Оқулық Алматы «Атамұра» 2018 математика 1-3417

52
2-сурет
[
–5; 9]  [–2; 14] = [–5; 14],
мұндағы  [–5; 14] сан аралығы [
–5; 9] және [–2; 14] сан аралықтарының 
бірігуі (1-сурет).
ІІ. Сан аралықтарының қиылысуы
А және В сан аралықтарының ортақ бөлігін құрайтын сандар жиы-
нын 
А және В  сан аралықтарының қиылысуы деп атайды.
2-мысал.  
 
–3 
       –1  
 
     10   
 15
[
–3; 10]  [–1; 15] = [–1; 10],
мұндағы  [–1; 10] сан аралығы [
–3; 10] және [–1; 15] сан аралықтарының 
қиылысуы (2-сурет).
 
926.
 3)  [–5; 4];  
 
5) ∅;   
 
6)  {3};
 
927. 
 2) (–;  4);    
3) [2; +);   
4) (–2; 3]  [6; 10).
 
930.
 4) (–8; 3);  
 
6) (–; +);
 
931.
 1) [–5; 6];6 саны; 
2) [–9; 0], 0 саны;   
3) {–2}.
 
934.
 1) [–1; 5]; 
 
4) [–2; +5];
 
935.
 1) (–; +);    
3) [–3; 8];          
937.
 5.
Теңсіздіктерді шешіп үйреніңдер:                         
–
х
1) 4
x – 5 < 3x + 1.  
 
 
 
Үлгі.  4 x + 3 > x + 1 8 .
   Жауабы: 
x < 6;  
                                                                    –3
      2) 3
x + 7 > x + 15.    
 
4
x – x > 18 – 3, 3x > 15, x > 5.
       
Жауабы:
 
x > 4. 
 
 
Жауабы:
 
x > 5 немесе (5; +).
5.5. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік.
Мәндес теңсіздіктер. Бір айнымалысы бар сызықтық 
теңсіздіктерді шешу
І. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік.
ах > b және ах < b (немесе ах  b және ах  b) түріндегі теңсіздіктер  
бір айнымалысы бар сызықтық  теңсіздіктер деп аталады. Мұндағы а 
және 
b – қандай да бір сандар, х – айнымалы (белгісіз).
Мысалы, 
5
х–2<8;  х–5>0;  3х+5>21–х; 
x
x
+ < +
4
2
7
3
  –  бір  айнымалысы  бар 
сызықтық теңсіздіктер.

53
Бір  айнымалысы  бар  теңсіздіктің  шешімі  деп,  айнымалының 
теңсіздікті  тура  санды  теңсіздікке  айналдыратын  мәндерінің  жиы-
нын айтады.
Теңсіздікті шешу дегеніміз – оның барлық шешімдер жиынын табу 
немесе шешімдерінің болмайтынын дәлелдеу.
ІІ. Мәндес теңсіздіктер.
Шешімдері бірдей теңсіздіктер 
мәндес теңсіздіктер деп аталады. 
Шешімдері  болмайтын  теңсіздіктер  де  мәндес  теңсіздіктер  болып 
есептеледі.
Теңсіздіктерді  шешуде  теңсіздіктерді  мәндес  теңсіздіктерге 
түрлендіру пайдаланылады.
теңсіздікті мәндес теңсіздікке түрлендіру ережесі.
1.  егер  теңсіздік  құрамындағы  қосылғыш  теңсіздіктің  бір  жақ 
бөлігінен  екінші  жақ  бөлігіне  қарама-қарсы  таңбамен  көшірілсе, 
берілген теңсіздік мәндес теңсіздікке түрленеді.
1-мысал. 3
х – 7 < х + 3 және 3х – х < 3  +7 – мәндес теңсіздіктер.
2. егер теңсіздіктің  екі жақ бөлігі де бірдей оң санға көбейтілсе не-
месе бөлінсе, берілген теңсіздік мәндес теңсіздікке түрленеді.
2-мысал.  
x
+
x
4
3
5
6
  G  
 және 
12
4
+
3
     
5
6
12
x
x




G
'
 – мәндес теңсіздіктер.
3. егер теңсіздіктің  екі жақ бөлігі де бірдей теріс санға көбейтіліп не-
месе бөлініп, сонымен бірге теңсіздік белгісі қарама-қарсы теңсіздік 
белгісіне өзгертілсе, берілген теңсіздік мәндес теңсіздікке түрленеді.
3-мысал. – 4
х  <  12 және х > – 3 – мәндес теңсіздіктер.
ІІІ. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу. 
есеп.  5
х – 1  3х + 7 теңсіздігін шешіңдер.
нұсқауды пайдаланыңдар.
1.  Теңсіздіктің  сол  жағына 
х  айнымалысы  бар  мүшелерді,  ал  оң 
жағына бос мүшелерді (сан қосылғыштарды) жинақтаңдар.
2. Ұқсас қосылғыштарды біріктіріңдер.
3. Теңсіздіктің екі жақ бөлігін де айнымалы 
х-тің коэффициентіне 
(егер ол 0-ге тең болмаса) бөліңдер.
Жауабын теңсіздік түрінде немесе сан аралығы түрінде жазыңдар.
4. Қорытынды. 
?

54
Егер 
ах    b  теңсіздігіндегі  а>0  болса,  онда  берілген  теңсіздіктің 
шешімдер  жиыны  қандай  теңсіздікті  қанағаттандырады  немесе  қандай 
сан аралығына тиісті?
Өзіңді өзің тексер.
Шешуі:
1. 5
х–1  3х+7,
   5
х–3х  7+1,
2. 2
х  8,
3. 
х  4.
Теңсіздіктің шешімдерінің жиыны – [4; +) аралығы  (5.21-сурет).
Теңсіздіктің шешімдерінің жиынын [4; +) аралығы түрінде не-
месе 
x4 теңсіздігі түрінде жазуға болады. 
Жауабы: [4; +) немесе x4. 
4. Қорытынды.
Егер 
axb  теңсіздігінде  a>0  болса,  онда  x
b
a
;
+∞
.  Демек,  берілген 
теңсіздіктің шешімдер жиыны: 
b
a
;
+




u
 аралығы болады.
Егер 
ax>b  теңсіздігінде  a<0  болса,  онда 
x
b
a
<
.  Демек,  берілген 
теңсіздіктің шешімдер жиыны: 
−




u ;
b
a
 аралығы болады.
4-мысал. 
x
x
2
5
3
7
−
>
  теңсіздігінің  екі  жағын  да  6-ға  көбейтеміз, 
себебі ЕКОЕ (2; 3)=6,  6
2
5
3
6
7 6
·
·
·
x
x
−
>
,
  
   
 
 
3
х–10х>42,
   
  
 
–7
х>42,
   
  
 
х<–6.
Теңсіздіктің шешімдер жиыны –  (–; –6) аралығы (5.22-сурет).
Жауабы: (–; –6).
егер 
a=0 және b>0 болса, 0х>b теңсіздігінің шешімдері болмайды. 
Себебі 
x-тің кез келген мәнінде ол теңсіздік  тура емес.
5.21-сурет
4
5.22-сурет
–6

55
5-мысал.  
7(
x+1)–4x>3x+16,
   
 
7
x+7–4x>3x+16,
   
 
3
x–3x>16–7,
                     0
x>9.
0
x>9  теңсіздігі  х-тің  кез  келген  мәнінде  тура  емес.  Теңсіздіктің 
шешімдері жоқ, яғни шешімдері – бос жиын.
Жауабы.  ∅.
егер 
a=0 және b<0 болса, 0x>b теңсіздігі х-тің кез келген мәнінде 
тура  теңсіздік  болады.  Мұндай  жағдайда  теңсіздіктің  шешімдері 
координаталық  түзу  бойындағы  кез  келген  нүктеге  сәйкес,  кез  келген 
сан, яғни (–; + ) аралығы.
6-мысал.  
6
x+17>2(3x+4),
   
 
6
x+17>6x+8,
   
 
6
x–6x>8–17,
   
 
0
x>–9.
Жауабы:   ( –; + ).
1. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік деп қандай теңсіздікті айтады?
2. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктің шешімі дегеніміз не?
3. Теңсіздіктер мәндес теңсіздіктерге қалай түрлендіріледі?
938.   Теңсіздіктерді шешіңдер (а у ы з ш а ):
 
1) 3
х>15; 
 
3) 4
x>16; 
 
5) 7
x>3,5;
 
2) 2
x<1; 
 
4) 5
x<20; 
 
6) 6
x<3.
A
939.  1) –3; –1,5; 2 сандарының қайсылары 9–2
х12 теңсіздігінің шешімі 
болады?
 
2) 1; 8; 2; 3 сандарының қайсылары 3
х–57 теңсіздігінің шешімі 
болады?
940.  Теңсіздіктерді  шешіп,  шешімдер  жиынын  сан  аралығы  арқылы 
көрсетіңдер:
 
1) 3
x–18;   
3) 5
y16; 
 
5) 8
x24;
 
2) –8
x32;   
4) 6,5
y>13;   
6) 7,5
x30.   
941.   Теңсіздіктерді шешіңдер:
 
1) 
х – 3 11;   
3) 
х+5>–3;   
5) 11
х + 2;
 
2) –3<
y–4;    
4) 2
yy+8;   
6) 3
y>5y+4.
942.   Теңсіздіктерді  шешіп,  шешімдер  жиынын  координаталық  түзуде 
кескіндеңдер:
 
1) 
х – 3–13;   
3) 
х+3>5; 
 
5) 4
х + 521;
 
2) 
х + 19;    
4) 2
x+7<11;   
6) 9
x–7>–25.

56
943.   Теңсіздіктерді шешіңдер:
 
1) 3
x–7<x+1;  
3) 1–
x2x–5;  
5) 4
x+2>3x+1;
 
2) 2+
x>8–x;   
4) 2
x+1>x+6; 
6) 6
х+1<2x+9.
944.   1) 
х-тің қандай мәндерінде өрнектің мәні теріс сан болады:
 
2
х–5;  1,4х–7;  6–х?
 
2) 
у-тің қандай мәндерінде өрнектің мәні оң сан болады:
 
1–
у;  у+8;  3у–4,5?
 
Теңсіздік құру арқылы шығарыңдар (945–947).
945.   Квадраттың периметрі 20 сантиметрден артық, бірақ 28 сантиметр-
ден кем. Квадраттың қабырғасының ұзындығын бағалаңдар.
946.   Айман 2 дәптер және 50 теңгеге бір қаламсап сатып алып, барлығына 
170 теңгеден кем ақша төледі. Дәптердің бағасын бағалаңдар.
947.   Екі  қаланың  арақашықтығы  300  километрден  кем  болатын.  По-
йыз бір қаладан шығып, екінші қалаға қарай 3 сағ жүргенде екінші 
қалаға  дейін  45  км  қашықтық  қалды.  Пойыздың  жылдамдығын 
бағалаңдар.
948.
   9 сақинаның біреуінің массасы өзгелерінің массаларынан өзгеше. 
Кіртастары  жоқ  табақшалы  таразымен  үш  рет  өлшеп,  массасы 
өзгеше сақинаның өзге сақиналардан ауыр немесе жеңіл екенін 
қалай білуге болады?
949. 
  Теңдеуді шешіңдер:
 е. 
10
4
2
x
−
=
;     Т. 
6 5
2
4 5
−
= −
y
,
;  В. 
2
1
3
5
y
+ =
;    И. 
6 2
3
1
2
,
y
+
=
.
7
0,7
9
3
 
Кестедегі берілген теңдеудің шешімімен бір бағанға сол теңдеудің 
тұсындағы  әріпті  қойыңдар.  Сонда  кестеден  математикаға  шарт-
ты  белгілеулер  (символдар)  жүйесін  енгізген  және  санды  әріппен 
белгілеуді енгізген француз математигінің кім екенін білесіңдер.
В
950.   1) 
х-тің қандай мәндерінде 7,6+2х–(3х–6,4) өрнегінің мәні оң сан 
болады?
 
2) 
у-тің қандай мәндерінде у+2,8+(9,8–3у) өрнегінің мәні теріс сан 
болады?

57
951.   Теңсіздікті шешіңдер:
 
1)  5
9 3 7
y
y
+
−
J
; 
 
 
 
4) 6–5
y>3y–2;
 
2)  3
1 4
5
x
x
+
−
J
; 
 
 
 
5) 3–7
y>5y–3;
 
3) 
1
4
3
1
3
−
−
y
y
I
; 
 
 
 
6) 
x
x
6
1
2
1
3
+ > − .
952.   Теңсіздікті шешіңдер:
 
1) 3–2(
u–1) > 8+u;   
 
 
4) 4(
u+3) < 3(u+2);
  
2) 5(
u+2)+14 < 6–u;  
 
 
5)  3 2
1
5
1
u
u
+
(
)
−
I (
);
 
3) 
1
4
3 8
6 25
+
(
)
+
u
u
I ,
; 
 
 
6) 
3
5
5
2
3
7 6
u
u
−




< + , .
953.   1) 
х-тің қандай мәндерінде:
 
 
9 2
5
+ x
; 
10 3
4
− x
; 
5
13
2
1
x
x
−
−
; 
2
5
6
x
x
+
+
 
бөлшектері дұрыс бөлшек болады?
 
2) 
х-тің қандай мәндерінде:
 
 
2
3
− x
;  
3
7
10
x
+
; 
5 2
2 3
−
−
x
x
; 
 
7
8
2
7
x
x
−
+
 
бөлшектері бұрыс бөлшек болады?
954.   Теңсіздікті шешіңдер:
 
1)  2(
)
3
1
3
4
x
x
x
+ −
+
(
)
J
;   
4) 7
3
2
2
2 5
1
(
)
y
y
y
+
−
+
(
)
+
(
)
I
;
 
2) 7
x+4(x–2) > 6(1+3x); 
 
5)  6 3 5
2 7
5 4 3
(
)
+
−
+
(
)
+
(
)
y
y
y
J
; 
 
3) 2(
x–1)–3(x+2) < 6(1+x);   
6)  4 3
1
3
1
2 3
(
)
.
y
y
y
− −
−
(
)
>
+
(
)
 
 
Теңсіздік құру арқылы шығарыңдар (955–958).
955.   Тік  төртбұрыштың  ұзындығы  11  см.  Оның  периметрі  қабырғасы  
8  см  квадраттың  периметрінен  кем  болуы  үшін,  ені  неше  санти-
метрден кіші болуы керек?
956.   Саяхатшылар қайықпен 
А пунктінен В пунктіне 3 сағ 30 минут-
тан  кем  уақытта  барып  қайтты.  Қайықтың  тынық  судағы 
жылдамдығы 5 км/сағ, ағыс жылдамдығы 2 км/сағ. 
А пункті мен 
В пунктінің арақашықтығы неше километр болуы мүмкін?
957.   Бірінші тракторшы 90 га жер жыртқанда екінші тракторшы 80 га 
жер жыртып қойған еді. Бірінші тракторшы 1 күнде 4 га жер жыр-

58
тады. Екінші тракторшы 1 күнде 6 га жер жыртады. Неше күннен 
кейін екінші тракторшының жыртқан жері бірінші тракторшының 
жыртқан жерінен артық болады? 
958.   Тігін  шеберханасы  жейделер  мен  көйлектер  тігу  үшін  дүкеннен  
51  м  мата  сатып  алды.  Әрбір  жейде  2  м  матадан  тігілсе,  әрбір 
көйлек  2,5  метрден  кем  емес  матадан  тігіледі.  Тігін  шеберхана-
сы сатып алған матадан 8 жейде тіксе, қалған мата неше көйлек 
тігуге жететінін бағалаңдар.
959.   Амалдарды орындаңдар:
 
 
1) 
7 2
3 8
0 04
0 8
0 19
3 6
, ·
,
·
,
, ·
,
·
,
;
−
(
)
−
(
)
−
(
)
−
(
)
    
 2) 
3
1
8
7
5
6
4
17
24
1 8
0 3 5
1
9
6
23
4
1
1
3
−




−



 −
(
)
−




−

:
·
,
, ·
·
: 


.
С
960.   Теңсіздікті шешіңдер:
 
 
1) 7 2
3 11
J
J
x
+
;
    
 
3) 
− < + <
2
8
7
4
x
;
 
2) 
− < +
3 1 2
7
x
J ;     
 
4) 
−
+ <
7
2
1
2
2
J
x
.
961.   Теңсіздікті шешіңдер:
 
 
1)  9
5
1
2
5
−
+ > +
x
x
;  
 
3) 
4
2
2
7
3
+ − + < +
y
y
y
;
 
2) 1 75
2
3
1
2
3
,
+
< +
x
x
; 
 
4)  4
7
3
5
3
5
4
3
2
+
− > + −
y
y
y
.
962.   Теңсіздікті шешіңдер:
 
1)  7
2
6
5
4
3
4
x
x
x
x
+ −
+ −
J
;   
3) 
9 5
2
4
3
3
1
6
−
−
< −
−
x
x
x
x
;
 
2) 
4
1
3
1
2
3
4
x
x
x
x
+ − > + − − ; 
4) 
5
3
4
11
6
2 1
3
3
2
x
x
x
x
− −
−
(
)
+
I
.
 
Теңсіздік құру арқылы шығарыңдар (963–965).
963.   Атқыш 15 рет атты. Ол әрбір атқанда нысанаға дәл тигізгені үшін 
6 ұпай алатын болса, әрбір бос атқаны үшін 2 ұпайынан айырыла-
ды. Атқыш ойын соңында 34 ұпайдан артық жинауы үшін, оның 
нысанаға дәл тигізу санын бағалаңдар.

59
964.   Құлан мен Шудың арасы 110 км. Құланнан 14 км/сағ жылдамдықпен 
велосипедші  шыққан  уақытта  оған  қарама-қарсы  бағытта  Шудан 
мотоциклші шықты. Олар бір-бірімен 2,5 сағаттан кем уақыт өткенде 
кездесуі үшін мотоциклшінің жүру жылдамдығы қандай болуы керек 
екенін бағалаңдар. 
965.   Өзен  жағасындағы 
А  пункті  мен  В  пунктінің  арақашықтығы  56  км-
ден кем  емес.  Саяхатшылар  3  сағ  45  мин-та  моторлы  қайықпен 
А 
пунктінен 
В пунктіне барып қайтты. Моторлы қайықтың меншікті 
жылдамдығы 30 км/сағ, ағыс жылдамдығы 2 км/сағ. Саяхатшылар 
моторлы қайықпен 
А пунктінен В пунктіне ағыспен жүзіп, қанша 
уақытта баратынын бағалаңдар.
966.
 Есептеңдер:
 
 
2
3
4
5
8
4
9
8
1
6
3
1
2
1
1
6
4 8 1
2
5
0 68
29
2
1
2
+




−




+
−




+
·
:
,
: ,
:
1
1
1
8




.
Тақырыптың түйіні.
І. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер.
ах > b және ах < b (ах  b және ах  b) теңсіздіктері  бір айныма-
лысы бар сызықтық  теңсіздіктер. Мұндағы 
а және b – қандай да бір 
сандар, 
х – айнымалы (белгісіз).
1-мысал. 2(
х + 3) > 9;    4х – 5  х +1;   7х > 4х +15 – бір айныма-
лысы бар сызықтық  теңсіздіктер.
ІІ. Мәндес теңсіздіктер. 
Шешімдері бірдей теңсіздіктер өзара мәндес теңсіздіктер, шешімдері 
болмайтын теңсіздіктер де өзара мәндес теңсіздіктер деп аталады.
2-мысал.  
x
x
3
4
2
−
  H  
  және  4
х  –  3х  <  24    теңсіздіктері  –  мәндес 
теңсіздіктер.
ІІІ. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу. 
3-мысал. 4(
х – 3) + 5х  3х теңсіздігін шешейік.
4
х – 12 + 5х  3х – жақша  ашылып түрлендірілді;
4
х + 5х – 3х  12 – айнымалысы (х) бар қосылғыштар теңдеудің сол 
жағына, сан қосылғыштар теңдеудің оң жағына қарама-қарсы таңбамен 
шығарылды;
6
х  12 – ұқсас қосылғыштар біріктірілді:
х    2  –  теңсіздіктің  екі  жағы  да  айнымалының  (белгісіздің) 
коэффицентіне бөлінді. 
Жауабы: [2; + ) немесе х  2.

60
947.
 85 км/сағ-тан кем. 
950.
 1) 
х < 14; 2) у > 6,3.
951.
 1) (–; –0,5];   2) [6; +);  3) 
1
8
; + 
u



;   4) (–; 1);    
5) (–; 0,5);   6) (–; 1).

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: