Педагогикалық институтының директоры

Санаудың позициялық емес және позициялық жүйелері бар.

Позициялық емес жүйелер әрбір таңбаның әрқашан санның жасалуындағы оның алатын орнына тәуелсіз түрде бір ғана санды белгілеумен сипатталады. Римдік жүйе осы жүйенің мысалы, бұл жүйеде сандарды жазу үшін латын алфавитінің әріптері қолданылады.

І – бір, V – бес, Х – он, L – елу, С – жүз, Д- бес жүз, М-мың және т.б. Бұл жүйедегі қолданылатын әрбір әріп әрқашан бір ғана санды білдіреді. Сондықтан үлкен сандарды жазу мейлінше қолайсыз болды.

Позициялық жүйелерде бір ғана таңба оның санның жазылуындағы алатын орнына байланысты әр түрлі сандарды белгілей алады. Ондық позициялық жүйе жаппай қабылданған жүйе болып табылады, ол әуелде саусақпен санаудан басталған. Ол Үндістанда ойлап табылған, онымен арабтар айналысқан және араб елі арқылы Европаға жеткен.

2-сұрақ: Санаудың ондық жүйесіндегі сандарды жазу үшін (0 таңба цифр) қолданылады. Осы цифрлардың әрқайсысының өз атаулары бар және олар бір таңбалы теріс емес бүтін санның атауларына сәйкес келеді. Олардан сандардың қысқаша жазылуы болып табылатын шектеулі тізбектер құрылады.

Ан. Х натурал санның ондық жазылуы деп оның

Ал а_n10ⁿ + а _n-110^n-1 + .... а₁10 + а₀ қосындысын қысқаша а_n а _{n-1 ....} а₁а₀ түрінде жазу қабылданған.

Теорема: Кез-келген натурал Х санын х= а_n10ⁿ + а _n-110^n-1+ ... + а₁10 + а₀

түрінде көрсетіп беруге болады және оның былай жазылуы жалғыз ғана болады.

Теорема: Ондық санау жүйесіндегі жазылуы

х₁ = а_n10ⁿ + а _n-110^n-1 + ... + а₁10 + а₀

у = в_m10^m + в _m-110 ^{m -1} + ... + в₁10 + в₀

түрінде көрсетілген х пен у натурал сандары берілсе және егер:

Сандардың осылайша көрсетілуіндегі 1,10,10² ... 10¹¹ сандарын сәйкес түрде бірінші, екінші, ... разрядтардың бірліктері деп атайды және бір разрядтың 10 бірлігі келесі жоғары разрядтың бір бірлігін құрайды, яғни көршілес разрядтың қатынасы 10-ға, яғни санау жүйесінің негізіне тең болады.

Әрбір сан разрядтарға бөлінеді, ол разрядтар оңнан солға қарай есептеледі және сандардың жазылуындағы алғашқы үш разряды бір топқа біріктіріп, оны бірінші класс немесе бірліктер класы, ал әрі қарай мыңдар класы, милииондар т.б. класы деп атайды.

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. 
   Санау жүйесі ұғымын анықтаңыз;
   
2. 
   Санаудың позициялық және позициялық емес жүйелерін тұжырымдаңыз;
   
3. 
   Позициялық емес жүйеге мысал келтіріңіз;
   
4. 
   Ондық санау жүйесіндегі сандардың жазылуы мен атауларының мән-мағынасын ашыңыз;
   
5. 
   Сандардың разряд бірліктеріне, кластарына мысалдар келтіріңіз.
   

Дәріс – 9

Тақырыбы: Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың алгоритмдері

1. 
   Теріс емес бүтін сандарды қосу мен азайту алгоритмдері;
   
2. 
   Көптаңбалы санды бір және көптаңбалы санға көбейту мен бөлудің алгоритмдері;
   

Әдебиеттер:

/1/ 145-151 беттер

/2 ІІ тарау §10

/3/ ІІІ тарау §7 п 49-50

Қосымша 2. ІІІ тарау §12 п 70-73

Сонда х+у =а_n10ⁿ + a _n-110 ^n-1 + … +a₁10+a₀ + в_n10ⁿ + в_n-110 ^n-1 + … +в₁10+в₀ бұдан х+у=(а_n + в_n) 10ⁿ + (a _n-1+ в_n-1 ) 10 ^n-1 + …+( a₁+ в₁)10+( a₀+ в₀) шығады. Егер а_i + в_i ≤ 9 болса, онда қосу амалы аяқталды деп есептеуге болады, ал егер а_i + в_i ≥ 10 болса, онда а_i + в_i қосындысын 10+С_i мұндағы

Қосу мен көбейту заңдарына сүйенсек

Осыдан кейін а_n + в_n , a _n-1+ в_{n-1, ....} а_i+2 + в_i+2 а_i+1 + в_i+1 +1 коэфициенттерін қарастырамыз, яғни қайтадан коэфициенті 9-дан артық болатын ең кіші i-ді таңдап алып, жоғарыдағы қарастырылған түрлендіруді қайталаймыз. Сонда n-нен кем қадам жасап біз х+у= с _n 10ⁿ + ... + С₀ түріндегі, мұндағы с _n ≠ 0, немесе барлық n үшін 0 ≤ с _n ≤ 10 теңсіздігі орындалатын

Ондық санау жүйесінде жазылған қосылғыштарда цифрлардың саны әр түрлі болған жағдайда цифрлар саны аз санның алдынан бірнеше нөл тіркеп жазып, екі қосылғыштағы да цифрлардың сандарын теңестіру керек.

Ондық жүйеде жазылған натурал сандарды қосудың алгоритмін жалпы түрде тұжырымдайық:

1. 
   Қосылғыштарды «баған» түрінде жазады, яғни сәйкес разрядтарды бірінің астына бірі келетіндей етіп, екінші қосылғышты бірінші қосылғыштың астына жазамыз.
   
2. 
   Бірліктер разрядының цифрларын қосады. Егер қосынды оннан кем болса, оны жауаптың бірліктер разрядына жазады және келесі разрядқа көшеді.
   
3. 
   Егер бірліктер цифрларының қосындысы оннан артық немесе оған тең болса, онда қосындыны а₀ + в₀ = 10+С₀ түрінде көрсетеді, мұндағы С_{0 –} бір таңбалы саны, ал С_0- ді жауаптың бірліктер разрядына жазады және 1-ді бірінші қосылғыштың ондық цифрына қосып, осыдан кейін ондықтар разрядына көшеді.
   
4. 
   Осындай амалдарды ондықтармен, содан кейін жүздіктермен және т.б. қайталайды. Жоғарғы разрядтардың цифрлары қосылғаннан кейін үрдіс аяқталады. Егер жоғары разрядтардың цифрлары қосындысы оннан артық немесе оған тең болса, онда екі қосылғыштың да алдына нөлді тіркеп жазады және бірінші қосылғыштың алдындағы нөлді 1-ге арттырады да 1+0 = 1 қосу амалын орындайды.
   
5. 
   Жауапты оқиды.
   

Натурал сандарды азайтудың алгоритмі: ондық санау жүйесінде сандардың жазылу принциптеріне; азайту мен көбейту қасиеттеріне; бір таңбалы сандарды қосу кестесіне негізделеді.

Ондық санау жүйесінде сандарды азайтудың алгоритмін тұжырымдау студенттердің өз бетімен.

2-сұрақ. Біз бұдан көптаңбалы санды көптаңбалы санға көбейтуді «баған» түрінде қарастырамыз. Көп таңбалы сандарды бір-біріне көбейтудің алгоритмін жалпы түрде тұжырымдайық:

1. 
   Көбейткіштерді «баған» түрінде жазады, яғни сәйкес разрядтары бірінің астында бірі болатындай етіп, екінші көбейткішті біріншінің астына жазады.
   
2. 
   Бірінші көбейткішті екінші көбейткіш бірліктерінің цифрына көбейтеді және осыдан алынған бірінші толымсыз көбейтіндіні оның соңғы цифры көбейткіштердің бірліктері разряды цифрының астына келетіндей етіп жазады, содан кейін келесі разрядқа көшеді.
   
3. 
   Бірінші көбейткішті екінші көбейткіштің ондықтарының цифрына көбейтеді және осыдан алынған екінші толымсыз көбейтіндіні оның соңғы цифры көбейткіштердің ондықтар разряды цифрының астына келетіндей етіп жазады, содан кейін келесі разрядқа көшеді.
   
4. 
   Егер екінші көбейткіштің қандай да бір разрядының цифры нөлге тең болса, онда бірінші көбейткішті оған көбейткенде шыққан толымсыз көбейтінді де нөлге тең болады, сондықтан оны жазбайды. Ал одан кейін келетін толық емес көбейтінді бір таңба солға жылжытылған болып шығады.
   
5. 
   Бірінші көбейткіш екінші көбейткіштің барлық цифрларына көбейтілген кезде үрдіс аяқталады.
   
6. 
   Бірінші көбейткішті екінші көбейткіштің әрбір цифрына көбейтілген кезде шыққан толымсыз көбейтінділерді қосады.
   
7. 
   Жауапты оқиды.
   

Көп таңбалы санды көп таңбалы санға бөлуді «бұрыштап» жазу қабылданған. Көп таңбалы санды көп таңбалы санға бөлу алгоритмін тұжырымдау студенттердің өз бетімен.

Тексеруге арналған сұрақтар:

1. 
   Көп таңбалы сандарды қосу және азайту алгоритмдерін тұжырымдап беріңіз.
   
2. 
   Көптаңбалы санды көп таңбалы санға көбейту және бөлу алгоритмдерін тұжырымдап беріңіз.
   

Дәріс – 10

Тақырыбы: Санаудың ондық жүйеден басқа жүйелері. Санаудың бір жүйедегі жазылуынан басқа жүйеге көшу.

1. 
   Санаудың басқа позициялық жүйелерінде арифметикалық амалдар орындау.
   
2. 
   Бір санау жүйесінен басқа жүйеге көшу.
   

Студенттерді санаудың басқа позициялық жүйелері, бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне көшу мен таныстырып,алған білімдерін есептер шығаруда қолдана білуге үйрету.

Әдебиеттер:

/1/ 152-154 беттер

/2 ІІ тарау §10 п 3,4

/3/ ІІІ тарау §7 п 53-54

Қосымша 2. ІІ тарау §12 п 74-76

Бұл жүйе қысқаша х = а _n а _{n-1 ....} а _{0 р} түрінде жазады. Санаудың р-лық жүйесіндегі а _n а _{n-1 ....} а ₀ деп оқиды, ал Р санының өзін р= 1*р+0 түрінде жазады. Негізі р (р≠10) болатын санаудың позициялық жүйесіндегі сандарға қолданылатын амалдар ондық жүйедегі амалдар ережелерімен орындалады. Алайда негізі Р болатын жүйелер үшін тек қана бір таңбалы сандарды қосу мен көбейтудің сәйкес кестелері болу керек. Үштік жүйедегі (р=3) қосу және көбейту кестесін құрайық: