравнимыми  со  скоростью  ,  изучаются 

релятивистской  механикой.  Для  описания  движения  микроскопических  тел  (отдельных 

атомов и элементарных частиц) применяются законы квантовой механики. 

Механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики. Мы ограничимся 

изучением только кинематики и динамики. 



 

I. Кинематика 

Кинематика  –  раздел  механики,  рассматривающий  закономерности  движения  тел  вне 

зависимости от причин, вызывающих или изменяющих его. 

Всякое  перемещение  твердого  тела  можно  представить  как  комбинацию 

поступательного  и  вращательного  движений.  Поступательным  называется  движение,  при 

котором  любая  прямая,  жестко  связанная  с  перемещающимся  телом,  остается  параллельной 

своему  первоначальному  положению.  При  вращательном  движении  все  точки  тела 

описывают  окружности,  центры  которых  лежат  на  одной  прямой,  называемой  осью 

вращения.  

Тела существуют и движутся в пространстве и во времени. Произвольно выбранное тело, 

относительно  которого  определяется  положение  других  тел,  называется  телом  отсчета

Совокупность  тела  отсчета,  связанной  с  ним  системы  координат  и    часов,  представляет  собой 

систему отсчета

 

1.1. Кинематическое описание движения материальной точки 

 

Рис.1.1 



Материальной  точкой  называется  тело,  размерами  и  формой 

которого можно пренебречь в данной задаче.  В декартовой системе 

координат  (рис.1.1)  положение  материальной  точки 

A

 

в 



определенный момент времени, задается тремя координатами 

z

y

x

,

,



 

или  радиус-вектором 



r

,  проведенным  из  начала  координат 



О

  в 


данную точку

А

.  При  движении  точки  ее  координаты  изменяются  с 

течением  времени.    Кинематические  уравнения  движения 

материальной точки можно записать в скалярном виде:  

                           

)

(

),



(

),

(



t

z

z

t

y

y

t

x

x



                                           (1.1.1) 

или в векторной форме:                          

).

(t



r

r



                                                            (1.1.2) 



1.2. Траектория, длина пути, вектор перемещения 

Линия,  описываемая  движущейся  материальной  точкой  относительно  выбранной 

системы  отсчета,  называется  траекторией  ее  движения.  В  зависимости  от  формы 

траектории различают прямолинейное и криволинейное движения

 

Рис.1.2 


Рассмотрим 

движение 

материальной 

точки 


вдоль 

траектории  AB  (рис.1.2).  Длина  криволинейного участка  AB  

называется  длиной  пути 

S

.  Это  скалярная  величина, 



являющаяся функцией времени             

)

(t



S

S



Вектор 





, проведенный из начального положения   точки 

в положение  ее    в данный момент времени, называется 


 

11 


вектором  перемещения.  Это  приращение  радиус-вектора  точки  за  время 

t



.

1

2







r

r

r

При  прямолинейном  движении  в  одном  направлении  вектор  перемещения 

совпадает  с  соответствующим  участком  траектории  и  модуль  перемещения    равен 

пройденному пути  S

:  


                                                                 

S

r



.                                                              (1.1.3) 



 

Единица перемещения - 

м . 

1.3. Скорость 



Скорость  – это векторная величина, определяющая быстроту  и направление  движения 

точки в данный момент времени.  



Средняя скорость точки 



    за  время  t

 определяется  отношением  длины  пути  S



  к 


промежутку времени  t

:



 

.

/



,

s

m

t

S







                                                               (1. 1.4) 

Единица скорости - 

с

м

 

Вектор средней скорости точки 





 за время  t

 определяется отношением приращения  



радиус-вектора точки 



r

 к промежутку времени  t

:

 



.

t

r







                                                               (1. 1.4) 



Единица скорости - 

с

м



Мгновенная  скорость 



  (скорость)  –  векторная  величина,  равная  первой 

производной по времени от радиус-вектора 



 движущейся точки:  

dt

r

d

t

r

t







0

lim



.                                                        (1. 1.5) 

Вектор 





  направлен  по  касательной  к  траектории  точки  в  сторону  ее  движения.  Модуль 

скорости определяется выражением:   

.

lim


lim

0

0



dt

dS

t

S

t

r

t

r

im

t

o

t

t















                                      (1.1.6) 

                      

Откуда                                                                   

dt

dS

dt

ds





,                                                                      

(1.1.7) 





2

1

0



t

t

S

dt

dS

S

.                                                               (1.1.8) 



При равномерном движении (

const



) формула пути имеет вид:  

t

S



.                                                                   (1.1.9) 

 

1.4. Ускорение и его составляющие 

Ускорение  - это векторная величина, характеризующая быстроту  изменения  скорости 

материальной точки по модулю и направлению. 



 

12 


Вектор  среднего  ускорения  точки 





a

  за  время 



t

  определяется  отношением 



изменения скорости 



 к промежутку времени  t



 



.

t

а







                                                             (1.1.10) 



Единица ускорения - 

2

с



м



Мгновенное ускорение (ускорение) – векторная величина, равная первой производной по 

времени от скорости точки или второй производной по времени от ее радиус-вектора: 

.

lim


2

2

0



dt

r

d

dt

d

t

a

t









                                                 (1.1.11) 



С  учетом  (1.1.6)  модуль  ускорения  равен                       

2

2



dt

S

d

dt

d

a



                                           

(1.1.12) 

.

/



3

;

/



14

;

5



;

)

(



2

2

s



m

C

s

m

B

m

A

where

Ct

Bt

A

t

S





 

.



2

)

(



Ct

B

dt

dS

t



.



/

6

2



2

s

m

C

dt

d

a





 

Движение  с  постоянным  ускорением  (



const

a

)  называется  равнопеременным 



(равноускоренным, если 

0



a

, и равнозамедленным, если 

0



a



).  

Обозначим  скорость  в  начальный  момент  времени  (



o

t

)  через 



0

.  Тогда  из 



зависимости  (1.1.11) 

.

dt



a

d

dt

d

a





 







t

t

d

a

d

0

0





  можно  определить  закон 

скорости при равнопеременном движении:                                                       

t

a



0



                                                        

(1.1.13) 

Подставив (1.1.13) в (1.1.8), получим:     

                                                        

2

)

(



2

0

0



0

0

t



a

t

t

d

t

a

t

d

S

t

t









.                           (1.1.14) 

Направление  вектора 



  совпадает  с  направлением  вектора 



.  Поэтому  при 

прямолинейном ускоренном движении  направление вектора 



a

 совпадает с  направлением 

вектора 


, а при замедленном движении противоположно ему. 



 

Рис.1.3 


При криволинейном движении (рис.1.3) вектор 



a

, так же как 

и  вектор 





,  направлен  в  сторону  вогнутости  траектории. 

Удобно разложить вектор 



a

 на две компоненты (рис.1.4):  

 

Рис.1.4 


тангенциальную  (



)  в  направлении  вектора 



  и  нормальную  (



n



),  перпендикулярно  ему, 

так, чтобы                              

.









a

a

a

n

                                                                                (1.1.15) 

Тангенциальное  ускорение  характеризует  быстроту  изменения  величины  скорости 

),

(



dt

d

a



 нормальное – быстроту изменения направления вектора скорости.  

Можно  показать,  что  модуль  нормального  ускорения  при  равномерном  вращении 

точки по окружности радиуса 



R

 определяется формулой  



 

13 


.

2

R



a

n



                                                       (1.1.16) 

Модуль полного ускорения точки равен:          



.

R

dt

d

a

2

2



2











                        (1.1.17) 



Сопряженная окружность-окружность, часть которой совпадает с траекторией вблизи некоторой точки. Радиус 

кривизны траектории – радиус сопряженной окружности:   

.

2

n



a

R



 

Значения  составляющих  ускорения  при  различных  видах  поступательного  движения 

точки приведены в табл.1.1. 

Таблица 1.1 

Движение  

Тангенциальное 

ускорение 



 

Нормальное ускорение 

n

 

Равномерное прямолинейное  

0

 

0



 

Равнопеременное прямолинейное  



const

a

a



 

0  



Равномерное вращение  

0

 



const

a

a

n



 

Равнопеременное криволинейное 



const  

0



 

1.5. Поступательное движение твердого тела 

При  поступательном  движении  твердого  тела  все  его  точки  тела  имеют  одинаковые 

(совпадающие  при  наложении)  траектории,  одинаковые  по  численному  значению  и 

направлению  скорости  и  ускорения.  Поэтому  рассмотренные  выше  кинематические 

характеристики  материальной  точки  целиком  и  полностью  применимы  к  поступательному 

движению твердого тела. 



 

1.6. Кинематика вращательного движения 

При описании вращательного движения удобно пользоваться полярными координатами 



R  и 



где  R  - радиус (расстояние от центра вращения до точки), 

 - полярный угол (угол 



поворота).  

Угловое  перемещение  –  аксиальный  скользящий  вектор, 

модуль  которого  равен  углу  поворота,  направление 

определяется  правилом  правого  винта,  а  модуль  равен  углу 

поворота. При малых углах поворота



  



.





R

S

                          (1.1.18) 



Угловая скорость:                   

t

d

d





,                          (1.1.19) 

Рис.1.5 


Угловое ускорение:                 

.

2



2

dt

d

dt

d







                                                                     (1.1.20) 

Единицы углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения  - 

2

,



,

с

рад

с

рад

рад

. 

Векторы 


  и 



  лежат  на  оси  вращения.  Направление  вектора 



  совпадает  с 



направлением  вектора 



d

.  Вектор 



  направлен  в  сторону  вектора 



  при  ускоренном 



движении и противоположен ему при замедленном (рис.1.5). 

  В  случае  равнопеременного  вращения  тела  (



сonst



)  из  (1.1.20) 





t

dt

d

0

0





 

получаем закон скорости:                                 



t





0

                                                

 (1.1.21) 


 

14 


Подставив (1.1.21) в (1.1.19), получим:  

.

2



)

(

2



0

0

0



t

t

dt

t

dt

t









                  (1.1.22) 



Установим  связь  между  линейными  и  угловыми  кинематическими  характеристиками 

точки. Если за время 



t

 точка 



A

 описала дугу 



S

 (рис.1.6), то модуль ее линейной скорости 



(с учетом (1.1.3) и (1.1.18)) равен:   

.

lim



lim

lim


0

0

0



















R



t

R

t

R

t

S

t

t

t

            (1.1.23)

 

Рис.1.6 


В векторном виде последняя формула имеет вид:  











r



.                                                     (1.1.24) 

Тангенциальное ускорение 



 связано с угловым ускорением 

:  









R



R

dt

d

dt

d

a

)

(



 

    или 












r



a



.                 (1.1.25) 

Нормальное ускорение  

 

R

R

a

n



2

2



          или         







R



a

n

2



.                 

(1.1.26) 

В  табл.  1.2  приведены  кинематические  характеристики  тела  при  поступательном  и 

вращательном движениях. 

Таблица 1.2 

Поступательное 

Движение 

Вращательное  

Движение 

Связь между 

характеристиками 

Радиус-вектор 



r

 

Угол поворота 



 

 



Вектор 

перемещения 



r

d

 

Вектор углового 



перемещения 



d

 

 



Длина пути 

dS

 

Длина пути 



dS

 



d

R

dS



 

Скорость 



dt

r

d



 



Угловая скорость 

t

d

d





 





R

 













r



 

Ускорение 

2

2

dt



r

d

dt

d

a











a

a

a

n

 

Угловое ускорение 



2

2

dt



d

dt

d







 

 

Тангенц. 



ускорение 

dt

d

a



 

 



 





R



a

 













r

a



 

Нормальное 

ускорение 

R

a

n

2



 

 



 

R

a

n



2

 







R



a

n

2



 

 

II. Динамика материальной точки и поступательного 



 движения твёрдого тела 

Динамика – раздел механики, изучающий законы движения тел и причины, вызывающие 

или изменяющие эти движения. 



 

15 



Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет