Зерттеу нәтижелері мен талқылау

𝑥 = −1
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛 + 𝜋𝑛
2
Тригонометриялық теңдеулерді шешудің

𝑥 = ⁽−1^{)𝑛 𝜋} + 𝜋𝑛
6
Жауабы: �0; ^{𝜋𝜋𝜋𝜋}� аралығындағы берілген
2
әртүрлі әдістерін атап өттік. Енді әр әдіске есептер қарастырып өтер болсақ:

1. 
   Формула арқылы қарапайым түрге келтірілетін тригонометриялық теңдеулер
   

(Шыныбеков, 2019: 72) [7].

теңдеудің шешімі ^{𝜋𝜋𝜋𝜋}-ға тең.
4𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡3𝑥𝑥𝑥𝑥 1

𝜋𝜋𝜋𝜋



6
теңдеудің негізгі шешімі.
Есеп 1. _{2−2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡23𝑥𝑥𝑥𝑥} =
теңдеуін шешейік.
√³

6

2. 
   Жалпы шешім: тригонометриялық тең- деудің барлық мүмкін шешімдерінен тұратын
   

Шешуі. Бөлшектің бөлімінен ортақ мүшені жақша сыртына шығарамыз
4𝑡𝑔3𝑥 1

шешім жалпы шешім деп аталады. Мысалы,



^{𝑡𝑔𝑥 = −}√^{3 теңдеуінің шешімін табыңыз.}

𝑡𝑔𝑥 = −√3

𝑥 = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑔√3 + 𝜋𝑘
𝜋
𝑥 = − + 𝜋𝑘
3
2(1 − 𝑡𝑔²3𝑥) ⁼ _√3
Теңдеудің сол жағын 𝑡𝑔2𝛼𝛼𝛼𝛼 = ^{2𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝛼}
1−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡²𝛼
келтіреміз
2𝑡𝑔3𝑥 1
1 − 𝑡𝑔²3𝑥 ⁼ _√3
өрнегіне

Жауабы:
𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑥 = −
𝜋𝜋𝜋𝜋 3
+ 𝜋𝑘
Қарапайым тригонометриялық теңдеуді шығарамыз

− + 𝜋𝑘 теңдеудің жалпы шешімі.
3


Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әртүрлі әдістері
𝑡𝑔6𝑥 =

6𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑔

1



√³ 1
+ 𝜋𝑛

Тригонометриялық теңдеуді шешу екі ке- зеңнен тұрады: қарапайым форманы алу үшін теңдеуді түрлендіру және алынған қарапайым

6𝑥 =

𝜋
_𝜋 √³
+ 𝜋𝑛
6
𝜋𝑛

тригонометриялық теңдеуді шешу. Тригономет-
риялық теңдеулерді шешудің он негізгі әдісі бар.
𝑥 = + 36
, 𝑛 ∈ 𝑛𝑛𝑛𝑛
6

1. 
   Формула арқылы қарапайым түрге келтірілетін тригонометриялық теңдеулер
   
2. 
   Рационал қарапайым тригонометриялық теңдеулер
   
3. 
   Жаңа айнымалы енгізу тәсілімен шығатын тригонометриялық теңдеулер
   
4. 
   Көбейткіштерге жіктеу тәсілімен шығатын тригонометриялық теңдеулер
   

Жауабы: 𝑥 = ^{𝜋𝜋𝜋𝜋} + ^{𝜋𝜋𝜋𝜋𝑛} , 𝑛 ∈ 𝑛𝑛𝑛𝑛.
36 6

2. 
   Рационал қарапайым тригонометрия- лық теңдеулер
   

Есеп 2. ^{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥 𝑥 𝑥 𝑥} = 0 теңдеуін шешейік.
√^{2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥−1}
Шешуі. Алдымен бөлшектің алымын шы-
ғарып аламыз

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
2
Бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмай- тындықтан, тең емес нөлге деп шығарамыз



√2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − 1 ≠ 0
√2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 ≠ 1
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 ≠
√²
𝑥 ≠ ⁽−1^)𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛 ¹ + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
Есеп 4. ⁽𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − 1⁾𝑡𝑔𝑥 − 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 + 3 = 0 тең- деуін шешейік.
Шешуі. 3 санын ортақ көбейткіш ретінде жақша сыртына шығарамыз


⁽𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − 1⁾𝑡𝑔𝑥 − 3(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − 1) = 0

Сосын sinx − 1 өрнегін ортақ көбейткіш ретінде жақша сыртына шығарамыз

⁽𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − 1⁾(𝑡𝑔𝑥 − 3) = 0

Әр өрнекті жеке -жеке нөлге теңестіріп

𝑥 ≠ ⁽−1^{)𝑛 𝜋}
4
√²
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
шығарамыз


𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − 1 = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 = 1

Жауабы: .
𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
2

2. 
   Жаңа айнымалы енгізу тәсілімен шыға- тын тригонометриялық теңдеулер
   

Есеп 3. 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 2 = 0 теңдеуін шешейік. (Пак, 2019: 145) [8].
Шешуі. 𝑐𝑜𝑠²𝑥+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥 = 1 өрнегінен 𝑐𝑜𝑠²𝑥
мәнін тауып аламыз


Жауабы:
𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍.
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
2
𝑡𝑔𝑥 − 3 = 0
𝑡𝑔𝑥 = 3
𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑡𝑔3 + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍



;
𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍 𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑡𝑔3 +
2

2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 − (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥) − 2 = 0

2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥 − 3 = 0


Жаңа айнымалы енгіземіз: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 = 𝑎
5. Дәрежені төмендету арқылы шығатын тригонометриялық теңдеулер
Есеп 5. 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥 = ³ теңдеуін шешейік.
2
Шешуі. Теңдеудің екі жағында екіге бөліп
жібереміз

𝑎² + 2𝑎 − 3 = 0

Квадраттық теңдеуді шешеміз

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²
3
𝑥 =
4

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥 өрнегін 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝛼𝛼𝛼𝛼 = ^{1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑡𝑡𝑡𝑡}
өрнегіне

𝐷𝐷𝐷𝐷 = 4 − 4 ∙ ⁽−3⁾ = 16



2
теңестіріп аламыз

𝑎 =
^{−2 ±} √¹⁶
=
2
−2 ± 4



2

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 3

𝑎₁ = 1, 𝑎₂ = −3
Квадраттық теңдеудің мәнін 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 = 𝑎
орнына қойып теңдеудің мәнін табамыз
=
2 4
Ұқсас мүшелерді біріктіріп, қарапайым тригонометриялық теңдеудің мәнін табамыз

Жауабы:
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 = 1
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 = −3
∅
𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍.
2
3
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
2
3
−𝑐𝑜𝑠2𝑥 = − 1
2
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −
2
1

2. 
   Көбейткіштерге жіктеу тәсілімен
   

2𝑥 = ± arccos �−
𝜋
� + 2𝜋𝑛
2

шығатын тригонометриялық теңдеулер
2𝑥 = ±(π −
) + 2𝜋𝑛
3

2𝑥 = ±

2𝜋
+ 2𝜋𝑛
3
Ортақ көбейткішті жақша сыртына шы- ғарған соң, көбейтткіштерді нөлге теңестіріп

𝜋
𝑥 = ± + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
3

Жауабы:
𝜋
𝑥 = ± + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍.
3

6. 
   Біртектес тригонометриялық тең- деулер
   

Есеп 6. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 0
теңдеуін шешейік.
теңдеуді шешеміз


𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥⁽2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 + 1⁾ = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 = 0 2𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝜋𝑛
𝑥 = , 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
2
2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 + 1 = 0
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 = −

Шешуі. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝛼𝛼𝛼𝛼 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝛼𝛼𝛼𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼 мәнін орнына қойып, теңдеудің екі жағында 𝑐𝑜𝑠²𝑥-ке бөлеміз
𝑥 = ⁽−1^{)𝑛+1 𝜋}
6
2
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥 − 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 0^|÷ 𝑐𝑜𝑠²𝑥
Жауабы: 𝑥 = ⁽−1^{)𝑛+1 𝜋} + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍.

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝑥
𝑐𝑜𝑠²𝑥 ⁻
4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠²𝑥 ⁺
3𝑐𝑜𝑠²𝑥
𝑐𝑜𝑠²𝑥 ^{= 0}
6


8. Қосымша бұрыш енгізу арқылы шыға-

Сонда берілген теңдеуге мәндес 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡²𝑥 −
4𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥 + 3 = 0 теңдеуін аламыз. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥-ті 𝑎 арқылы өрнектесек, 𝑎² − 4𝑎 + 3 = 0 алгебралық теңдеуі
тын тригонометриялық теңдеулер



^{Есеп 8.} √^{2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 +} √^{2𝑐𝑜𝑠2𝑥 =} √^{2 теңдеуін} шешейік.

шығады
Шешуі. ^𝑎
√𝑎²+𝑏²
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 + ^𝑏
√𝑎²+𝑏²
𝑐𝑜𝑠𝑥 = ^{𝑐𝑐𝑐𝑐}
√𝑎²+𝑏²

𝐷𝐷𝐷𝐷 = 16 − 4 ∙ 3 = 4



формуласын қолдана отырып, берілген теңдеуді

𝑎 =
^{4 ±} √⁴
=
2
4 ± 2



2
екіге бөлу керектігін анықтаймыз.





√2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 + √2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = √2^|÷ 2

Соңғы теңдеудің шешімі 𝑎₁ = 3, 𝑎₂ = 1 сандары болады. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥 = а алмастыруын қолданып, 𝑥-тің мәндерін табамыз:



√²
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 +
2



√² √²
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
2 2

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥 = 3

𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡3 + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑥 = 1
𝜋
Сонда пайда болған теңдеуді sin⁽𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑐𝑐𝑐𝑐⁾ =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼𝑐𝑜𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐 формуласы арқылы өрнектейміз және қарапайым тригонометриялық теңдеудің мәнін табамыз

𝑥 =
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
4


^𝜋 √²

Жауабы: 𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡3 + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍; 𝑥 = ^𝜋 +
4
sin �2𝑥 + � =

𝑛
𝜋 ⁴ 𝜋 ²

𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍.
2𝑥 + = ⁽−1⁾
4
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
4

2𝑥 = ⁽−1^{)𝑛 𝜋} − ^𝜋 + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍

6. 
   Қосындыны көбейтінді немесе көбей- _{4 4}
   

тіндіні қосынды түріне келтіру арқылы шыға- тын тригонометриялық теңдеулер (Шарыгин 1995,93) [9].
Есеп 7. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі. 𝑐𝑜𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐 = −2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛 ^{𝑡𝑡𝑡𝑡+𝛽𝛽𝛽𝛽} 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛 ^{𝑡𝑡𝑡𝑡−𝛽𝛽𝛽𝛽}
𝑥 = ⁽−1^{)𝑛 𝜋} − ^𝜋 + ^𝜋𝑛 , 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
8 8 2
Жауабы: 𝑥 = ⁽−1^{)𝑛 𝜋} − ^𝜋 + ^𝜋𝑛 , 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍.
8 8 2


9. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ^{𝜑𝜑𝜑𝜑} = 𝑡𝑡𝑡𝑡 жаңа айнымалысын енгізу

2
формуласын қолданып түрлендіреміз


(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 = 0 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛2𝑥 = 0
2 ²
тәсілі арқылы шығатын тригонометриялық
теңдеулер
Есеп 9. 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3 теңдеуін шешейік.

Шешуі. Қос бұрыштар формуласы арқылы

( ² )

1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝛼𝛼𝛼𝛼 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛 ^𝛼
2
𝑐𝑜𝑠
^𝛼; 𝑐𝑜𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼 = 𝑐𝑜𝑠
2
₂ 𝛼

2
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
₂ 𝛼

2
және
−5 2𝑐𝑜𝑠
2𝑥 − 1
= 2 �
2
� + 1

𝑐𝑜𝑠²𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛²𝛼𝛼𝛼𝛼 = 1 формуласы арқылы өрнектейміз:
теңдеуі шығады. Жақшаны ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

𝑥 𝑥


₂ 𝑥 ₂

6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛 𝑐𝑜𝑠 + 4𝑐𝑜𝑠 −
2 2 2
−10𝑐𝑜𝑠
2𝑥 + 5 = 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

−4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛^{2 𝑥} = 3𝑐𝑜𝑠^{2 𝑥} + 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛^{2 𝑥}

6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛


𝑐𝑜𝑠 ^𝑥
2

+ 𝑐𝑜𝑠

₂ 𝑥
2

− 7𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

₂ 𝑥
2

= 0 теңдеуін

Теңдеудің оң жақ бөлігіндегі мүшені сол жақ
бөлігіне көшіреміз және ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

_{2 𝑥} 2 2 2 2

−𝑐𝑜𝑠
-ке бөліп жібереміз. Сонда
2
10𝑐𝑜𝑠²2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 = 0

7𝑡𝑔^{2 𝑥}
2
− 6𝑡𝑔 ^𝑥
2
− 1 = 0
түріндегі теңдеу шы-

ғады. 𝑡𝑔 ^𝑥-ті 𝑡 арқылы өрнектейміз:
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥-ті 𝑡 арқылы өрнектейміз:

7𝑡²

− 6𝑡 − 1 = 0

10𝑡² + 𝑡 − 3 = 0
𝐷 = 1 − 4 ∙ 10 ∙ ⁽−3⁾ = 121

𝐷 = 36 − 4 ∙ 7 ∙ ⁽−1⁾ = 64



^{6 ±} √^64
𝑡1,2 ⁼ _{2 ∙ 7}


^𝑡1,2



^{−1 ±} √¹²¹
=
2 ∙ 10
1 3

Соңғы теңдеудің шешімдері 𝑡₁
= 1; 𝑡₂
= − ¹
7
Теңдеудің шешімдері 𝑡₁ = ₂; 𝑡₂ = − ₅ бола-
ды. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑡 алмастыруын қолданып теңдеудің

болады.
𝑥
𝑡𝑔 = 𝑡
2
алмастыруын қолданып тең-
шешімдерін табамыз:

деудің шешімдерін табамыз
𝑥
𝑡𝑔 = 1

1
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

2

𝑥 𝜋 ²
= + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
2 4
1
2𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑛
_𝜋 2

2𝑥 =
𝜋
+ 2𝜋𝑛
3

𝑥 =
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
𝜋

6
𝑥 = + 𝜋𝑛

2
𝑥 1

𝑡𝑔 = −
2 7
𝑥 1



3
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −
5

= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍
2 7
1



3
2𝑥 = arccos �− � + 2𝜋𝑛
5

𝑥 = −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
7

𝑥 =

+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍

𝑥
2𝑥 = (𝜋 − arccos 1

3
) + 2𝜋𝑛
5

Жауабы:
−2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ¹ + = ^𝜋
7 ₂
3
𝑥 = (𝜋 − arccos ) + 𝜋𝑛
2 5

2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑍;
+ 2𝜋𝑛, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
Жауабы: 𝑥 =
^𝜋 + 𝜋𝑛; 𝑥 =
6
¹ (𝜋 − arccos
2
³) +
5

10. Әр түрлі тәсілдермен шығатын триго- нометриялық теңдеулер (Гусев 2013, 197) [10]
Есеп 10. −5𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 1 теңдеуін шешейік.
Шешуі. Қос бұрыштар формуласы арқылы
𝜋𝑛

жүктеу/скачать 65,04 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: