Практикум по решению задач



бет22/38
Дата07.02.2022
өлшемі1,35 Mb.
#89389
түріПрактикум
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   38
Байланысты:
Атомная физика. Практикум по решению задач.

Пример 6.2. Найти решение уравнения Шредингера для свободного электрона, движущегося с импульсом Р в положительном направлении оси x.


Решение

Для свободной частицы энергия взаимодействия с внешним полем U = 0.


Уравнение Шредингера в данном случае запишется в виде:
.
Если частица находится в постоянном поле, не зависящем от времени, решение уравнения Шредингера можно искать в виде произведения двух функций:
(x) =  (x) (t).
Уравнение Шредингера в этом случае разобьется на два независимых уравнения:
,


,
где .
Из решения второго уравнения получим, что


.

Так как отраженной волны нет, С2 = 0. Следовательно, полная волновая функция свободного электрона будет иметь вид:


.
Учитывая, что волновой вектор , окончательно получим:
.
Пример 6.3. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой  в стационарном состоянии , где А и - постоянные.
Решение

Уравнение Шредингера для стационарного состояния имеет вид:




,
где
.

В данной задаче - потенциальная энергия гармонического осциллятора (гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы F = -k x).


Следовательно, уравнение Шредингера в данном случае запишется:
.
Подставив в полученное уравнение функцию



и ее вторую производную, получим:


.

Так как по условию задачи Е = const.(стационарное состояние), то




.

Это равенство возможно при условии:





.

Решив первое уравнение, найдем



и, подставив его во второе уравнение, получим энергию гармонического осциллятора с частотой 
.


Пример 6.4. Найти вероятность прохождения частицы массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер, имеющий вид: (см. рисунок).



Решение

Воспользуемся основной формулой туннельного эффекта:


.
Подставив в эту формулу U(x) , получим:


Чтобы взять интеграл, сделаем замену
,
откуда получим, что


.
Пределы x1 и x2 найдем из равенства U(x) = E, то есть
.
Учитывая, что
,
найдем пределы 1 = - /2 и 2 = /2.
Теперь коэффициент прозрачности барьера или вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер определится по следующей формуле:
.
Взяв интеграл, получим, что
.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   38




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет