Сборник научных статей международной научно-практической конференции «Современные тренды педагогического образования»

178 
задач, уравнения в целых числах и методы их решения, нестандартные уравнения и 
неравенства. 
 
Summary 
The article describes the application of new technologies in teaching mathematics, the Dirichlet 
principle and its application for solving problems, invariants and their application in solving 
problems, equations in integers and methods for solving them, non-standard equations and 
inequalities. 
Дирихле принципі екі жиынтық арасындағы арақатынасты ажыратады. Бұл 
принциптің бірнеше тұжырымы бар. Ең көп тарағаны мынау. Егер n торында m 
қоян отырса әрі m>n болса, онда бір торда ең кем дегенде екі қоян отыр. 
Дирихленің осы принципін қарсы әдіспен оп-оңай дәлелдеуге болады. Осы 
принципті қолдана отырып, қарсы дәлелдеу әдісін пайдалана барлығы болмаса 
да өзге де кейбір есептерді шығаруға болады. 
Бір қарағанда, осы қарапайым ұсыныс неліктен соншалықты жетік болатыны 
түсініксіз, алайда ол есептерді, соның ішінде сан алуан түрлерін шешудің 
қуатты әдісі болып табылады. Мұнда бар мәселе әрбір нақты есепті «қояндар» 
болып не, ал «торлар» болып не рөл атқаратынына келіп тіреледі. Сосын, 
«қояндардың» «торлардан» көп болуы неге керек? «Қояндар» мен «торларды» 
таңдау көбінде анық емес. Есептің тұжырымы бойынша әркез Дирихле 
принципін қолдана шешу керектігін анықтау мүмкін емес. Бұл әдістің басты 
артықшылығы сол, ол конструктивті емес шешім береді. (Яғни біз мұндай 
торлардың бар екенін білеміз, бірақ олардың қайда тұрғанын, дөп басып, айта 
алмаймыз). Ал конструктивті дәлелдеуге талпыну үлкен қиыншылықтарға 
әкеліп соқтырады. 
Дирихле принципінің өзге тұжырымдарын қарастырып көрелік. 
Торларда m қояндар отырсын әрі n > m. Мұндайда ең болмаса бір бос тор 
табылады ( қарсыдан дәлелдеу әдісімен);
«Егер» m қояндар n торларда отырса, онда 
n
m
қояндардан кем отырмайтын тор 
және 
n
m
көп емес қояндар отыратын тор табылады.
Егер m қояндар n килограмм шөп жесе, онда қайсібір қоян 
n
m
кем емес 
килограмм шөп жеді, ал қайсы бір қоян 
n
m
көп емес килограмм шөп жеді (ал 
егер бір орташадан көп жесе, енді бір орташадан аз жеді) (үздіксіз принцип); 
«Егер торларда m қояндар отырып, 
1


n
R
m
болса,онда қай торда ең кем 
дегенде R+1 қоян отыр» (қорытындыланған принцип). 
Кейбір есептер Дирихле принципі секілді тұжырымдарды қолдану жолымен 
шешіледі. Осы айтқанды былай тұжырымдайық (олардың бәрі қарсы әдіспен 
оңай дәлелденеді): 
Егер 1 ұзындықтағы кесіндіде жалпы ұзындығы 1 болатын бірнеше кесінді 

179 
табылса, онда олардың ең болмаса екеуінде ортақ нүкте болады. 
Егер 1 радиусының шеңберінде жалпы ұзындықты 2 n артық болатын болса, 
онда олардың ең болмаса екеуінде ортақ нүкте болады. 
Көлем 1 болатын фигураның ішінде жалпы көлемі 1-ден артық болатын 
бірнеше фигура орналасса, онда олардың ең болмаса екеуінде ортақ нүкте 
болады.
Осы әдіспен шешілетін есептер мысалдарын қарастырайық.
1.
Жағы 1 см болатын тең жақты үшбұрыштың ішінде 5 нүкте 
орналасқан.Олардың кейбір екеуінің арақашықтығы 0,5 см кем болмайтынын
дәлелде. 
Шешім. Дирихле принципі үшін ең қиын есептердің бірі.
Бірақ 
оның 
шешімі 
мысалынан 
Дирихле 
принципінің 
барлық 
артықшылықтарын көруге болады. Сонымен, шешуге кіріскенде, ең алдымен 
«қояндардан» бірдеңе таңдау керек. Есеп шартында «5» деген сан 
болғандықтан 5 нүкте «қояндар» бола қойсын. «Торлар» аз, көбінде 1 тиіс 
болғандықтан олар 4 болуы керек. Осы 4 «торды» қалай алуға болады. Есеп 
шартында тағы да 2 саны болғандықтан : 1 немесе 0,5 ; әрі екінші біріншіден 2 
есе кіші, олай болса, орта сызықтарды жүргізу арқылы тең жақты үшбұрышты 
бұзып, 4 «тор» аламыз. Осылай жақтары 0,5 болатын 4 тең жақты үшбұрыш 
алып, олар біз үшін «торлар» болады.
Егер «қояндар» - 5, «торлар» - 4 және 5>4 болғандықтан, Дирихле принципі 
бойынша «тор» - жағы 0,5 см болатын тең жақты үшбұрыш табылып, оған 
кемінде екі «қоян» нүкте түседі. Ал 4 үшбұрыштардың бәрі тең және кез-келген 
үшбұрыштағы нүктелер қашықтығы 0,5 см кем болса, онда біз 5 нүктенің 
кейбір 2 нүктесінің арасындағы қашықтық 0,5 см кем болатынын -дәлелдедік. 
Ескерту. Үшбұрышты басқа да фигураларға бөлуге болады (мұндай жағдайға) 
тиісінше үшбұрыштың орта сызықтарының орнына (бір, екі немесе үш) центрі 
үшбұрыш төбесінен табылатын 0,5 см доғалар жүргізуге тура келеді) 

180 
Сондай - ақ суреттерде көрсетілген «торларды» алудың өзге де нұсқалары 
көрсетілген 
12 бүтін сан берілген. Олардың арасынан айырымы 2-ге бөлінетін 2 -таңдап алуға болатынын 
дәлелде.
Шешім. Сандарды «қояндар» деп алайық. Олар 12 болғандықтан, «торлар» аз 
болуы тиіс. «Торларды» бүтін санды 11-ге бөлгендігі қалдықтар болсын делік. 
Барлық «тор» 11:0.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 болады. Олай болса Дирихле принципі 
бойынша әрқайсысында кемінде 2 қояннан отыратын «тор» яғни, бір қалыпты 2 
бүтін сан табылады. 11- ге бөлінген бірдей қалдықты 2 санның айырымы 11-ге 
бөлінетін болады. 
(а
т
- а
п
) = (11т + 9) - (11п + 9) = 11(т - п) 
Көлемі 4x4 метр кілемде 15 жерден күйе түсіп, тескен екен. Осы кілемнен 
ішінде тесік болмайтын көлемі 1x1 кілем қырқып алуға болатынын дәлелде 
(Тесіктерді нүкте деп санауға болады). 
Шешім. Кілемді көлемі 1x1 
16 кілемге қырқып алайық. Кілем 
торлар-16, ал тесік - қояндар - 15 болса, онда ішінде тесік жоқ кілем табылады. 
Мұнда біз Дирихле принципінің басқа тұжырымдамасын қолданайық. 
Сыныпта 27 оқушы бар. Осы сыныпта өзінің туған күнін үш оқушыдан кем 
атап өтетін ай бар ма?
Шешім:бір жылда 12 ай бар. Оларды «торлар», ал оқушыларды «қояндар» деп 
белгілейік. Егер 27
≥ 12 ∗ 2 + 1 болса
, онда Дирихленің қорытылған принципі 
бойынша кемінде 3 «қоян» отыратын «тор» яғни, кемінде үш оқушы туған 
күнін тойлайтын ай да табылады. 
Дөңгелек үстел басында 16 оқушы отыр, олардың жартысынан көбі қыздар.
Қайсібір екі қыздың бір-біріне қарама-карсы отырғанын дәлелде. 
Шешім:сегіз жұп құрып, әрбір жұпқа бір - біріне қарама-қарсы отырған 
оқушыларды қосайық. «Торлар» етіп жұптарды, «қояндар» етіп қыздарды 
алайық.
Қыздар жартыдан яғни, сегізден көп болғандыктан, екі қыз табылатын «тор» 
(жұп) табылады. 

181 
Жазықты 2 түске боялған. Бір түске боялған бір - біріне 1 метр қашықтықта 
орналасқан 2 нүктені әрқашан табуға болады ма? 
Шешім:түс 2 - болғандықтан, 2 нүктелері көп фигураларды қарастыру керек. 
Бұған бәрінен бұрын тағы 1 метр болатын көпжақты үшбұрыш ыңғайлы 
болады. Оның 3 төбесі болады. Үшбұрыштың төбелерін «қояндар» деп, ал 
түстерді «торлар» деп алатын болсақ, онда 3>2 аламыз. Онда Дирихле принципі 
бойынша үшбұрыштың бір түске боялған бір - бірінен 1 метр қашықтықта 
орналасқан үшбұрыштың 2 төбесі табылады. 
Қорытынды: Осылайша аталмыш әдісті қолдана отырып, мыналарды жүзеге 
асыру керек. 
1) Есепте нені «тор» ол күні «қоян» етіп қабылдау керектігін анықтау; 
2) «Торларды» алу. Көбінде «торлар» «қояндарға» қарағанда бір санға аз
3) Шешімін табу үшін Дирихле принципінің қажетті тұжырымын таңдау. 
[Фарков А.В. Олимпиадные задачи по математики и методы, их решение- М: 
Народные отряд, 2003.-583ст.] 
Бұл бөлімде біз шешімдері бүтін сандар болып табылатын бірнеше 
айнымалы түрлі теңдеулерді шешудің негізгі әдістерін қарастырайық. Алдымен 
сызықты теңдеуден бастайық. 
Екі айнымалы сызықты теңдеудің шешімі. 
1. Зх + 5у = 7 теңдеуін бүтін сандарда шешу. 
Шешім: математиканың мектеп курсынан біз осы теңдеудің графигі түзу сызық 
болатынын білеміз. Әрі осы түзуде жататын барлык нүктелер осы теңдеудің 
шешімі болып табылады. Бірақ осы координаттардың бәрі бүтін сандар 
болмайды. Әдетте бүтін шешімдер табу үшін мынадай әдісті қолданады. Ол ені 
адымнан түрады. 
Бірінші адым. Осы теңдеудің қайсыбір шешімін табайық. 
Егер 3*2 + 5* ( - 1 ) - 1 , болса, онда 3 * 14 + 5 * (-7) = 7. Онда қорытынды 
теңдеудің шешімі жұп сан болады ( 14; - 7 ). Сондай - ақ өзге де жұп сан, 
мысалы ( - 2 1 ; 1 4 ) шешімі бола алуы мүмкін. 
Екінші адым. Қорытынды теңдеуден шыққан жүйені қарастырып көрелік. 
Зх + 5у = 7 және келесі теңдік Зх
0
+ 5у
0
= 7. Мұнда х
0
= 1 4 ; у
0
= - 7 .
{
3х + 5у = 7
3х
0
+ 5у
0
= 7
Теңдеуден теңдікті алып тастап, мынаған ие боламыз: 
3 ( х - х
0
) + 5 ( у - у
0
) = 0 .
( х - х
0
) = а, ( у — у
0
) = в деп белгілеп, За + 5в = 0 аламыз. 
а + 5 в = 0 аламыз. 
Онда 3 а = - в, демек: а:15, в : 3 Егер а = 5k болса, онда в = -3R . мұнда k
∈ 𝒁
. 
Егер (х=х
0
)=5 k, (у=у
0
)=-3k ескерсек, онда х=14 + 5 k ; у = -7 - Зk аламыз, мұнда
k
∈ 𝒁
k-ның түрлі мәнін қоя отырып, біз қорытынды теңдеудің барлық бүтін 
шешімдерін аламыз. 

жүктеу/скачать 8,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: