Математиканы

 
80 
фактілерді байланыстыруды қажет ететін, студенттер шығара алмайтын жаңа 
есептер  де  жиі  кездеседі.  Сондықтан  студенттерді  кез  келген  геометриялық 
есепті  шешудің  жалпы  тәсілдерімен  қаруландыру  керек.  Бұл  талап 
математикалық  есептерді  шешу  практикумының  бағдарламасында  да 
айтылған.  Практикум  белгілі  бір  есептердің  түрлерін  және  оларды  шешудің 
тәсілдерін таныстыруға бағытталып қана қоймай, қайта дәлелдеудің барынша 
жалпы  әдістерін  ойлауды  меңгерту  болып  табылады.  Оқытушы  студентке 
әрбір есепті шығартқанда, оның шешімін әдістемелік талаптарға сай іздеуге, 
соңында  мақсатқа  сай  дұрыс  шешімді  табуға  жәрдемдесетіндей  талдау 
тәсілдері  мен  болашақ  мұғалімдерге  қажетті                білім-білік  дағдыларын 
қалыптастыруға  ұмтылады.  Теориялық  және  әдістемелік  білім  мен  әдіс-
тәсілдерінсіз  кез-келген  әдістемелік  есепті  шешуге  бола  бермейді. 
Практикадан  байқалатындай,  көбінесе  геометрия  есептері  әр  түрлі 
тәсілдермен  логикалық  тұрғыда  көбірек  ойлануды  қажетсінеді.  Геометрия 
есептерін  шешудің  кезеңдерін  білу  оқушылар  мен  студенттерде 
қалыптастырылуға  тиісті  аса  маңызды  дағдылардың  бірі.  Есептерді  шешу 
процесі келесі кезеңдерден тұрады. 
1)  Есептің  шартын  түсіну:  а)  есепті  талдау;  б)  есеп  шартын  схема 
түрінде  жазу.  Есепті  талдағанда  оның  шарты  қандай,  онда  қандай  талап 
қойылған  (не  берілген,  не  белгілі,  есеп  шарты  неден  тұрады?)  екені 
анықталады.  Есеп  шартын  схема  түрінде  жазғанда  оның  сызбасы  қоса 
қарастырылады,  осы  талдаудың  нәтижесінде  есеп  шартындағы  ең  керекті, 
таныс  элементтер  ескеріліп,  олар  қысқаша  жазылады.  Есепті  талдау  мен 
оның  сызбасын  және  шартын  схема  түрінде  қысқаша  жазу  —  есепті  шешу 
үшін жоспар іздеудің негізгі құралы болып табылады. Есепті талдай келе осы 
есепке  қандай  мөлшерде  теориялық  білімнің  қажет  болатындығы 
анықталады. 
2)  Есеп  шешімін  іздеу  —  есепті  шешудің  тәсілін  іздеу,  бұл  бүкіл 
процестің  негізгі  бөлігі  болып  табылады.  Бұл  кезеңде  ең  алдымен  берілген 
есептің  түрі  (типі),  яғни  оның  дәлелдеуге,  есептеуге  не  геометриялық 
түрлендіруге берілгені анықталады, осыған орай есепті шешу тәсілі ізделеді. 
Есеп  шартында  берілген  элементтер  мен  іздеуге,  анықталуға  тиісті 
белгісіздер арасындағы байланыс ізделеді. Есеп шешімін іздеуде бір-бірімен 
тығыз  байланысты  мынадай  екі  жақты  мәселені  анықтайды:  а)  белгілі 
теориялық  білімді  шешілуге  тиісті  есеп  шартына  сай  түрлендіру;  б)  есеп 
шартын  белгілі  теориялық  фактілерге  сәйкес  және  оларға  байланысты 
түрлендіру.  Бұл  арада  теориялық  білім  деп  отырғанымыз  математикалық 
ұғымдар  мен  олардың  анықтамалары,  теоремалар  және  математикадағы 
негізгі  әдістер  (координаттар  әдісі,  векторлық  әдіс,  геометриялық 
түрлендірулер  мен  теңдеулер  құру  әдісі  және  т.б.).  Есептердің  түрі  мен 
құрылысына  қарай  оларды  кластарға  жіктеп  талдау  мен  шешу  әдістерін 
таңдап  алады.  Әсіресе,  бірнеше  теориялық  материалдарды  біріктіретін,  әрі 
күрделі, әрі көптеген есептерді шешуге теориялық әдістемелік негіз болатын 
тірек  есептерін  талдау  кезінде  белгілі  бір  гипотеза  ұсынылады  және  оның 
іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу үшін гипотеза ұсына отырып, 

 
81 
осы  есепке  нақтылы  қандай  теориялық  материал  керек  болатынын 
анықтаймыз.  Теориялық  білімді  негіздеуші  әдісті  таңдап,  гипотезаны 
тексереміз. Егер есепті талдағанда бұрыннан таныс элементті байқасақ, не ол 
шешілуі  таныс  есепке  ұқсас  болса,  онда  есепті  шешу  үшін  белгілі  әдісті 
қолдану мүмкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер 
есептің  таныс  емес  түрін  шығаруға  тура  келсе,  онда  одан  бұрыннан  таныс 
есептердің  кемінде  бір  элементін  іздейміз  немесе  берілген  есеп  шартын 
бұрын шешілген есептегі таныс бір элемент табылатынын талдаймыз. 
3)  Жоспарды  іске  асыру.  Бұл  арада  шешу  идеясы  табылып,  есеп 
шешіледі. 
4)  Шешілген  есепті  талқылау:  а)  есеп  шешімін  тексеру;  б)  есепті 
зерттеу;  в)  есеп  шешімін  әр  түрлі  параметрлер  мен  байланыстар  бойынша 
талдау. 
Есептің  шешілуінің  және  оған  қолданылған  әдістер  мен  теориялық 
негіздеулердің  дұрыс  екенін,  ол  шешім  есеп  шартының  барлық  талаптарын 
қанағаттандыратынын  білу  үшін  оны  тексеру  керек.  Есепті  зерттеу  келесі 
мәселелерді анықтауы керек: қандай шарт орындалғанда есептің шешімі бар; 
қандай шарт орындалғанда есептің жалпы шешімі жоқ болады? 
Есептің  шешімін  талдау  мынадай  мәселелерге  жауап  береді.  Есепті 
шешудің  бұдан  басқа  ең  тиімді  жолы  жоқ  па?  Есепті  жалпылауға  бола  ма? 
Осы есептен қандай қорытындылар жасауға болады? Есепті шешу процесінің 
құрылымы  ең  алдымен  есептің  сипатына,  есеп  шығарушының  қандай 
біліммен, білікпен, дағдымен қаруланғанына тікелей байланысты. 
1-мысал. 
Тікбұрышты 
үшбұрыштың 
катеттеріне 
жүргізілген 
медианалары 
52
 см және 
73
 см. Оның гипотенузасын табу керек (8-сурет).  
 
8-сурет 
 
Шешуі.  ВС  мен  AC  катеттерін  сәйкес  х  пен  у  ар-ылы  белгілейік.          
ВСЕ, ACF — тікбұрышты үшбүрыштар болғандықтан, 
2
2
2
EC
BE
ВС


  және 
2
2
2
AC
AF
CF


,  яғни 
4
73
2
2
y
x


  және 
2
2
52
4
y
x


.  Бұл  тендеулер  жүйесін 
шешіп, х пен у-ті табамыз: 
2
2
4
52
4
25
,
0
73
y
y




,  
36
2

y
; 
 
cм
y
6

, 
см
х 8

; 
см
АВ
10
64
36



. 
 
А
В
С
Е
F

 
82 
2-мысал.  ABC  үшбұрышында  АВ=26см,  BC=30см,  АС=28см.  В 
төбесінен  ВН  биіктігі  мен  BD  биссектрисасы  жүргізілген.  BHD 
үшбұрышының       ауданын табу керек. 
Шешуі.  ABC  үшбұрышының  ауданын  екі  әдіспен  өрнектейік: 
h
h
ВН
АС
S
AВС
14
28
5
,
0
5
,
0






;  екінші  жағынан 
2
336
14
12
16
42
см
S
АВС





. 
Демек,  14h=336,  h=24  см.  Енді  CD=x  деп  алып,  ABC  үшбұрышының  ішкі 
бұрышы  биссектрисасының  қасиетін  пайдаланайық:  ВС:АВ=CD:DA, 
30:26=x:(28-x),  х=СD=15см;  AD=28-15=13см.
324
:
2
2
2




ВН
ВС
СН
ВСН
, 
CH=18 см, DH=CH-CD=18-15=3см, S=0,5  
2
36см
ВН
DH


. 
3-мысал.  Медианалары 
см
m
b
9

, 
см
m
a
12

, 
см
m
c
25

 
болатын 
үшбұрыштың ауданын есептеу керек (9-сурет). 
 
 
                                                   9-сурет 
 
Шешуі. 
см
BE
m
ABC
b
9
:



, 
см
AD
m
a
12


. 
см
CF
m
c
15


.  Берілген 
элементтер мен іздеген элементтің арасындағы байланысты анықтайық (О — 
медианалардың қиылысу нүктесі). 
см
m
AО
AOC
a
8
12
3
2
3
2
:





, 
см
m
OC
с
10
3
2


, 
см
m
OE
b
3
2
1


 
ОЕ 
медианасын 
екі 
еселеп, 
АОС 
үшбұрышын 
1
AOCB
 
параллелограмына  дейін  толықтырайық.  Сонда 
)
(
2
2
2
2
2
OC
AO
OB
AC



; 
292

AC
.  Осы  сияқты  OD  медиананы  екі  еселеп,  ВОС  үшбүрышын 
параллелограмға толықтырсақ:  
208
64
)
100
36
(
2
)
2
(
)
(
2
2
2
2







OD
OC
BO
BC
. 
Осылай  қарастырып,  АВ=10см  екенін  аламыз.  Енді  Герон 
формуласымен ауданды есептесек, 
2
72см
S
ABC


.  
Осы есепті басқа әдіспен шешейік. 
AOC

мен 
ABC

-ның табандары тең 
болғандықтан, 
AOC
AOC
S
S



3
1
 
Шынында да, 
OME

~
BNE

, 
BE
OE
BN
OM

, ал 
3
1

BE
OE
 
болғандықтан, 
3
1

BN
OM
. Сондықтан 
3
1




BN
OM
S
S
ABC
AOC
, 
ABC
AOC
S
S



3
1
 
 
Енді 
1
AOCB
 параллелограмынан: 
1
OCB
AOC
S
S



; 
А
В
С
1
В
F
D
O
N
M
E

 
83 
10
15
3
2
3
2




EC
OC
, 
8
3
2
1



a
m
AO
CB
, 
6
9
3
1
2
2
1





OE
OB
, 
12

p
, 
2
24см
S
AOC


, 
2
72см
S
ABC


 
 
         10.2    Геометрия  есептерін  шешудің  әдістеріне:  а)  геометриялық;               
б) алгебралық;  в) комбинациялық деп аталатын негізгі әдістер жатады. 
Есептерді  геометриялық  әдіспен  шешкенде  логикалық  ойлаудың 
жәрдемімен  белгілі  теоремалар  арқылы  тұжырымдауды  қажетсінетін 
сөйлемдерді  дәлелдейміз.  Ал  есептерді  алгебралық    әдіспен  шешкенде 
ізделінген шаманы табу, не тұжырымдауға тиісті сөйлемді дәлелдеу тікелей 
есептеу жолымен немесе теңдеулер мен олардың жүйелерін құру арқылы іске 
асады.  Тікелей  есептеу  әдісінің  мәні  мынада:  есептің  берілгендері  мен 
белгісіздерінің  жан-жақты  байланыстарынан  аралық  қосымша  белгісіз 
шамалар  тізбегі  құрылады,  тізбекке  қатысытын  әрбір  белгісіз  шама 
анықталады немесе іздеген шама белгілі шамалар арқылы өрнектеледі. 
4  -  мысал.  Теңбүйірлі  ABC  үшбұрышының  табаны  AC,  төбесіндегі  В 
бұрышы сүйір, С бұрышының биссектрисасы CD кесіндісі болсын. D нүктесі 
арқылы  CD  биссектрисасына  перпендикуляр  түзу  жүргізілген.  Бұл  түзу 
үшбұрыштың  AC  табанымен  немесе  оның  созындысымен  Е  нүктесінде 
қиылысады. AD =0,5ЕС  болатынын дәлелдеу керек (10-сурет). 
 
 
10-сурет 
Есеп  геометриялық  әдіспен  тікелей  шешіледі.  CD  кесіндісі  —  EFC 
үшбұрышының  әрі  биіктігі,  әрі  биссектриссасы.  D  нүктесін  ВС 
қабырғасымен  (CD 

  EF  және  CD  —  С  бұрышының  биссектриссасы) 
қиылысқанша  созсақ,  EFC  теңбүйірлі  үшбұрышы  шығады.  Есептің  шарты 
бойынша  CD 

  EF.  Ендеше  ED  =  DF.  D  нүктесінен  ВС-ға  параллель  түзу 
жүргізсек, ол AC табанымен К нүктесінде қиылысады. Бұл DK кесіндісі EDC 
үшбұрышының медианасы бола алады. ЕК:КС = ED:DF = 1, бұлардан DK = 
0,5ЕС, сондықтан AD = DK=  0,5 EC. 
5  -  мысал.  Теңбүйірлі  трапецияға  іштей  дөңгелек  сызылған.  Трапеция 
ауданының  дөңгелек  ауданына  қатынасы 
8

  -ге  тең.  Трапецияның  үлкен 
табанындағы  сүйір  бүрышын  табу  керек  (11-сурет).  ABCD  —  теңбүйірлі 
трапециясы берілген, 
8
:
:


TP
дон
S
S
. 
Бірінші  тәсіл.  Есептің  мазмұнынан  оны  синтез  әдісімен  немесе 
алгебралық  әдіспен  шешуге  болатынын  байқаймыз.  Синтез  әдісі  бойынша 
А
В
С
Е
D
K
F

 
84 
берілгендерге  сүйеніп  дөңгелектің  радиусын  табуға  болады.  Дөңгелектің 
радиусын  г,  трапецияның  табан  қабырғалары  ұзындықтарын  a,  b  деп 
қосымша белгісіздер ендіреміз. Есеп шарты бойынша 
.
8
,
8
,
8
2
)
(
5
,
0
2
b
a
r
r
b
a
r
b
a
r









 
         Екінші  жағынан  шеңберді  сырттай  сызылған  төртбұрыштың  қасиеті 
бойынша  AD+BC=AB+DC  теңдігін  жаза  аламыз.  Бұдан  2AD=a+b,         
AD=0,5(a+b).  Тікбұрышты  AED  үшбұрышынан 
b
a
r
AD
DE
A



4
sin
;  бұл  
теңдікке  r-дің  мәнін  қойып  ықшамдасақ,  sin  A  =  0,5  шығады.  Сонымен,  
6



A
.                          
 
           11-сурет 
 
Бұл  есепте  жоғарыда  айтылған  тірек  элементін  және  қосымша 
белгісіздер  енгізу,  теңдеу  құру,  қосымша  белгісіздерді  ығыстыру 
процестерінің        барлығы орындалады.  
Екінші  тәcіл.  11-суреттен  AD=BC  теңдігін  ескеріп,  бір  нүктеден 
шеңберге жүргізілген екі жанама тең болатынын пайдалансақ, 
 
.
4
2
sin
,
2
,
2
b
a
r
ND
AN
r
AD
DE
A
b
NN
a
AN







 
 
         r-дің 1-тәсілдегі мәнін орнына қойсақ, sinA = 0,5, бұдан 
6



A
. 
         Теңдеулер құру арқылы шешілетін есептерді қарастыралық. 
         6-мысал. 
Тікбұрышты 
үшбұрыштың 
гипотенузасы 
с-ға 
тең, 
үшбұрыштың  бір  сүйір  бұрышынан  катеттерінің  біріне  ұзындығы  m-ге  тең 
медиана  жүргізілген.  Осы  үшбұрыш  катеттерінің  ұзындықтарын  табу  керек 
(12-сурет). 
 
 
12-сурет 
 
D
A
B
C
N
E
O

А
В
С
D
c

 
85 
           Есепті  теңдеу  құру  әдісімен  (алгебралық  әдіспен)  шешу  үшін  АС=x, 
BC=y  деп  белгілейік.  Тікбұрышты  үшбұрыштардан  Пифагор  теоремасы 
бойынша: 
2
2
2
AB
ВС
АС


, 
2
2
2
AD
СD
АС


 
немесе 
2
2
2
c
y
x


, 
2
2
2
)
5
,
0
(
m
y
x


. Бұл жүйенің шешімі 
3
2
2
2
m
c
BC


, 
3
4
2
2
c
m
AC


. 
Математикалық  есептердің  көбінде  қосымша  белгісіздер  енгізу  әдісі 
қолданылады.  Бұл  есептердің  берілген  элементтері  мен  қажетті  теориялық 
материалдарды  байланыстыруға  септігін  тигізеді.  Есепті  шешу  барысында 
осы қосымша белгісіздер ығысады. 
7-мысал.  Ромб  биіктігі  оның  қабырғасын  m  және  n  бөліктерге  бөледі. 
Ромб диагоналдарының ұзындықтарын табу керек (13-сурет). 
 
13-сурет 
 
1-тәсіл. Теңдеулер құруға қажетті белгісіздер енгізелік. Ол үшін АС=x, 
BD=y  деп  белгілейміз.  Сонда 
.
n
m
EB
AE
АВ




  Бұл  қосымша  элементті 
есеп шартындағы белгілі және белгісіз шамалар арқылы өрнектейміз. 
h
ЕD

 
десек, 
2
2
2
n
y
h


  және 
.
)
(
2
2
2
m
n
m
h



 
2
h
-тың  мәндерін  теңестірсек, 
2
2
2
2
)
(
m
n
m
n
у




, 
2
2
2
2
n
mn
y


 немесе 
)
(
2
n
m
n
y


. АОВ үшбұрышынан    
х-ті табамыз:  
2
2
2
2
2
)
)
(
2
5
,
0
(
)
(
n
m
n
n
m
OB
AB
АО






, 
2
2
2
6
4
2
n
mn
m
AO
x
AC





. 
               Сонда жауабы: 
2
2
2
6
4
,
)
(
2
n
mn
m
n
m
n



. 
2-тәсіл.  Аудандарды  пайдалану  әдісі  бойынша 
2
1
5
,
0
d
d
  шамасын 
қосымша  элементтер  арқылы  табылатын  ауданға  теңестіреміз,  яғни 
)
(
2
)
(
5
,
0
2
1
n
m
n
n
m
d
d



,  мұндағы 
)
(
2
n
m
n
h


.  АОВ  үшбұрышынан 
2
2
2
2
1
)
(
)
5
,
0
(
)
5
,
0
(
n
m
d
d



  немесе 
2
2
2
2
1
)
(
4
n
m
d
d



.  Бірінші  теңдіктің  екі 
жағында 4-ке көбейтіп екінші теңдікке қоссақ, онда  
)
)
(
2
)(
(
4
)
(
4
)
(
2
)
(
4
)
(
2
2
2
1
n
m
n
m
n
n
m
n
m
n
m
n
n
m
d
d











. 
Бірінші  теңдіктен 
1
d
-ді  тапсақ  және  оны  соңғы  теңдікке  қойсақ, 
түрлендіргеннен  кейін 
2
2
2
2
6
4
n
mn
m
d



  болады.  Енді 
2
1
2
2
1
)
(
4
d
n
m
d



 
теңдігіне 
2
d
-нің  табылған  мәнін  қойсақ, 
)
(
2
1
n
m
n
d


  екені  шығады.  Егер 
берілген  есепте  кейбір  шамалардың  (ұзындықтардың  немесе  аудандардың) 
қатынастарын  табу  қажет  болса,  дербес  жағдайда  белгілі  бір  бұрышты 
есептеу  қажет  болса,  ондай  есептер  көмекші  параметр  енгізу  деп  аталатын 
тәсілмен  шешіледі.  Бұл  тәсіл  бойынша  есепті  шешу  үшін  сызықтық 
А
В
С
D
O
E

 
86 
элементтердің  біреуін  белгілі  деп  алып,  іздеп  отырған  шаманы  сол  арқылы 
өрнектейді де олардың қатынастарын құрады. 

жүктеу/скачать 2,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: