Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений


Вычисление индексов простых состояний равновесия динамиче­ской системы



бет16/28
Дата08.02.2022
өлшемі1,95 Mb.
#118559
түріЛекция
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   28
Байланысты:
Лекции Word

Вычисление индексов простых состояний равновесия динамиче­ской системы. Пусть (I) —динамическая система класса C1. Мы пред­полагаем, что рассматриваемое состояние равновесия находится в начале координат. Тогда система (I) может быть записана в виде




Где a,b,c,d – значение первых частных производных от P(x,y) и Q(x,y) в точке (0,0). Мы предпологаем , что С – простое состояние равновесия, поэтому Как мы знаем , и (см. § 5).


Обозначим через v векторное поле, определяемое системой (5). Рас­смотрим систему



и через v* обозначим векторное поле, определяемое системой (6). Обозначим через I(О,v) индекс состояния равновесия системы (5) и через I(О,v*) —индекс состояния равновесия системы (6).


Докажем прежде всего, что


I(О,v)=I(О,v*).

Поле v* определено, очевидно, на всей плоскости. В силу условия вектор v*(ax+by,cx+dy) равен нулю только при х=у=0. Поэтому в точках единичной окружности g=1, v* отличен от нуля. Обозначим через т минимум |v*| на этой окружности. В любой другой точке плоскости





так как точка лежит на единичной окружности .


С другой стороны,



Рассмотрим окружность Ср радиуса g c центром в начале координат. Пусть точка (х,у) Ср и пусть — наименьший по абсолютной величине угол между вектором v (ж, у) и v* (х, у). Из рис. 121 ясно, что





т . e. при . С другой стороны, при малых g не может быть тупым углом, так как этот угол лежит против наименьшей стороны треугольника. Отсюда следует, что при . Поэтому если g достаточно мало, то ни в одной точке окружности Ср векторы v и v* не имеют противоположных направлений.


Заметив теперь, что если q достаточно мало, то



и воспользовавшись леммой 2, мы сразу убедимся, что





Таким образом, задача о вычислении индекса простых состоянии равновесия


О системы (5) свелась к задаче о вычислении индекса состояния равновесия О линейной системы (6).
Замечание. Проведенное рассуждение остается справедливым и в том случае, когда рассматриваемая система (I) имеет вид



где , — однородные многочлены k-й степени и обращается в нуль только в точке O(0,0). Индекс состояния равновесия O такой системы равен индексу состояния равновесия системы





Возвращаемся к поставленной задаче. Нам нужно теперь вычислить индекс состояния равновесия О системы (6). С этой целью воспользуемся формулой (4) и в качестве замкнутой кривой С, содержащей внутри состояние равновесия О, возьмем эллипс







Таким образом,



где С’ — эллипс (7), обходимый в положительном направлении. Если положить, что





то эллипс С перейдет в окружность плоскости . На этой окружности введем обычную параметризацию, положив . Заметим, что при возрастании от 0 до 1 окружность пробегается один раз в положительном направлении. Эллипс С пробегается в положительном направлении, если , и в отрицательном, если. . Поэтому при





а при





Полученный результат мы сформулируем в следующем виде:


Теорема30, Индекс простого состояния равновесия динамической системы равен +1 в случае узла или фокуса и ранен -1 в случае седла.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   28




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет