Математика пәні бойынша Республикалық оқушылар олимпиадасының аудандық кезеңі 2016-2017 оқу жылы

1. 
   Вещественные числа таковы, что . Докажите, что
   

2. 
   На стороне квадрата выбрана точка так, что . Описанная окружность треугольника вторично пересекает прямую, проходящую через точку перпендикулярно , в точке . Докажите, что треугольник равнобедренный.
   

3. 
   Вдоль береговой линии острова, имеющего форму круга, расположены 2016 маяков. Нерадивый чиновник, изображая бурную деятельность, каждый день наудачу меняет состояние трех маяков, либо подряд расположенных, либо идущих через один (т. е. в последовательности ABABA он меняет состояние маяков A). Чиновник будет уволен, если в какой-то момент все маяки погаснут. Стоит ли ему опасаться за свое место, если он припоминает, что в какой-то момент не горел только один маяк? (Поменять состояние маяка, значит включить его, если он выключен, и наоборот.)
   

1. 
   Запишите произведение многочленов
   

в стандартном виде (т. е. в виде ).

2. 
   На стороне квадрата выбрана точка так, что . Описанная окружность треугольника вторично пересекает прямую, проходящую через точку перпендикулярно , в точке . Докажите, что треугольник равнобедренный.
   

3. 
   Вдоль береговой линии острова, имеющего форму круга, расположены 2016 маяков. Нерадивый чиновник, изображая бурную деятельность, каждый день наудачу меняет состояние трех маяков, либо подряд расположенных, либо идущих через один (т. е. в последовательности ABABA он меняет состояние маяков A). Чиновник будет уволен, если в какой-то момент все маяки погаснут. Стоит ли ему опасаться за свое место, если он припоминает, что в какой-то момент не горел только один маяк? (Поменять состояние маяка, значит включить его, если он выключен, и наоборот.)