Лекции и упражнения



Pdf көрінісі
бет13/55
Дата31.12.2021
өлшемі1,95 Mb.
#107263
түріЛекции
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   55
Байланысты:
Matan Lectures 2013
Глоссарий(кәсіпкерлік) СӨЖ

ГЛАВА 3. ИНДУКЦИЯ
клеток;
b) Доказать, что квадрат размера
4
Ч
4
,
8
Ч
8
,
16
Ч
Ч
16
,. . . с произвольной вырезанной клеткой можно разрезать на такие
же ѕуголкиї.
Упражнение 72. На сколько изменятся суммы
1
?
1
2
+
1
3
?
1
4
+
. . .
+
1
2
n
?
1
?
1
2
n
и
1
n
+1
+
1
n
+2
+
1
n
+3
+
. . .
+
1
2
n
?
1
+
1
2
n
,
если увеличить
n
на
1
? Доказать, что
эти суммы равны друг другу при всех
n
.
Упражнение 73. Известно, что число
x
+1
/x
 целое. Доказать, что числа
x
2
+ 1
/x
2
,
x
3
+ 1
/x
3
,
x
4
+ 1
/x
4
, . . . , x
n
+ 1
/x
n
также целые.
Упражнение 74. Доказать тождества: a)
1 + 2 +
. . .
+
n
=
n
(
n
+1)
2
; b)
1 + 3 +
+ 5 +
. . .
+ (2
n
?
1) =
n
2
; c)
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+
. . .
+
n
2
=
n
(
n
+1)(2
n
+1)
6
; d)
1
2
+ 3
2
+
+ 5
2
+
. . .
+ (2
n
?
1)
2
=
n
(4
n
2
?
1)
3
; e)
1
·
2
1
+ 2
·
2
2
+
. . .
+
n
·
2
n
= (
n
?
1)
·
2
n
+1
+ 2
;
f)
1
3
+ 2
3
+
. . .
+
n
3
= (1 + 2 +
. . .
+
n
)
2
; g)
1
?
1
2
?
1
4
+
1
3
?
1
6
?
1
8
+
+
. . .
+
1
2
n
?
1
?
1
4
n
?
2
?
1
4
n
=
1
2
1
?
1
2
+
1
3
?
1
4
+
. . .
+
1
2
n
?
1
?
1
2
n
; h)
x
1
?
x
2
+
+
x
2
1
?
x
4
+
x
4
1
?
x
8
+
. . .
+
x
2
n
?
1
1
?
x
2
n
=
1
1
?
x
·
x
?
x
2
n
1
?
x
2
n
.
Упражнение 75. Доказать, что a)
111
. . .
111
|
{z
}
27
единиц
делится на
27
. б)
111
. . .
111
|
{z
}
81
единица
делится на
81
. в) при любом натуральном
n
111
. . .
111
|
{z
}
3
n
единиц
делится на
3
n
.
Упражнение 76. На сколько частей делят плоскость
n
прямых, среди
которых нет параллельных и никакие три не пересекаются в одной точке?
(Прямые "общего положения").
Упражнение 77. На плоскости расположено несколько прямых и окруж-
ностей. Докажите, что части, на которые они разбивают плоскость, можно
покрасить в два цвета так, что любые две части, имеющие общий участок
границы, покрашены в разные цвета.
Упражнение 78. Последовательность Фибоначчи
{
u
n
}
задается соотно-
шениями:
u
1
=
u
2
= 1
;
u
n
+1
=
u
n
+
u
n
?
1
. Доказать следующие соотноше-
ния: a)
u
2
n
+2
=
u
1
+
u
3
+
. . .
+
u
2
n
+1
; b)
u
2
n
+1
= 1 +
u
2
+
u
4
+
. . .
+
u
2
n
;
c)
u
n
u
n
+1
=
u
2
1
+
u
2
2
+
. . .
+
u
2
n
; d)
u
n
+1
u
n
+2
?
u
n
u
n
+3
= (
?
1)
n
; e)
u
2
n
?
?
u
n
+1
u
n
?
1
= (
?
1)
n
+1
; f)
u
4
n
?
u
n
?
2
u
n
?
1
u
n
+1
u
n
+2
= 1
.
Упражнение 79. Доказать, что любая сторона a) четырјхугольника; б)
пятиугольника; в) произвольного
n
угольника меньше суммы остальных
его сторон.
Упражнение 80. Доказать, что а)
n
!
>
3
n
для
n
= 7
,
8
,
9
, . . .
; б)
2
n
>
n
2
для
n
= 4
,
5
,
6
, . . .


3.6. НЕРАВЕНСТВО КОШИ.
43
Упражнение 81. Доказать, что двузначные числа от
00
до
99
можно запи-
сать в таком порядке, что в каждом следующем отличается от предыдущего
только одна цифра и ровно на
1
. Доказать аналогичное утверждение для
трјхзначных чисел (
000
, . . . ,
999
), четырјхзначных и.т.д.
Упражнение 82. Последовательность
2
,
3
,
5
,
9
, . . .
составлена по такому
правилу: если из утроенного члена этой последовательности вычесть удво-
енный предыдущий, то получится следующий (
3
·
3
?
2
·
2 = 5
,
3
·
5
?
2
·
3 = 9
и.т.д.). Доказать, что все члены этой последовательности  степени двойки,
увеличенные на
1
.
Упражнение 83. В стране
n
городов. Каждый год открывается авиасооб-
щение между какими-то двумя городами. Доказать, что должно пройти по
крайней мере
n
?
1
лет, прежде чем из любого города можно будет попасть
в любой (с пересадками).
Упражнение 84. На доске написаны два числа
1
,
1
. Затем между ними
вписывают их сумму; получается
1
,
2
,
1
. Затем между каждыми двумя снова
вписывают их сумму:
1
,
3
,
2
,
3
,
1
. Такое действие выполняют
n
раз. Сколько
чисел будет на доске? Какова будет их сумма?
Упражнение 85. Из чисел
1
,
2
,
3
,
4
, . . . ,
2
n
?
1
,
2
n
можно выбрать не более
n
чисел, если требуется, чтобы ни одно из выбранных чисел не делилось на
другое. Доказать это а) для
n
= 3
; б) для
n
= 4
; в) для
n
= 5
; г) для
произвольного
n
.
Упражнение 86. * В теории относительности скорости складываются по
такому правилу:
v, w
7?
v
+
w
1+
vw
. Доказать, что результат сложения несколь-
ких скоростей не зависит от того, в каком порядке мы их складываем.
Упражнение 87. * Можно ли отметить на плоскости несколько точек так,
чтобы на расстоянии 1 от каждой отмеченной точки находилось ровно 10
отмеченных?
Упражнение 88. * Один выпуклый многоугольник расположен внутри
другого. Доказать, что периметр внутреннего многоугольника меньше пе-
риметра внешнего.
Упражнение 89. Докажите утверждение 3.
Упражнение 90. Вывести формулу Ньютона для
(
a
+
b
)
n
.
Упражнение 91. Найти сумму
C
0
n
+
C
1
n
+
. . .
+
C
n
n
.
Упражнение 92. Найти сумму
C
0
n
?
C
1
n
+
. . .
+ (
?
1)
n
·
C
n
n
.
Упражнение 93. Найдите ошибку в рассуждении (www.habrahabr.ru):
Легко доказать (например по-индукции), что
1+ 2+ 3+
. . .
+
n
=
n
(
n
+1)
2
для
любого
n
?
N
. Применим эту формулу для
n
?
1
, получим
1 + 2 + 3 +
. . .
+
+(
n
?
1) =
(
n
?
1)
n
2
.
Прибавим по единице к обеим частям:
1+2+3+
. . .
+(
n
?
?
1)+1 =
(
n
?
1)
n
2
+1
.
Упрощая, получаем:
1+2+3+
. . .
+
n
=
(
n
?
1)
n
2
+1
.
Чему


44
ГЛАВА 3. ИНДУКЦИЯ
равна сумма в левой части этого равенства мы записали в самом начале,
следовательно,
n
(
n
+1)
2
=
(
n
?
1)
n
2
+ 1
.
Раскрываем скобки:
n
2
2
+
n
2
=
n
2
2
?
n
2
+ 1
.
Упрощаем, и получаем, что
n
= 1
.
Так как
n
было произвольным, то мы
доказали, что все натуральные числа равны 1.
3.6.2 Неравенство Бернулли
Упражнение 94. Каждый год
1%
радиоактивного вещества (оставшегося
к началу года) распадается. a) Доказать, что через
30
лет останется более
70%
вещества. b*) Доказать, что через
30
лет останется менее
80%
вещества.
Упражнение 95. Указать (какое-либо) натуральное
n
, при котором: а)
0
,
99
n
6
6
1
/
10
; b)
n
?
10
6
1
,
01
; c)
n
?
0
,
1
>
0
,
99
.
Упражнение 96. Доказать, что при целом неотрицательном
n
и при
0
6
6
h
?
1
выполнено неравенство
(1
?
h
)
n
>
1
?
nh
.
Упражнение 97. Доказать, что
1
,
01
2
n
>
n
2
/
10
4
.
Упражнение 98. Доказать, что при некотором целом
n >
0
число
1
,
01
n
будет больше числа
1000
n
.
Упражнение 99. При каких натуральных
n
выполнено неравенство a)
2
n
>
> n
? b)
2
n
> n
2
?
Упражнение 100. Доказать, что
2
n
>
n
10
при
n
>
100
.
Упражнение 101. Доказать, что
n
n
+1
>
(
n
+ 1)
n
при
n >
2
.
Упражнение 102. Доказать, что при целом неотрицательном
n
и при
0
6
h
?
1
выполнено неравенство
(1
?
h
)
n
6
1
?
nh
+
n
2
h
2
.
Упражнение 103. Известно, что
a
1
, . . . , a
n
>
0
и что
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
=
1
10
.
Доказать, что a)
(1
?
a
1
)(1
?
a
2
)
. . .
(1
?
a
n
)
>
9
10
; b)
(1 +
a
1
)(1 +
a
2
)
. . .
(1 +
+
a
n
)
>
11
10
; c)
(1 +
a
1
)(1 +
a
2
)
·
. . .
·
(1 +
a
n
)
6
10
9
.
Упражнение 104. Известно, что
a
1
, a
2
, . . . , a
100
>
0
и что
(1 +
a
1
)(1 +
+
a
2
)
·
. . .
·
(1 +
a
100
)
6
100
.
Доказать, что найдјтся такое
i
, что
a
i
6
1
i
.
Упражнение 105. Доказать, что
1
·
3
·
5
·
...
·
99
2
·
4
·
6
·
...
·
100
<
1
10
.
Упражнение 106. Все числа бесконечной последовательности
a
0
, a
1
, a
2
, . . .
положительны и не превосходят
100
. Доказать, что найдјтся такое
k
, что
a
k
+1
a
k
<
1
,
001
.
Упражнение 107. Доказать, что при некотором целом
n >
0
выполнено
неравенство
n
100
2
n
<
10
?
3
.



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   55




©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет