ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Ляпуновтың қосымша теоремасы (орнықсыздық туралы екінші теорема)
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
Ляпуновтың қосымша теоремасы (орнықсыздық туралы екінші теорема). Егер (2.3.1) жүйе үшін шенелген  функциясы табылып, оның жүйеге сүйеніп алынған толық туындысы мына түрде
болса, мұнда  тұрақты,  -не нөлге тепе-тең не тұрақты таңбалы функция, және тұрақты таңбалы болған кезде кез келген  мен сандық мәні мейлінше аз кез келген  үшін әрқашанда  нүктесі табылып, ол нүктеде
теңсіздігі орындалатын болса, онда (1) жүйенің нөлдік шешімі орнықсыз болады. Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша тұрақты таңбалы немесе  Анық болу үшін -ны оң таңбалы деп есептейік:  Кері жорып, (1) жүйенің нөлдік шешімі орнықты деп есептейік, яғни  жүйенің кез келген  шешімі үшін
теңсіздіктері орындалады. Екінші жағынан теореманың шарты бойынша  мен  шартын қанағаттандыратын  үшін нүктесі бар болып, ол нүктеде  теңсіздігі орындалады. Осы нүктесінен өтетін нөлдік емес шешімін  алайық та, оның бойында функциясын қарастырайық:
Оның жүйеге сүйеніп алынған туындысы 
Бұл теңдік 
Бұдан  болғандықтан
Теореманың шарты бойынша функциясы шенелген: 
теңсіздігі орындалуы керек. Ал бұл мүмкін емес, себебі теңсіздік тек  үшін ғана орындалады, ал  болғанда орныдалмайды. Бұл қайшылық  жүйенің нөлдік шешімі орнықты деп жорудан шығып тұр.Олай болса жору дұрыс емес, жүйенің нөлдік шешімі орнықсыз.
Ляпуновтың теоремаларын қанағаттандыратын функцияларды Ляпуновтың функциялары деп, дәлірек айтсақ, Ляпуновтың бірінші, екінші және үшінші теоремаларын қанағаттандыратын функцияларды сәйкес бірінші, екінші және үшінші текті Ляпунов функциялары деп атайды. Екінші әдіске қатысты Ляпунов теоремаларынан, олардағы шарттарды әртүрлі комбинацияда алу арқылы тағы басқа да көптеген ұқсас теоремалар алуға болады. Советтік және шетел математиктерінің бұл саладағы еңбектер нәтижесінде екінші әдіс терең дамып, орнықтылық теориясының негізгі әдісіне айналады. Ляпуновтың орнықсыздық туралы теоремаларының бір кемшілігі бар. Бірінші теоремада  функциясының анықталған таңбалы болуы, ал екінші теоремада  функциясының тұрақты таңбалы болуы нөлдік шешімнің қандай да бір толық аймағында талап етіледі. Ал нөлдік шешімнің орнықсыз болуы үшін бас нүктенің әрбір мейлінше аз (толық емес) аймағынан шығып кететін бір ғана траекторияны білу жеткілікті. Бұған орай интегралдық қисықтардың тәртібін бүкіл  облысында емес оның бір бөлігінде анықтаса да жеткілікті. Сондықтан  шешімі аймағының кейбір бөлігін ғана қарастыру арқылы Ляпунов теоремаларының шарттарын әлсіретуге болады. Мұдай кеңейтуді Н.Г.Четаев жасаған.
жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
теңдік арқылы анықтайық:
-ден -ға дейін 
дейін интегралдайық:
. Сондықтан