Примеры сильнейших землетрясений мира



Pdf көрінісі
бет15/117
Дата22.09.2023
өлшемі8,05 Mb.
#182059
түріЛитература
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   117
Байланысты:
Yanovskaya T B -Osnovy seysmologii 2008

x
x
x
u
ψ
rot
+

=
ϕ
(2.19) 
Здесь 
ϕ
(
x
) и 
ψ
(
x
) скалярный и векторный потенциалы. Заметим, что потенциалы 
определяются не однозначно – скалярный потенциал определен с точностью до
константы, а векторный – до градиента некоторой скалярной функции. 
Аналогичным образом представим объемную силу через скалярный и 
векторный потенциалы: 
Ψ
rot
+
Φ

=
)
(
x
f
(2.20) 
Подставим представление (2.19),(2.20) в уравнение движения (2.18): 
0
)
(
)
(
)
2
(
=
+
Φ

+










+
Ψ
ψ
ψ
rot
rot
rotrotrot
2
2
2
2
t
t
x
x
ρ
ϕ
ρ
µ
ϕ
µ
λ
В левой части полученного уравнения мы можем также выделить 
потенциальную и вихревую части каждую из них приравнять нулю: 
0
0
)
2
(
2
2
2
2
=






+




=






Φ
+




+

Ψ
ψ
ψ
t
rotrot
rot
t
ρ
µ
ϕ
ρ
ϕ
µ
λ
(2.21) 
Из первого уравнения следует, что выражение под знаком градиента должно 
быть равно константе. Но поскольку 
ϕ
и 
Φ
определены с точностью до 
констант, мы можем их выбрать так, чтобы в первом уравнении (2.21) константа 
в выражении под знаком градиента была равна нулю, т.е. 
Φ



=

+
2
2
)
2
(
t
ϕ
ρ
ϕ
µ
λ
(2.22) 
При преобразовании второго уравнения (2.21) мы прежде всего 
воспользуемся известным из векторного анализа соотношением 
ψ
ψ
ψ
rotrot
div


=

и учтем, что ротор градиента равен нулю. Тогда это уравнение примет вид: 
0
2
2
=






+




Ψ
ψ
ψ
t
rot
ρ
µ
И аналогично тому, как было сделано для скалярного потенциала, мы можем 
принять выражение под знаком ротора равным нулю, т.е. получим уравнение 
для векторного потенциала в виде 
Ψ
ψ
ψ



=

2
2
t
ρ
µ
(2.23) 
Уравнения (2.22) и (2.23) описывают различные типы движений в упругой 
среде. Если внешние объемные силы отсутствуют, то (2.22) и (2.23 ) могут быть 
записаны в стандартной форме волнового уравнения 
2
2
2
2
2
1
2
t
a
t


=


+
=

ϕ
ϕ
µ
λ
ρ
ϕ
(2.24)
2
2
2
2
2
1
t
b
t


=


=

ψ
ψ
ψ
µ
ρ


30 
Движение, описываемое скалярным потенциалом 
ϕ
, представляет волну, 
распространяющуюся со скоростью 
ρ
µ
λ
2
+
=
a
, а движение, описываемое 
векторным потенциалом 
Ψ
 

волну, распространяющуюся со скоростью 
ρ
µ
=
b
. Чтобы решить эти уравнения, мы должны знать начальные условия, 
т.е. функции
ϕ
(


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   117




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет