Кванттық механиканың негізгі теңдеулері

Кванттық механиканың негізгі теңдеуі, классикалық физиканың негізгі (1.3) теңдеуіндей теориялық жолмен емес, ал негізінен бір-біріне қарама қарсы Ньютон физикасы түсініктеріне сүйене отырып жоғарыда қарастырылған экспериментальдық деректер негізінде шығарылған. Бұл – энергияның дискреттілігі және микробөлшектердің толқындық қасиеттері. Бұндай теңдеу бірінші рет Шредингер тарапынан құрастырылды және Шредингер теңдеуі деп аталады.

немесе

(2.7)

Бұл теңдеуде бірінші көбейткіш уақытқа тәуелді емес және ол тербеліс амплитудасы бөлшегінің Х координатына тәуелді. Ол амплитуданың көбейткіші деп аталады, себебі негізінен бізді сол қызықтырады, еселік үшін соңғы теңдеуді көбейткішсіз Cos2pnt түрінде жазылады:
. (1.8)
Cos2pnt толқындық функцияның уақыт көбейткіші «алып тасталынды» соның негізінде уақытқа тәуелсіз толқын теңдеуін алу алдымызға мақсат етіп қойылды, демек экспериментте дәлеленген Бор постулатына сәйкес, электрондар атомда стационарлық орбиталар бойынша қозғалады, және олардың қозғалысы уақытқа тәуелді емес.
(1.8) теңдеуды екі рет дифференциалдау арқылы мына теңдеуді аламыз:

немесе

(2.9)

Демек біз толқынның типтік теңдеуін алдық, оның шешімі бізге амплитудалық көбейткіштің Yшамасын береді.
Енді (1.9) толқын теңдеумен және толқындық қасиетке ие микробөлшектің қозғалысы арасындағы байланысты орнатамыз. (1.5) сәйкес де-Бройл толқынының ұзындығы

. Бұл формуладан .

Бұл бөлшектің кинетикалық энергиясы төмендегі формуламен өрнектеледі

(2.10)

Бұннан (1.11) теңдеуі алынады:

(2.11)

lалынған мәнін (1.9) теңдеуне қойып (1.12) аламыз:

(2.12)

Алынған теңдеу толқынның Х осі бойымен таралуын сипаттайды. Жалпы жағдайда, толкын кеңістікте таралғанда, демек х, у, z осі бойымен таралғанда (1.12) теңдеуді (1.13) түрінде жазылады:

(2.13)
Ө йткені

Бұл D-Лапластың дифференциалдық операторы, сондықтан (2.13) теңдеуді төмендегі түрде жазу мүмкін:

(2.15)

(1.13) және (1.15) теңдеулері –массасы mмикробөлшектің қозғалысын және кинетикалық энергиясын Е_к, демек ешқандай сыртқы күштер әсерісыз еркін микробөлшектің қозғалысын өрнектейтін толқындық теңдеулер болып табылады.
Дегенмен электродар атомдарда еркін қозғалмайды, ал ядроның күштік өрісінде қозғалады. Егер еркін микробөлшек күштік өрісте қозғалатын болса, онда оның толқын энергиясы Етек ғана кинетикалық энергиясына Е_к тең болмайды, ал кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысына тең болады, демек
Е = Е_к + U
бұннан
Е_к = Е - U
Алынған Е_кмәнін (1.15) қойып төмендегі өрнекті аламыз

(2.16)

Бұл кванттык механиканың негізгі теңдеуі макроәлем процестерін Ньютон заңындай, микроәлем процесстерін Шредингер теңдеуі сипаттайды.
Шредингер теңдеуі – бұл кванттіқ механиканың негізгі теңдеу болып саналады.
Шредингер теңдеуынің шешімі толқындық функция болып табылады.

Y(x,t) = A exp [i2p(kR-nt)], (2.17)

Мұнда, R(x, y, z) - бөлшектің орналасуның радиус векторы; k - толқындық векторы; n – толқын жиілігідепаталады және олар төмендегі теңдеулермен беріледі: E=h,

Бұлар (1.17) теңдеуын (1.18) түрінде жазұға мүмкіндік береді

(1.17) және (1.18) теңдеулерінен шешімі болып табылатын толқындық функция комплексті мәнге, ал карапайым (1.9) толқындық теңдеуі нақты мәндерге ие болады. Шредингер теңдеунің ерекшелігіне байланысты, өйткені ол ешқандай шын толқындарды өрнектемейді. Егер бөлшектердің толкындары туралы айтылса, онда бұл микробөлшектердің тоқындық қасиеттерінің ерекшеліктері және көрнектiлiгі үшін ғана қолданылады.

YY^* = ½А½² = а² .

Олар төмендегідей статистикалық талқыланды : микробөлшектің x + dx, y + dy, z+dzобылысындағы бар болу ыхтималдығын анықтау, демек dV = dx×dy×dz көлемдегі (1.19)теңдеумен анықталады:

dw = a² dv = YY*dv = êYê² dv . (2.19)

Демек Y - функциясының модульдің квадраты x, y, z нүктелер төгерегіндегі dVкөлеміндегі бөлшектің тығыздығын ықтималдығы ретінде түсіндіріледі.