Лекция Рассмотрим нормальную систему дифференциаль­ных уравнений



бет9/28
Дата08.02.2022
өлшемі1,95 Mb.
#118559
түріЛекция
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   28
Байланысты:
Лекции Word

y= ;
мы будем называть ее собственной прямой.
Если корни и отрицательны, то мы имеем устойчивый узел (см. А)). В этом случае обе собственные прямые проходят во второй и четвертой четветях; трактории вблизи начала координат касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис.34).
Если корни и положительны, то мы имеем неустойчивый узел (см.А)). Обе собственные прямые проходят в первой и третьей четвертях; вблизи начала координат траектории касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (35).
Если корни и имеют разные знаки, то мы имеем седло; одна собственная прямая проходит во второй и четвертой четвертях, а другая – в первой и третьей. В направлении первой из этих прямых траектории приближаются к началу координат, а в направлении второй – отходят от него (рис.36).
3.Рассмотрим, наконец, случай, когда хотя бы одно из собственных значений матрицы А обращается в нуль.

Случай I. В нуль обращается лишь одно собственное значение:
, =0.
В этом случае решение можно записать в виде (4), где и даются формулами (5).

Так как =0, то =const, и движение происходит по прямым = const в направлении к прямой =0 или от нее в зависимости от знака числа . Все точки прямой =0 являются положениями равновесия (рис.37).
Если же имеется единственное собственное значение =0, то могут представиться два случая, рассмотренные в примеры I.
Случай I (см. (11), ). Общее решение записывается в виде (см. (13)):
.
Этот случай имеет место, если все коэффициенты системы (1) обращаются в нуль; каждая точка плоскости Р является положением равновесия.

Случай II (см.(12), ). Общее решение записывается в виде (см.(14)):
= + t, = .
Движение происходит равномерно по каждой из прямых =const. Все точки прямой являются положениями равновесия (рис.38).

Лекция 8.


Пусть




нормальная автономная система, и


(2)

— ее векторная запись. Относительно функций





мы будем предполагать, что они определены и имеют непрерывные частные производные первого порядка па некотором открытом мно­жестве пространства переменных . В дальнейшем при уста­новлении критерия устойчивости требования дифференцируемости будут усилены: именно, будет предполагаться, что функции (3) имеют на множестве непрерывные частные производные второго порядка.


Не давая формального определения устойчивости по Ляпунову, постараюсь, прежде всего, выразить идею устойчивости. Положение равновесия уравнения (2) следует считать устой­чивым, если всякое решение уравнении (2), исходящее при t = 0 из точки, достаточно близкой к , остается и течение всего дальнейшего своего изменения (т. е. при t>0) вблизи точки . Физический смысл устойчивости ясен. Физический объект (например, какая-либо машина), движения которого управляются уравнением (2), может находиться в положении равновесия, а лишь тогда, когда это положение равно­весия устойчиво, так как в противном случае ничтожное отклонение от положения равновесия, вызванное случайным толчком, может повлечь уход объекта далеко от положения равновесия.
Ниже через будет обозначаться решение уравнения (2) с начальными значениями t = 0, , так что есть векторная функция скалярного переменного t и векторного переменного удовле­творяющая условию



Определение. Положение равновесия а уравнения (2) назы­вается устойчивым по Ляпунову, если 1) существует настолько малое положительное число , что при | решение уравне­ния (2) определено для всех положительных t; 2) для всякого поло­жительного числа г найдется такое положительное число , что при | имеем при всех t>0. Устойчивое по Ляпунову положение равновесия, а уравнения (2) называется асимптотически устойчивым, если 3) существует настолько малое поло­жительное число , что при | имеем:





Дадим, прежде всего достаточные условия устойчивости положение равновесия для линейной однородной системы с постоянными коэф­фициентами:


А) Пусть
(5)

— линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, взятое в векторной записи. Решение его с начальными значениями 0, обозначим через .


Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, то существуют такие положительные числа а и r, что выполнено неравенство


(6)
<*)
Из неравенства (6) непосредственно следует, что положение равно­весия x = 0 уравнения (5) является устойчивым по Ляпунову и асимп­тотически устойчивым.
Докажем неравенство (6). Положим:



Тогда, пользуясь символом дифференцирования (см. § 7), уравнение (5) в скалярной форме можно записать в виде системы





Пусть — минор элемента матрицы , взятый с надле­жащим знаком, так что выполнено тождество





где — детерминант матрицы . Умножая соотношение (7) на многочлен и суммируя полученное соотношение по i, получаем:





Таким образом, если
— некоторое решение уравнения (5), то каждая функция удовле­творяет дифференциальному уравнению


.

Так как все корни многочлена по предположению имеют отри­цательные действительные части, то (см. § 9, А)) для функции выполнено неравенство





где R и — положительные числа, не зависящие от номера i. Из этого


неравенства следует неравенство



Последнее неравенство уже было доказано ранее (см. § 11, Б)) в более общих предположениях; здесь это доказательство проведено заново.


Пусть — единичный координатный вектор номера i, так что



где единица стоит на i-м месте. Пусть, далее, — решение уравне­ния (5) с начальным значением так что





Тогда решение уравнения (5) с начальным значением





очевидно, запишется в виде:





Так как для каждого решения выполнено неравенство





то для решения , очевидно, выполнено неравенство (6).


Устойчивость по Ляпунову положения равновесия х = 0 непосред­ственно вытекает из неравенства (6). Действительно, если — заданное положительное число, то достаточно принять за число . Асимп­тотическая устойчивость также вытекает из неравенства (6).
Лекция 9.

Пусть
(12)
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   28




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет