Геометриялық түрлендірулер

1. 
   Жазықтықты түрлендіру
   
2. 
   Қозғалыс және оның қасиеттері
   
3. 
   Центрлік симметриялар
   
4. 
   Параллель көшіру
   
5. 
   Бұру көшіру
   

Геометрия есептерін шешудің әдістеріне: а) геометриялық; б) алгебралық; в) комбинациялық деп аталатын негізгі әдістер жатады. Есептерді геометриялық әдіспен шешкенде логикалық ойлаудың жәрдемімен белгілі теоремалар арқылы тұжырымдауды қажетсінетін сөйлемдерді дәлелдейміз. Ал есептерді алгебралық әдіспен шешкенде ізделінген шаманы табу, не тұжырымдауға тиісті сөйлемді дәлелдеу тікелей есептеу жолымен немесе теңдеулер мен олардың жүйелерін құру арқылы іске асады. Тікелей есептеу әдісінің мәні мынада: есептің берілгендері мен белгісіздерінің жан-жақты байланыстарынан аралық қосымша белгісіз шамалар тізбегі құрылады, тізбекке қатысытын әрбір белгісіз шама анықталады немесе іздеген шама белгілі шамалар арқылы өрнектеледі.

Геометриялық фигуралардың өлшемдерін анықтап және қасиеттерін оқып-үйренумен қатар, оларды түрлендіруді де қарастыруға болады.

Шеңберді мысалға ала отырып бейне және кері бейне ұғымдарын енгізіп алады.

Анықтама. Егер жазықтықтың әрбір Х нүктесі қандай да бір заңдылықпен осы жазықтықтық  нүктесіне бейнеленсе, онда жазықтықты (геометриялық) түрлендіруберілген дейміз. Бұл жағдайда әртүрлі Х және У нүктелері әртүрлі  және нүктелеріне бейнеленеді.

Егер түрлендіруде қандай да бір нүкте өзіне-өзі бейнеленсе, онда бұл нүкте түрлендірудің қозғалмайтын нүктесі деп аталады. Ал егер түрлендіруде жазықтықтың әрбір нүктесі қозғалмайтын нүкте болса, онда мұндай түрлендіру тепе-тең түрлендіру деп аталады.

Егер түрлендіруде F фигурасының бейнесі _фигурасы болса, онда _ фигурасы берілген F фигурасын түрлендіруге арналған дейді. (1-сурет)
F → _

Әрбір _ нүктесі әрбір Х нүктесіне бейнеленетіндей _ фигурасын F фигурасына бейнелеуді кері түрлендіру деп атайды.

Түрлендірулер әртүрлі болуы мүмкін: фигураның пішінін өзгертетін түрлендірулер және фигураның пішінін де өлшемін де сақтап, тек оның оорналасу жағдайын өзгертетін түрлендірулер де бар.

Анықтама.Жазықтықтағы нүтелер жұбының арақашықтығын сақтайтын түрлендіруді қозғалыс деп атайды.

Яғни, егер қозғалыс Х пен У нүктелерін _ және _нүктелеріне бейнелесе, онда ХУ=_ орындалады. (1-сурет)

Дәлелдеу. А, В, С нүктелерін қозғалыс сәйкесінше А′, В′, С′ нүктелеріне бейнелейді делік. В′ нүктесі А′ пен С′нүктелерінің арасында жататынын дәлелдейік (2-сурет)

В′нүктесі А′ пен С′ арасында жатпайды делік. Сонда үшбұрыштар теңсіздігі бойынша А′С′˂А′В′+В′С′. Бірақ қозғалыс А′С′=АС,А′В′=АВ,В′С′=ВС арақашықтықтарын сақтайтындықтан, АС˂АВ+ВС болып шығады. Бұл В нүктесі А мен С-ның арасында жатқандаорындалатын АС= АВ+ВС теңдігіне қайшы келеді. Демек, В′ нүктесі А′ пен С′ арасында жатады. Теорема дәлелденді.
FF′

→ →

Шындығында, АВ мен АС бір А нүктесіненшығатын және бір түзуде жатпайтын екі сәуле болсын (3-сурет). Қозғалыс оларды А′В′ және А′С′ сәулелеріне көшіреді. Қозғалыс арақашықтықты сақтайтын

А А′

В В′
(3-сурет)

болғандықтан (үш қабырғасы бойынша), АВС және А′В′С′ үшбұрыштары тең. Үшбұрыштардың теңдігінен ВАС және В′А′С′ бұрыштарының теңдігі шығады.

2-теорема. Бірінен соң бірі орындалған екі қозғалыстың нәтижесі де қозғалыс болады.

Дәлелдеу. Бірінші қозғалыс М нүктесін М′ нүктесіне, ал екінші қозғалыс М′ нүктесін М′′ нүктесіне бейнелесін (4-сурет). Бұл екі қозғалысты М нүктесін М′′ нүктесіне көшіретін бір түрлендірумен ауыстыруға болады. Және бұл жағдайда жазықтықтың әртүрлі нүктелері іртүрлі нүктелерге бейнеленеді де, біз шындығында да түрлендіру аламыз. Осы әдіспен құрылған түрлендірулердің қозғалыс болатынын дәлелдеу қалады. Бірінші қозғалыста М′ және N′ нүктелеріне бейнеленетін жазықтықтың әртүрлі М және N нүктелерін қарастырайық. Екінші қозғалыстың нәтижесінде бұл М′ пен N′ нүктелері сәйкесінше М′′ және N′′ нүктелеріне бейнеленсін, МN=М′N′=М′′N′′ болғандықтан, М мен N нүктелерін М′′ және N′′ нүктелеріне көшіретін түрлендіру қозғалыс болады. Теорема дәлелденді.

Қозғалысқа кері түрлендірудің де қозғалыс болатыны түсінікті.

Қозғалыс түсінігі көмегімен геометриялық фигуралардың теңдігінің

Жалпы анықтамасын беруге болады.

Анықтама. Егер қозғалыс арқылы екі фигураның бірін екіншісіне

Бейнелеуге болса, онда бұл фигуралар тең деп аталады.

Бұл анықтамадан мынадай қасиеттер шығады:

1.Әрбір фигура өзіне-өзі тең.

2.Егер_мен _ фигуралары тең болса, онда _ мен _фигуралары да тең.

3.Егер _мен _ фигурасы, _мен _ фигурасы тең болса, онда _мен _ фигурасы де тең болады.

Тең кесінділерді, бұрыштарды және үшбұрыштарды қозғалыс көмегімен беттестіруге болатындықтан, кесінділердің, бұрыштардың және үшбұрыштардың теңдіктері туралы бұрын қарастырылған ұғымдар фигуралардың теңдігі туралы айтылған осы жалпы анықтамаға сәйкес келеді.

Түрлендірудің оське қарағанда симметрия, центрлік симметрия, нүктеден айналдыра бүру және параллель көшіру деген түрлері қозғалыс түрлеріне жатады.

Fфигурасы берілген болсын (1-сурет)

Анықтама. Егер F фигурасының барлық нүктелері бір бағытта және бірдей қашықтыққа ығыстырылса, онда F фигурасы параллель көшірілген делінеді.

Параллель көшіру – ол фигураның барлық нүктелері бір векторға ығыстырылған түрлендіру. Бұл векторды (а - _) көшіру векторы деп атайды.

4-теорема.Параллель көшіру қозғалыс болады.

Дәлелдеу. Параллель көшірілген ММ′ пен NN′ кесінділері тең және параллель немесе тең және бір түзуде жатады.

Егер олар тең және параллель болса (1.2-сурет), онда ММ′N′N төртбұрышы – параллелограмм. Сондықтан МN=N′М′. Егер ММ′ пен NN′ кесінділері тең және бір түзуде жатса (1.3-сурет), онда МN=|ММ′ - NМ′|=|NN′ - NМ′|=М′N′.

Сонымен МN=М′ N′. Теорема дәлелденді.

1) F

F

Айталық, жазықтықта О нүктесі мен α бұрышы берілсін.Осы жазықтықтағы әрбір А нүктесі үшін ОА сәулесін белгілі бір бағытта (сағат тілімен бағыттас, не сағат тіліне қарсы бағытта) О нүктесінің маңында α бұрышына бұрғанда А нүктесі А' нүктесіне ауысатын болсын.Мұнда,әрине,<АОА'=α және ОА=ОА' теңдігі орындалады және жазықтықтағы барлық нүктелер бір бағытта орындарын ауыстырады. Тек О нүктесі ғана өзіне-өзі көшеді, яғни жылжымайды.Жазықтықта осындай түрлендіруді бұру түрлендіруі деп атаймыз. Мұнда О нүктесі бұру центрі, ал α бұру бұрышыдеп аталады.

Ал осы тәсілмен жазықтықтағы әрбір М нүктесін М`нүктесінде көшіретін болсақ,онда жазықтықты түрлендіру берілді деп есептейміз.Мұнда жазықтықтың әрбір М нүктесіне тек бір ғана М`нүктесін сәйкес қоямыз.М`−ты М нүктесін бейнесі деп, ал М нүктесін М` нүктесінің түпбейнесі деп атайды.Осы сияқты, F фигурасын F` фигурасына түрлендірсек,онда F` фигурасы F-тің бейнесі деп, ал F фигурасы F`-тің түпбейнесі деп аталады.Енді жазықтықты түрлендірудің төрт мысалмен танысалық.

Жазықтықта қандай да бір О нүктесін белгілейік.Осы жазықтықта кез келген А нүктесі үшін ОА түзуі бойынан ОА=ОА' теңдігі орындалатындай етіп,А' нүктесін алайық.Онда А және А' нүктелері О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер деп аталады.Мұнда О нүктесін симметрия центрі деп атайды. (1−сурет)

О

• 
  А
  

ОA`

Теорема, 1.Центрлік симметрия сәйкес нүктелердің арақашықтығын өзгертпейді.

Шынында да,< АОВ=<А'ОВ',АО=ОА', ВО=ОВ' теңдіктерінің ΔАОВ=ΔА'ОВ'(үшбұрыштар теңдігінің I белгісі).Осыдан АВ=А'В' теңдігі шығады.(3-сурет).Теорема дәлелденді.

y

DС(0,у) А(х,у)

B`

OB(x,y) x

A` C`

А С

Д

1-сурет 2-сурет

А В
О l₂

DC

Д СX'

4 - мысал. Теңбүйірлі ABC үшбұрышының табаны AC, төбесіндегі В бұрышы сүйір, С бұрышының биссектрисасы CD кесіндісі болсын. D нүктесі арқылы CD биссектрисасына перпендикуляр түзу жүргізілген. Бұл түзу үшбұрыштың AC табанымен немесе оның созындысымен Е нүктесінде қиылысады. AD =0,5ЕС болатынын дәлелдеу керек (10-сурет).

Есеп геометриялық әдіспен тікелей шешіледі. CD кесіндісі — EFC үшбұрышының әрі биіктігі, әрі биссектриссасы. D нүктесін ВС — С бұрышының биссектриссасы) қиылысқанша созсақ, EFC теңбүйірлі үшбұрышы шығады. Есептің -ға параллель түзу жүргізсек, ол AC табанымен К нүктесінде қиылысады. Бұл DK кесіндісі EDC үшбұрышының медианасы бола алады. ЕК:КС = ED:DF = 1, бұлардан DK = 0,5ЕС, сондықтан AD = DK= 0,5 EC.