Проективное определение конического сечения

Проективное определение конического сечения

Действительно, рассмотрим проекцию окружности на какую-либо плоскость. Эту проекцию мы назвали коническим сечением (коникой). Теперь построим проекцию этой коники на другую плоскость. Является ли новая проекция также коническим сечением? Или, точнее говоря, можно ли рассматривать ее как центральную проекцию какой-нибудь подходящей окружности?

Можно рассмотреть отображение пучка прямых, проходящих через точку М, на пучок прямых, проходящих через точку N. Соответственными прямыми будем считать те прямые, точка пересечения которых лежит на окружности. Это отображение является проективным, поскольку сложное отношение прямых сохраняется.

Теперь можно дать проективное определение конического сечения без использования окружности.

Рассмотрим на проективной плоскости два пучка прямых вместе с проективным отображением одного пучка на другой. Если отображение не является перспективным, то точки пересечения соответственных прямых двух пучков не лежат на одной прямой.

Ясно, что данное определение включает в себя окружность, как частный случай и, кроме того совершенно очевидно, что центральная проекция коники снова является коникой, поскольку при проекции сложные отношения сохраняются.

Осталось показать, что это определение совпадает с исходным, а именно, каждая коника (в смысле нового определения) является центральной проекцией какой-либо подходящей окружности.

Заметим сначала, что поскольку в случае окружности отображение пучка на пучок попросту сохраняет углы между прямыми, то прямой, соединяющей вершины пучков, соответствует при отображении касательная к окружности. Если рассматривать общую прямую MN, как принадлежащую пучку с вершиной М, то ей соответствует касательная в точке N, и наоборот.

Таким образом, чтобы задать два пучка, порождающих окружность, нужно провести всего пять прямых. Разумеется, три прямые, проходящие через точку М, можно выбирать произвольным образом. Затем на одной из них выберем точку N и проведем через нее еще две прямые, так чтобы соответственные углы оказались равными (см. чертеж).

Получаем по три прямых в каждом пучке, поскольку прямая MN входит в оба пучка сразу. Этого как раз хватает, чтобы задать проективное отображение одного пучка на другой. Для любой прямой из одного пучка можно теперь построить ее образ в другом пучке.

Это уже было сделано ранее одним способом, когда отображение пучков было представлено в виде композиции двух перспективных отображений. Впоследствии мы рассмотрим и другой способ, хорошо работающий в данном конкретном случае.

Перейдем теперь к случаю произвольной коники. Рассмотрим проективное отображение пучка  с вершиной М на пучок  с вершиной N. Общую прямую MN назовем l. Если бы прямая l при отображении оставалась на месте, то по доказанной теореме точки пересечения соответственных прямых из двух пучков лежали бы на оси перспективы.

Поскольку мы рассматривем отображение, не являющееся перспективным, то прямая l является образом прямой m из пучка , а ее образ – это прямая n из пучка . (Для окружности прямые m и n были касательными в вершинах пучков, они же будут касательными и к конике.) Выберем еще в пучке  любую прямую а, а в пучке  – ее образ b. Точку пересечения прямых а и b назовем А. Проективное отображение полностью задается тремя парами соответственных элементов. В первом пучке возьмем прямые m, a, l, а в другом – их образы l, b, n.

Проведем через прямую n любую плоскость и построим в ней окружность, которая касается прямой n в точке N. Проведем касательную m' к окружности, проходящую через точку пересечения прямых m и n. Точку касания обозначим М'. Через прямую a и точку М' проведем плоскость, пересекающую окружность в точках М' и А'. Точку S пересечения прямых АА' и ММ', лежащих в одной плоскости, сделаем центром проекции.

Рассмотрим проекцию плоскости окружности на исходную плоскость с центром S. Точки М', А', N переходят в точки М, А, N. В плоскости окружности можно рассмотреть проективное отображение пучка с вершиной М' на пучок с вершиной N. Точки пересечения соответственных пучков порождают окружность. Соответствующее отображение пучков задается соответствием троек прямых m', a', l' и l', b', n. Эти прямые являются прообразами прямых m, a, l и l, b, n при центральной проекции. Значит, соответственные лучи пучков, порождающих окружность, переходят при проекции в соответственные лучи пучков, порождающих конику. Что и требовалось доказать.