Қажетті шарт орындалған жағдайда да, кейбір сыни нүктелерде функцияның локалдық экстремумдары болмауы мүмкін. Экстремумның бар болуының жеткілікті шарты келесі теоремамен беріледі. - Теорема. Функцияның екінші дербес туындылары
- болатындай функциясының сыни нүктесі бар болса, онда:
- 1. егер болса, онда нүктесінде экстремум бар
- болып және болғанда, , ал болғанда,
- болады;
- 2. егер болса, онда нүктесінде локалдық
- экстремум жоқ.
- 3. болса, онда локалдық экстремум туралы ештеңе айта
- алмаймыз. Қосымша зерттеулер қажет.
Мысал. функциясының экстремумдарын табыңыз. - Шешуі: Мұнда
- Теңдеулер жүйесін
- шешіп, функцияның стационар нүктелерін анықтаймыз: , .
- Берілген фукцияның екінші ретті дербес туындыларын табамыз:
- нүктесінде тең болады.
- Бұдан , яғни .
- болғандықтан нүктесінде функцияның локалдық максимумы бар:
- Ал, нүктесінде болып, болады.
- Бұл жағдайда қосымша зерттеулер жасаймыз. нүктесінде функция
- мәні тең. болғанда, , ал
- болғанда, . Сонымен нүктесінің аймағында
- функциясы теріс те, оң мәндер қабылдайды. Олай болса, нүктесінде
- функция экстремумы жоқ
Тұйық аймақта функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері - Тұйық аймағында үздіксіз функциясы, осы аймақтың
- кейбір нүктелерінде ең үлкен, ең кіші мәндерін қабылдайды делік. Мұны
- функцияның глобалдық экстремумдары деп атайды. Сонымен берілген
- функция тұйық аймағында үздіксіз болса, онда осы аймақта
- (ішінде немесе шекарасында)
-
- болатын және нүктелері табылады.
- Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу ережесі:
- 1. Берілген функцияның дербес туындыларын тауып сыни нүктелерін
- анықтаймыз. Осы нүктелердегі функция мәндерін табамыз;
- 2. Аймақ шекарасындағы нүктелердегі функцияның ең үлкен және ең кіші
- мәндерін табамыз;
- 3. Бүкіл табылған функция мәндерін салыстыра отырып, ең үлкен және ең
- кіші мәндерін таңдап алмыз.
Әдебиет: - И.В. Павлушков и др. Основы высшей математики и математической статистики. (учебник для медицинских и фармацевтических вузов)., М., 2003 г.
- В.С. Шипачев. Курс высшей математики. М., Проспект. 2004 г.
- И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. М., ВЛАДОС.2002г.
- Ю. Морозов. Основы высшей математики для мед. вузов. М., 2000 г.
Достарыңызбен бөлісу: |
