Байланысты: 7d448e60-8cb2-11e3-bf6e-f6d299da70eeказ умм теория матриц
AX=XA түріндегі теңдеулер (1)-ші теңдеудің болғанда дербес жағдайын қарастырайық:
(19) (19) теңдеудің жалпы шешімін табу есебі А матрицасымен ауыстырымды барлық матрицаларды табумен тепе – тең.
1-теореманы дербес түрдегі (19) теңдеу үшін тұжырымдайық.
Теорема 2. (19), мұндағы
,
теңдеудің жалпы шешімі формуласымен табылуы мүмкін.
Мұндағы - теңдеуінің жалпы шешімі,
Егер болса, онда , егер болса, онда – кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты матрица. матрицасы кез келген параметрге тәуелді, , мұндағы
Мысал 3. ( теңдеуінің шешімі). матрицасы келесі элементар бөлгіштерден тұрады:
Онда теңдеуінің шешімі мына түрге ие болады:
А матрицасының инвариантты көбейткіштерін қарастырайық:
Айталық, болсын, онда
Әрбір тривиальды емес инвариантты көбейткіш бірнеше қос-қостан өзара жай элементар бөлгіштердің көбейтіндісі болып табылады, онда (19) теңдеудің шешімі келесі формуламен анықталуы мүмкін:
мұндағы . Бұдан мынаны аламыз:
Осылайша төмендегі теорема дәлелденді.
Теорема 3. матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны
формуласымен анықталады, мұндағы - матрицасының тұрақты емес инвариантты көбейткіші,
Ескерту 1. болатындығы түсінікті. Бұдан болады, сонымен қатар теңдігі тепе-тең, яғни матрицасының барлық элементар бөлгіштері өзара жай болады.
Мысал 4. (ауыстырымды матрицалар саны). Айталық матрица келесі элементар бөлгіштерден тұрсын:
Ендеше матрицасының тривиалды емес инвариантты көбейткіштері мына түрге ие болады:
Онда 3-теоремаға сәйкес матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны
түріндегі теңдеулер
Айталық, түріндегі теңдеу берілсін, мұндағы
. Бұл матрицасының элементтеріне қатысты сызықтық теңдеулер жүйесіне эквивалентті матрицалық теңдеу.
Сәйкес біртекті теңдеуді қарастырайық:
. 1-теоремаға сәйкес, егер матрицаларының біріңғай меншікті мәндері болмаса, онда теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болады. егер де матрицалары біріңғай меншікті мәнге ие болса, онда -ға қатысты екі жағдай болуы мүмкін
Теңдеудің шешімі жоқ.
, мұндағы - теңдеуінің кез келген дербес шешімі, ал - теңдеуінің жалпы шешімі.