Пәннің электрондық ОҚУ-Әдістемелік кешені

Ал, араб санау жүйесі үшін сандармен амалдарды орындау ережелері IX ғасырда белгілі болған. Оқушыларды осы тақырыпқа байланысты тарихи дерекпен таныстыра кету пайдалы. Көп таңбалы сандарды есептеу ережелерінің негізін ортағасырлық Шығыстың әйгілі математиктігі Хорезмдік Мұхаммед Мұсаұлы қалаған. Ол өзінің «Үнді хисабы туралы кітап» деген еңбегінде, кез келген N санын, қазір үнді-араб цифрлары деп атап жүрген 0,1,2,...,9 – он белгілемер (алфавит) арқылы өрнектеп жазу ережесін баяндаған. Сонымен қатар, ол осылайша жазылған сандарға қолданылатын амалдарды орындау ережелерін жасаған. Европа елдері XII-XIII ғасырларда Мұхаммед әл-Хорезмидің аталмыш кітабы арқылы онымен алғаш танысады. Мұхаммед кітабындағы әрбір ереже «әл-Хорезми айтқан» (латынша: Dixit Algorizmi) деген кіріспе сөзден басталады. Кейін Европа халықтары тілінде бұл алгоритм немесе алгорифм болып қалыптасқан.

Бұл деректі кейін алгоритмдеу тақырыбын өткенде еске түсіру қажет. Сонымен, дәл позициялық санау жүйесі қазіргі математиканың негізін қалады. Ары қарай тек позициялық санау жүйелеріндегі сандармен айналысамыз.

Енді оқушыларға позициялық санау жүйелерінің көптігі және олардың бір-бірінен айырмашылығы, қолданылатын цифрлар жиыны– алфавитке байланысты болатынын түсіндіру қажет.

Алфавит өлшемі (цифр саны) санау жүйесінің негізі деп аталады. Мына сұрақты қойыңыз: «Неге араб жүйесі ондық санау жүйесі деп аталады?». Сөзсіз, алфавиттегі он цифр туралы жауап аларсыз. Қорытынды жасайық: араб санау жүйесінің негізі онға тең, сондықтан ол ондық деп аталады.

Әртүрлі позициялық санау жүйелерінің алфавиттерін көрсеткен дұрыс. Негізі 10-нан аспайтын санау жүйелерінде тек араб цифрлары пайдаланылады. Егер жүйе негізі 10-нан үлкен болса, онда цифр орнына алфавиттік ретпен латын әріптері қолданылады. Ары қарай ондай жүйеден тек он алтылық санау жүйесі қарастырылады.

Одан соң оқушыларды әртүрлі позициялық жүйелерде натурал сандар қатарын жазуды үйреткен дұрыс. Түсіндіруді ондық жүйенің мысалымен өткізген ыңғайлы, себебі оқушыларға натурал сандар қатарының түрі белгілі:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 19, 20, ..., 99, 100, 101,

Қатарды құру принципі мынадай: алдымен өсу ретімен барлық бір мәнді сандар жазылады; бірінші екі мәнді сан – ылғи 10 (көп мәнді бүтін сандардың алдында, жазылған 0 мәнді цифр емес, әдетте жазылмайды). Одан әрі бірдің басқа цифрлармен барлық екі мәнді тіркесуі, сосын 2-ден басталатын екі мәнді сандар, сосын 3-тен басталатын және т.с. Ең үлкен екі мәнді сан – 99. Одан соң 100-ден 999 дейін үш мәнді сандар кетеді және т.с.

Осы принцип бойынша натурал қатары басқа санау жүйелерде де құрылады. Мысалы, төрттік жүйеде (негізі 4):

1 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, ..100, 101, 102, 103, ..110, 111, ..., 333, 1000, ...

Басқа жүйелерде осыған ұқсас:

Үштік жұйеде (негізі 3): 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 30, 31, 32,..100, 101, 102, ..110, 111, 112,..,333, ...

Сегіздік жұйеде (негізі 8): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ...26, 27, 30,..100,...

Ең үлкен қызығушылық тудыратын – екілік сандардың натурал қатары. Міне, оның түрі мынадай: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, ...

Оқушылардың назарын аударатын қорытынды: екілік сандардың натурал қатарында разрядтар саны тез өседі.

Санның қандай санау жүйесіне жататынын нұсқау үшін жүйе негізін көрсететін индекстік белгілеу енгіземіз. Мысалы, 368 – санның сегіздік санау жүйесінде екенін нұсқайды, 4B16 – он алтылық сан, 10112 – екілік жүйедегі сан. Индекс әрқашан ондық санмен жазылады. Санау жүйелердің қайсысында болсын оның негізі 10 деп жазылатынын ескерту қажет!.

Тағы бір маңызды ескерту: ондық емес сандарды ондық сандар сияқты атауға болмайды. Мысалы сегіздік 368 санын, «отыз алты» – деп оқуға болмайды! «Үш-алты» деу керек. Немесе, 1012 санын «жүз бір» деп оқуға болмайды, «бір-нөль-бір» деу керек. Мысалы, 0,12 – оннан бір емес, жүйе негізіне байланысты – екіден бір екенін ескеріп, түсіну қажет.

Сандарды позициялық санау жүйесінде ұсынудың мәні сандарды жайылма түрде жазғанда айқындалады. Түсіндіру үшін тағыда ондық жүйеге жүгінейік. Мысалы:

5319,12 = 5000 + 300 + 10 + 9 + 0,1 + 0,02 = 5 *103 + 3 *102 + 1*101 + 9 100+ 1*10-1 + 2*10-2.

Соңғы қарайтылған өрнекте – 5319,12 саны ашық формада жазылған. Бұл өрнектің қосындылары – санның цифрлары, оның санда тұрған позициясына тең 10-ң (жүйе негізі) дәрежесіне көбейтілген көбейтінділерінен тұрады. Санның бүтін бөлімінде 10-ң бүтін, ал бөлшек бөлімінде – теріс дәрежесіне көбейтіледі. Дәреже көрсеткіші – санның сәйкес разряды болып табылады. Осыған ұқсас басқа санау жүйелердегі сандардың жайылма түрін алуға болады. Мысалы, сегіздік сан үшін:

17538 = 1*103 + 7*102 + 5*101 + 3.

Мұнда 108 – 810.

Осы бөлімде мына қарастырылатын сұрақ – сандарды бір жүйеден екінші жүйеге аудару тәсілдері.

Негізгі идея келесіде: сандарды аудару сөзсіз есептеумен байланысты. Бізге тек ондық арифметика жақсы таныс болғандықтан, кез келген аударуды ондық сандармен есептеуге әкелуге болады.

Аудару тәсілдерін түсіндіруді ондық жүйені басқа жүйеге аударудан бастаған дұрыс. Ол үшін ондық санның ашық формасына көшу керек. Жоғарыда келтірілген сегіздік сан үшін осындай аударудың мысалы мынадай:

17538 = (1*103 + 7*102 + 5*101 + 3)8 = (1*83 + 7*82 + 5*81 + 3)10. Енді осы өрнекті ондық арифметика ережесімен есептегенде шығатын ақырғы нәтиже:

17538 – (512 + 448 + 40 + 3)10 = 100310.

Ондық жүйеде ашық формада бірден жазу жиі қолданылады. Мысалы, екілік сан үшін:

101101,12 =(1*25 + 0*24+ 1*23+ 1*22 + 0*21 + 1 + 1*2-1 )10 = 32 + 8 + 4 + 1 + 0,5 = 45,510.

Санның ашық формасы бойынша есептеудің мына ыңғайлы әдісі бар. Ол есептеу Горнер схемасы деп аталады. Оның мәні мынада – санның ашық жазылуы ішкі жақшалары бар эквивалентті формаға айналады. Мысалы, жоғарыда қарастырылған сегіздік сан үшін:

17538 = (1*83 + 7*82 + 5*81+ 3)10 = ((1 *8 + 7)*8 + 5)*8 + 3.

Бұл схема бойынша есептеудің ыңғайлылығы – көбейту мен қосу амалдары солдан оңға қарай жазылу бойынша орындалады. Сондықтан қарапайым калькуляторды қолдануға болады.

Ондық сандарды басқа санау жүйелеріне аудару күрделірек болады. Бұл да есептеудің ашық формасы арқылы жүзеге асады. Бірақ мұнда ондық санды n≠10 жаңа негізді санның қосындысын дәреже бойынша жазу керек. Мысалы, 8510 санын екінің дәресі бойынша былай жазылады:

8510=1*26+0*26+1*24+0*23+1*22+0*2+1=10101012

Мұны ойша орындау оңай емес. Сондықтан аудару алгоритмін талдап көрсету қажет [21,51-бетті қараңыз].

Базалық курс көлемінің аздығына байланысты ондық бөлшек сандарды басқа санау жүйелеріне аудару тәсілдерін қарастырмаса да болады.

ЭЕМ-де екілік санау жүйесін қолдану мына екі аспектіде қарастырылады:

1) екілік нөмірлеу;

2) екілік арифметика, яғни екілік сандармен арифметикалық амалдарды орындау.

Екілік нөмірлеу ұғымымен оқушылар «Компьютер жадында мәтіннің ұсынылуы» тақырыбын қарастырғанда кезігеді. Онда ASCII кодтау кестесі туралы баяндағанда мұғалім оқушыларға символдың ішкі екілік коды – екілік санау жүйесінде оның реттік нөмірі екенін айтуы қажет.

Екілік сандармен арифметикалық амалдарды орындау тақырыбын қарастыру, компьютердің логикалық элементтерін, яғни процессордың жұмысымен танысу үшін қажет.

Дж. Фон Нейманның принципі бойынша, компьютерде амалдар тек екілік жүйеде орындалады. Базалық курстың көлемінде екілік бүтін сандарды есептеумен шектелуге болады.

Екілік жүйе компьтерлер үшін ыңғайлы, бірақ разрядтар санының тез өсуіне байланысты адамға тұрмыста қолдануға ыңғайсыз. Компютерде ақпаратты сақтау үшін көбінесе он алтылық код қолданылады.

Екілік және он алтылық жүйелерде жазудың арасында қарапайым байланыс бар. Санды бір жүйеден екінші жүйеге аударғанда бір он алтылық цифрға 4-разрядты екілік код сәйкес келеді.

Бұл сәйкестік мына (2.1-кесте) екілік-он алтылық кестеде бейнеленген:

2.1-кесте. Екілік-оналтылық кестесі