Математика пәні бойынша Республикалық оқушылар олимпиадасының аудандық кезеңі 2016-2017 оқу жылы

1. 
   Өтірікшілер мен серілер аралында математикадан тестілеуді 100 оқушы өтті, олардың әрқайсысы әрқашанда шындық айтатын серілер, немесе әрқашанда өтірік айтатын өтірікшілер. Тестілеуден кезекпен шыға тұра алғашқы 60 оқушы келесіні айтты: «Дәрісханада қалған оқушылардың ішінен өтірікшілер серілерден көп». Қанша сері тестілеуден өтті?
   

2. 
   амалы барлық бүтін саны үшін келесі түрмен анықталған, , егер – тақ сан, және , егер – жұп сан. Мысалы, , . теңдігі қандай бүтін сандары үшін орындалады?
   

3. 
   үшбұрышының төбесінен және төбелерінің биссектрисаларына сәйкесінше және перпендикулярлары түсірілген.
   

1. 
   Нақты сандары үшін теңдігі орындалады.
   

теңдігін дәлелдеңіз.

2. 
   шаршысының қабырғасынан болатындай нүктесі алынған. үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, нүктесінен өтетін түзуіне перпендикуляр түзуді нүктесінде қияды. үшбұрышы теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
   

3. 
   Дөңгелек пішінді аралдың жағалық сызығының бойында 2016 шамшырақ орналасқан. Ұқыпсыз шенеунік қарқынды қызмет істеп жүргенін көрсеткісі келіп, күнде тәуекелдеп үш қатар орналасқан немесе біреуден кейін орналасқан үш шамшырақтың күйін ауыстырады (яғни ABABA тізбегінде ол A шамшырақтарының күйін ауыстырады). Егер барлық шамшырақ өшіп қалса, онда шенеунік жұмысынан босатылады. Егер бір мезетте бір ғана шамшырақ жанбағаны оның есінде болса, оған өз орны үшін қорқу керек па? (Шамшырақтың күйін өзгерту деген, ол шамшырақ өшіп тұрса оны қосу, немесе керісінше)