Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений



бет1/28
Дата08.02.2022
өлшемі1,95 Mb.
#118559
түріЛекция
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28
Байланысты:
Лекции Word



Лекция 1.

Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений


(1)
правая часть которой не зависит от переменного – t.
Системы дифференциальных уравнении вида (1) называются динамическими или автономными.
Предположим, что функция f(x) непрерывна на некотором открытом множестве D пространства пе­ременных и удовлетворяет условию Лип­шица в любом замкнутом ограниченном множестве, целиком содержащемся в D. Тогда, в силу теорем существования и единственности, для любого дей­ствительного числа t0 и для любой точки x0 D бу­дет существовать единственное решение

системы уравнений (1), удовлетворяющее условию
.
Заметим, что если задана нормальная система дифференциальных уравнений

то, вводя новую неизвестную функцию xn+1 = t, ее можно записать в виде динамической системы в про­странстве переменных ':
n+1=1.
В пространстве переменных любое решение динамической системы (1) опреде­ляет кривую. Эту кривую с заданным на ней пара­метром t будем называть траекторией. Само прост­ранство переменных называется фазовым пространством.
В каждой точке x D определен вектор f(x) т. е. динамическая система (1) определяет векторное поле на множестве D.
Пусть —решение системы (1), опреде­ленное на некотором интервале а < t 0 < b. Обозначим . Тогда
(2)
Трактуя t как время, мы можем придать соотно­шению (2) следующий геометрический смысл: кри­вая в множестве D является траекторией системы (1) тогда и только тогда, когда в каждой ее точке скорость равна значению векторного поля f(x) в этой точке.




Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет