Геометрия. 11 класс. Многообразие идей и методов : по- собие для учащихся общеобразоват учреждений с белорус и рус яз обучения / Н. М. Рогановский, Е. Н

2) так как АТ
=
AD – TD
=
AD – BC
=
25 – 7
=
18, то АМ
=
1
2
9
AT
=
;
3) из прямоугольного
D
АВМ по теореме Пифагора находим высоту
h трапеции: h
=
ВМ
=
АВ
АМ
2
2
2
2
15
9
12
-
=
-
=
;
4) тогда площадь основания призмы
S
осн
=
ВС АD
h
+
= +
×
=
2
7 25
2
12 192;
5) осталось найти высоту Н призмы. Ее можно найти из прямо
угольного
D
ВВ
1
D (ВВ
1
^
АBCD и поэтому ВВ
1
^
ВD), предварительно
найдя ВD:
ВD
2
=
ВМ
2
+
МD
2
=
144
+
256
=
20
2
,
Н
=
ВВ
1
=
В D
ВD
1
2
2
2
2
29
20
9 49
21
-
=
-
=
×
=
;
6) поэтому искомый объем V
=
S
осн
×
Н
=
192
×
21
=
4032 (куб. ед.).
Ответ:
V
=
4032 (куб. ед.).
Задача 2
(80, в, рис. 111).
Решение.
1) Начнем с выполнения чертежа: вна
чале строим сферу и две ее параллели, рав
ноотстоящие от центра сферы; центр шара
находится на прямой, проходящей через
центры этих окружностейпараллелей; в од
ну из окружностейпараллелей вписыва
ем правильный
D
АВС; боковые ребра приз
—
91
—
O
O
R
А
B
С
А
B
C
1
1
1
1
Рис. 111
Рис. 110
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

мы проводим параллельно прямой, проходящей через центры окруж
ностейпараллелей;
2) высота призмы Н
=
АА
1
=
R. Поэтому для нахождения объема
призмы достаточно найти площадь основания. Рассмотрим
D
АОО
1
(О — центр шара, О
1
— центр окружности, описанной около
D
АВС).
Этот треугольник — прямоугольный, кроме того, в этом треугольнике
АО
=
R, ОО
1
=
1
2
АА
1
=
1
2
R;
3) из
D
АОО
1
по теореме Пифагора
АО
1
=
АО
ОО
R
R
R
2
1
2
2
2
4
3
2
-
=
-
=
;
4) отрезок АО
1
является радиусом окружности, описанной около
правильного треугольника. По формуле, выражающей площадь пра
вильного треугольника через радиус описанной окружности, имеем:
S
осн
=
3
4
3
3
4
3
4
3
9 3
16
1
2
2
2
АО
R
R
= ×
×
=
;
5) искомый объем V
=
S
осн
×
Н
=
9 3
16
2
R
×
R
=
9 3
16
3
R
.
Ответ:
V
=
9 3
16
3
R
.
Задача 3
(81, в, рис. 112).
Решение.
1) Введем обозначения: АС
=
х, BD
=
y,
AA
1
=
z. По условию xz
=
336, yz
=
204;
2) воспользуемся свойством диагона
лей параллелограмма:
х
2
+
у
2
=
2(25
2
+
39
2
)
=
4292;
3) из п. 1 (вычисления проведите с по
мощью микрокалькулятора) следует:
x
2
z
2
=
336
2
, y
2
z
2
=
204
2
,
x
2
z
2
+
y
2
z
2
=
z
2
(х
2
+
у
2
)
=
336
2
+
204
2
=
=
154512;
4) из п. 3 и 2 следует:
z
2
=
154512
154512
4292
36
2
2
х
у
+
=
=
, z
=
6;
—
92
—
А
B
С
B
C
А
D
D
25
39
1
1
1
1
Рис. 112
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

5) площадь основания параллелепипеда найдем, предварительно
найдя площадь
D
АВС по формуле Герона: АС
=
х
=
336
336
6
56
z
=
=
,
р
=
25 39 56
2
60
+
+
=
, р
-
АВ
=
35, р
-
ВС
=
21, р
-
АС
=
4,
S
АВС
=
× × × =
60 35 21 4
420, S
S
ABCD
АВС
=
= ×
=
2
2 420
840;
6) искомый объем V
=
S
осн
×
Н
=
840
×
6
=
5040 (куб. ед.).
Ответ:
V
=
5040 (куб. ед.).
§ 3. ОБЪЕМ ТЕЛА, ДЛЯ КОТОРОГО ИЗВЕСТНЫ
ПЛОЩАДИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ:
ОТ ПРОИЗВОДНОЙ ОБЪЕМА К САМОМУ ОБЪЕМУ
3.1. О методах математического анализа в геометрии
В курсе алгебры вы знакомились с производной функции и умеете для
многих функций у
=
f(x) находить их производные f
¢
(x). В данной теме
будет выполняться обратная операция: известна будет производная
f
¢
(x) и, зная производную, требуется отыскать саму функцию f(x).
В математическом анализе этой операции посвящен целый раздел, на
зываемый интегральным исчислением. В данном факультативном кур
се не ставится какойлибо цели детально ознакомиться с этим разде
лом. Постараемся также обойтись без введения специальной термино
логии.
В данном разделе производные функций имеют, как правило, про
стой вид и совсем нетрудно подобрать для них соответствующие функ
ции. Этим мы и будем впредь пользоваться.
Примеры.
Дана f'(x)
Найти f(x)
Проверка
1. f
¢
(x)
=
5
f(x)
=
5х
(5х)
¢ =
5
2. f
¢
(x)
=
х
f(x)
=
x
2
2
x
2
2
æ
èç
ö
ø÷
¢
=
1
2
2
×
x
=
х
3. f
¢
(x)
=
2х – 3
f(x)
=
х
2
– 3х
(х
2
– 3х)
¢ =
2х –3
4. f
¢
(x)
=
х
2
+
4х
f(x)
=
x
3
3
+
2х
2
x
x
x
x x
x
3
2
2
2
3
2
1
3
3
2 2
4
+
æ
èç
ö
ø÷
¢
= ×
+ ×
=
+
—
93
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

При выводе формул объемов тел часто объем рассматривается как
функция некоторого аргумента, причем нередко легче вначале найти
производную объема, а затем по известной производной объема найти
сам объем. Иначе говоря, вначале найти V
¢
(х), а затем V(х).
3.2. Теория
Рассмотрим основную теорему, с помощью которой можно вывести
формулы объемов остальных тел, изучаемых в средней школе. Эта тео
рема позволяет найти V
¢
(х). Последнее является существенным, так
как, зная V
¢
(х), нетрудно найти сам объем V(x).
Теорема 10 (основная теорема)
Если для данного тела (рис. 113, а) известны площади S
=
S(x) всех
его поперечных сечений плоскостями, перпендикулярными к не
которому направлению, принятому за ось Ох, при этом S(x) явля
ется непрерывной функцией на отрезке [а; b], то на этом отрезке
V
¢
(х)
=
S(x).
Доказательство.
1) Учтем, что каждому значению х соответствует некоторое тело
с объемом V(x);
2) придадим значению х приращение
D
х. Значению х
+ D
х будет со
ответствовать новое тело с объемом V(x
+
D
x);
3) отрезку длиной
D
х будет соответствовать часть тела с объемом
D
V
=
V(x
+
D
x) – V(x);
4) рассмотрим тело с объемом
D
V отдельно (рис. 113, б). Так как S(х)
является непрерывной функцией от х, то на отрезке [х; x
+
D
x] найдется
точка с такая, что тело с объемом
D
V можно заменить равным по объему
прямым цилиндром с основанием S(с) и высотой
D
х. Объем этого ци
линдра равен S(с)
D
х. Значит,
D
V
=
S(с)
D
х;
5) тогда
D
D
D
D
V
x
S c
x
x
S c
=
=
( )
( );
6) если
D
х
®
0 (
D
х стремится к нулю), то (x
+
D
x)
®
х, а следователь
но, и с
®
х. Поэтому S(с)
®
S(x);
7) получаем, что при
D
х
®
0 отношение
D
D
V
x
S c
=
( )
®
S(x), т. е.
V
¢
(х)
=
S(x).
—
94
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Следствия.
1. Если V
¢
(х)
=
S(x)
=
ах
2
+
bx
+
c, то
V(x)
=
ax
bx
cx
3
2
3
2
+
+
.
2. Пусть V — объем тела, соответствующего отрезку [а; b], тогда
V
=
V(b) – V(a).
3. Пусть V — объем тела, имеющего высоту Н и S(x)
=
ах
2
+
bx
+
c,
тогда
V
=
V(Н)
=
aH
bH
cH
3
2
3
2
+
+
.
Докажите самостоятельно.
—
95
—
Рис. 113
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

3.3. Примеры решения задач
Задача 1
(рис. 114). В плоскости хОу
расположен
равностронний
D
OPQ
так, что ось х проходит через середину
N стороны PQ, ОР
=
а; квадрат ABCD,
непрерывно изменяясь, перемещается
так, что концы диагонали АС движут
ся соответственно по сторонам ОР
и OQ, причем диагональ АС остается
параллельной PQ; плоскость квадрата
перпендикулярна плоскости хОу. Ка
кое тело образует перемещающийся
квадрат, если считать, что перемеще
ние начинается от начала координат
и завершается, когда диагональ АС совпадет со стороной PQ данно
го треугольника? Найдите объем тела, образуемого этим переме
щающимся квадратом.
Решение.
1) В гомотетиях с одним и тем же центром и различными коэффи
циентами гомотетии образы какойлибо точки лежат на одной прямой,
проходящей через эту точку и центр гомотетии. Указанное перемеще
ние квадрата можно описать с помощью гомотетий с общим центром О.
Вершины B и D так же, как и вершины А и С, будут двигаться по пря
мым, проходящим через точку О. В результате квадрат образует при
своем перемещении правильную четырехугольную пирамиду с верши
ной О и основанием АВСD (в его конечном положении);
2) пусть М — центр квадрата и ОМ
=
х. Каждое положение квадрата
можно рассматривать как поперечное сечение пирамиды. Убедимся
в том, что площадь поперечного сечения есть функция от х. В силу го
мотетии
ОМ
ON
АС
PQ
АС
ОМ PQ
ON
ха
а
х
=
Þ
=
×
=
=
3
2
2
3
;
3) тогда АВ
=
АС
2
=
2
6
х
, S
ABCD
=
AB
2
=
V
¢
(х)
=
S(x);
4) итак, V
¢
(х)
=
S(x)
=
2
3
2
x
;
—
96
—
А
B
С
D
М
N
P
Q
O
z
y
x
Рис. 114
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

5) тогда V(x)
=
2
3 3
3
×
x
;
4) так как Н
=
a 3
2
, то искомый объем V
=
V(Н)
=
2
3
3
2
3
3
×
æ
èç
ö
ø÷
a
=
3
12
3
а
.
Ответ:
V
=
3
12
3
а
.
Задача 2
(рис. 115). Точка М —
точка пересечения диагоналей
квадрата АВСD; точка М переме
щается по диаметру круга радиу
са r; плоскость, в которой лежит
квадрат, все время остается пер
пендикулярной плоскости круга;
две противоположные вершины
А и С квадрата перемещаются по
окружности. Найдите объем те
ла, образуемого этим движущим
ся квадратом.
Решение.
1) Выберем систему координат так, как показано на рисунке: окруж
ность с центром K лежит в плоскости хОу, K
Î
Ox;
2) введем обозначение: ОМ
=
х. Тогда
СМ
=
CK
MK
r
r x
2
2
2
2
-
=
- -
(
) , АС
=
2 r
r x
2
2
- -
(
) ,
АВ
=
АС
r
r x
r
r x
2
2
2
2
2
2
2
2
=
- -
=
- -
(
)
(
(
) ),
S
ABCD
=
AB
2
=
2r
2
– 2(r – x)
2
=
–2x
2
+
4rx;
3) итак, V
¢
(х)
=
S(x)
=
–2x
2
+
4rx;
4) зная производную объема, находим сам объем:
V(x)
= -
æ
èç
ö
ø÷ +
2
3
4
2
3
2
x
rx
;
5) так как Н
=
2r, то искомый объем
V
=
V(Н)
= -
+
= - ×
+
×
=
2 2
3
4 2
2
2
8
3
4 4
2
3
3
2
3
2
3
( )
( )
r
r r
r
r
r
r
8
.
Ответ:
V
=
8 r
3
3
.
—
97
—
K
А
В
С
D
M
O
x
y
z
Рис. 115
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: