ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Келтірімді жүйелердің асимптотикалық орнықтылығы жайлы критерий
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 14 дәріс Дұрыс жүйелердің орнықтылығы
- 1-Анықтама.
- 1-ескерту.
- Дәлелдеуі. Жеткіліктілігі
- 2-теорема
- 2-ескерту.
Келтірімді жүйелердің асимптотикалық орнықтылығы жайлы критерий. Келтірімді сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі асимптотикалық орнықты болады, сонда тек сонда ғана, егер оның шешімінің сипаттауыш көрсеткіші теріс болса. Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Егер (4) сызықты келтірімді жүйе асимптотикалық орнықты болса, онда оның барлық шешімі  кезде нөлге ұмтылады, сондықтан да (11) стационар жүйенің де барлық шешімі кезде нөлге ұмтылады. Бұдан (11) жүйе асимптотикалық орнықты, ал бұл  матрицасының барлық меншікті мәндерінің нақты бөлігі теріс болуымен пара-пар. Осылайша,  , бұдан 2-лемманың негізінде (4) жүйенің шешімдерінің сипаттауыш көрсеткіштері теріс болады.
Жеткіліктілігі. Айталық, - (4) жүйенің кез келген нөлдік емес шешімі болсын, оның  сипаттауыш көрсеткіші λ тең болсын. Шарт бойынша  . Айталық,  болатындай  жеткілікті аз болсын. Сипаттауыш көрсеткіштің анықтамасынан
болатындай жеткілікті үлкен бар болатындығы шығады. Бұдан №14 дәріс Дұрыс жүйелердің орнықтылығы Айталық, сызықтық дифференциалдық теңдеулердің (1) жүйесі спектрге ие болсын. Жүйенің матрицасы және , яғни оның элементтері үзіліссіз және шенелген нақты функциялар. 1-Анықтама. Нақты сызықтық жүйе Ляпунов бойынша дұрыс деп аталады, егер оның сипаттауыш көрсеткіштерінің қосындысы жүйенің матрицасы ізінің орта мәнінің төменгі шегіне тең болатын болса, яғни мына теңдік орындалса . (2)
1-ескерту. Егер матрицасы комплекс мәнді болса, онда сызықтық жүйенің дұрыстық шарты келесі түрде жазылады .
1) жүйенің матрицасы ізінің нақты бөлігінің орта мәнінің шегі бар болса . (3)
2) Ляпунов теңдігі орындалса (4)
Дәлелдеуі. Жеткіліктілігі айқын. Қажеттілігі: Расында, егер жүйе дұрыс болса және болса, онда (2) формуланы және Ляпунов теңсіздігін қолдана отырып аламыз. Екінші жағынан, болатыны айқын. Бұдан , ал бұл лемманы дәлелдейді. Дұрыс сызықтық жүйе ұғымының рөлі Ляпуновтың төмендегі теоремасы арқылы анықталады.
, (5)
жүйе дұрыс және оның сипаттауыш көрсеткіштерінің -сы теріс болсын: . Онда кез келген (6) (мұндағы келесі шарттарды қанағаттандырады: - үздіксіз, , , мұндағы ) жүйесі үшін нүктесін қамтып жатқан өлшемді көпбейне табылып, (6) жүйенің -дан басталатын, (яғни ) кез келген шешімі кезде экспонентті кемиді, дәлірек айтсақ келесі теңсіздікті қанағаттандырады: (кез келген үшін қандай да бір -да).
(8)
болатындай матрицасы бар болады, мұндағы - тұрақты матрицасы бар қандай да бір , жүйенің фундаменталды матрицасы. (8) қатынастан мынаны аламыз: . Остроградский–Лиувилль формуласын пайдалансақ: . Осыдан
, мұндағы
яғни, . Бұдан, . (9) аралығында шенелген шама болғандықтан, онда (9) формуладан (10) шегі бар болатыны шығады. Айталық, және - сәйкесінше және базистік матрицалардың сипаттауыш көрсеткіштерінің қосындысы болсын. Ляпунов түрлендіруі негізінде сипаттауыш көрсеткіштер сақталатындықтан, онда (11)
болатыны айқын, сонымен қоса, егер матрица қалыпты болса, онда матрица да қалыпты болады. Бірақ, қалыпты матрица үшін сипаттауыш көрсеткіштер сипаттауыш теңдеудің түбірінің нақты бөлігі болып табылады. Мұнда әрбір түбір оның еселігі қанша болса, сонша рет қайталанады. Сондықтан . Осылайша, Ляпунов теңдігі орынды. және онда лемманың негізінде жүйе дұрыс болады. 2-ескерту. Егер матрицасы нақты болса, онда және матрицалары сондай-ақ нақты деп есептеуге болады. 3-теорема. (Дұрыс сызықты жүйелер үшін Коши матрицасының нормасын бағалау). Үзіліссіз, шектеулі және нақты  матрицасы бар (1) сызықты біртекті теңдеулер жүйесі дұрыс және
 (12)
оның шешімінің нақты фундаменталды матрицасы болсын деп ұйғарайық. Айталық, 
шешімінің сипаттауыш көрсеткіші және 
Коши матрицасы болсын. Егер барлық  сипаттауыш көрсеткіштер теріс болса, онда кез келген үшін және кез келген  үшін қандай да бір  болғанда төмендегі теңсіздік орындалады
 (13)
Дәлелдеуі. Диагональды матрица енгізейік:  . Сонда мынаны аламыз
Бұдан
 (*)
Енді
кері матрицасын қарастырайық. Оның 
вектор–жолының сипаттауыш көрсеткіші 
және
Осының нәтижесінде мынадай бағалауды аламыз 
мұндағы  , - кез келген оң сан және - -ға тәуелді оң тұрақты. Бұдан ақырсыз аз үшін  теңсіздігі дұрыс болғандықтан, (13) бағалауды аламыз. Теорема дәлелденді.
 (14)
үзіліссіз, шектеулі, нақты матрицасы бар нақты сызықты емес жүйені қарастырайық, мұнда барлық  үшін  , облысында  ,  , сонымен қатар  болатындай қандай да бір оң үзіліссіз  функциясы үшін
 (15)
теңсіздігі орындалсын. Матрицаның нормасы төмендегідей анықталады: 
жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
. Демек, (4) жүйенің барлық шешімі 
фундаменталды матрицасын құрайтын
болады. Сондықтан да