ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

1. 
   Имеются две кучки камней: в первой 2012 монет, во второй – 2021 монета. Арман и Бахытжан играют в такую игру. За один ход игрок из любой кучки берёт 2, 3 или 4 монеты, а затем добавляет 1 монету во вторую кучку. Проигрывает тот игрок, который не может сделать ход. Арман и Бахытжан ходят по очереди. Начинает Арман. Кто выигрывает при правильной игре?
   

2. 
   Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Прямая, проходящая через точку D, середину гипотенузы AB, пересекает прямые AC и BC соответственно в точках P и Q. Пусть M – середина отрезка PQ. Из точки R, симметричной точке D относительно точки M, проведён перпендикуляр RF на гипотенузу AB. Докажите, что CM является биссектрисой угла FCD.
   

3. 
   Найти все пары (x,y) натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению 125 · 2^х – 3^y = 271.
   

4. 
   Изначально все клетки доски 2021 × 2021 белые. Арман и Бахытжан играют в такую игру. Сначала Арман закрашивает n квадратиков в красный цвет. Затем Бахытжан выбирает 1011 строк и 1011 столбцов и перекрашивает все ячейки в выбранных строках и столбцах в чёрный цвет. Арман выигрывает в том случае, если осталась хотя бы одна красная клетка, в противном случае выигрывает Бахытжан. При каком наименьшем n Арман гарантирует себе победу, независимо от того, как будет действовать Бахытжан.
   
5. 
   Дан треугольник ABC, в котором . На стороне BC отметили точки P, Q и R так, что BP = PQ = QR = RC. Прямые AP и AR пересекают серединный перпендикуляр к PQ соответственно в точках X и Y . На отрезке XY , как на диаметре, построена окружность Ω. Докажите, что Ω проходит через точки B и R.
   

6. 
   Покажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что также является натуральным числом.
   

7. 
   Пусть a, b, c – положительные целые числа такие, что
   

Найдите наименьшее значение выражения

8. 
   Многочлен P(x) с целыми коэффициентами таков, что
   

9. 
   На плоскости нарисован четырёхугольник ABCD. Докажите, что на этой плоскости найдётся такая точка X, что квадрат расстояния от точки X, до самой удалённой от неё вершины четырёхугольника ABCD, не превосходит
   
10. 
    Пусть a, b, c – положительные целые числа такие, что
    

Найдите наименьшее значение выражения

11. 
    При каких натуральных n число (n − 1)! делится на 2021n² ?
    

12. 
    Пусть a, b, c, d – положительные целые числа такие, что
    

13. 
    Дан остроугольный треугольник ABC, в котором ∠B < ∠C. Пусть I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, H – ортоцентр треугольника ABC. Пусть вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны BC в точке D, и AO параллельна HD. Точка E – точка пересечения прямых OD и AH, точка F – середина отрезка CI. Докажите, что точки I, O, E и F лежат на одной окружности.
    

14. 
    При каких натуральных n число (n − 1)! делится на n³?
    

15. 
    Пусть a,b,c — положительные действительные числа такие, что Найдите наибольшее возможное значение a.
    

16. 
    На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах a,b,c, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах a,b,c, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем m можно утверждать, что m такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.)
    

17. 
    Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а диагонали AC и BD — в точке Q. Точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Описанные окружности треугольников BCQ и MNQ пересекаются в точке T (T ≠ Q). Докажите, что если ∠APD = 90∘, то прямая PT делит отрезок MN пополам.
    

18. 
    Треугольник ABC (AC > BC) вписан в окружность ω. Биссектриса CN этого треугольника пересекает ω в точке M (M ≠ C). На отрезке BN отмечена произвольная точка T. Пусть H — ортоцентр треугольника MNT. Описанная окружность треугольника MNH пересекает ω в точке R (R ≠ M). Докажите, что ∠ACT = ∠BCR.
    

19. 
    Существуют ли натуральные числа a₁, a₂,...,a₁₀₀ не обязательно различные), одновременно удовлетворяющие следующим условиям:
    

1. 
   число a₁, a₂,...,a₁₀₀ делится на a_i + a_j при всех
   

2. 
   для каждого k = 1,2,...,100 найдутся индексы i, j такие, что 1 ≤ i < j ≤ 100 и число a_1, a_2, ...a_k-1, a_k+1 ...a₁₀₀ не делится на a_i + a_j?
   

20. 
    Дано натуральное число n. Последовательность
    

21. 
    Можно ли разрезать клетчатый квадрат 100×100 на равное количество прямоугольников 2×4 и 1×8? (Фигурки можно поворачивать и переворачивать.)
    

22. 
    Дан треугольник ABC, в котором AB + AC > 3BC. Внутри этого треугольника отмечены точки P и Q такие, что ∠ABP = ∠PBQ = ∠QBC и ∠ACQ = ∠QCP = ∠PCB. Докажите, что AP + AQ > 2BC.
    

23. 
    Последовательности (a_n) и (b_n) заданы условиями a₁ = b₁ = 1, a_n+1 = a_n + , b_n+1 = b_n + . a_n ≤ b_k < a_n+1 при всех натуральных n. Докажите, что существует натуральное число n, для которого неравенство a_n ≤ b_k < a_n+1 выполнено ровно при 2021 значениях k.
    

24. 
    На стороне AC треугольника ABC нашлась такая точка D, что BC = DC. Пусть J — центр вписанной окружности треугольника ABD. Докажите, что одна из касательных из точки J ко вписанной окружности треугольника ABC параллельна прямой BD.
    

25. 
    Найдите все функции f : R⁺ → R⁺ такие, что f(x)² = f (xy) + f (x + f (y))−1 для любых x,y ∈ R⁺. (Здесь R⁺ — множество положительных действительных чисел.)
    

26. 
    Пусть a — натуральное число. Докажите, что для любого решения (x,y) уравнения x(y² −2x²) + x + y + a = 0 в целых числах выполняется неравенство: |x|≤ a + .
    

27. 
    На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах a,b,c, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах a,b,c, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем m можно утверждать, что m такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.)
    

28. 
    Докажите, что существует бесконечно много пар (a,b) натуральных чисел таких, что a ≠ b и для любого натурального n выполняется равенство
    

(Здесь [x] — целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x.)

29. 
    Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что max(∠MAB,∠MBC,∠MCA) = = ∠MCA. Докажите, что sin∠MAB + sin∠MBC ≤ 1.
    

30. 
    Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. В этом треугольнике проведены высоты AD, BE и CF. Прямая AD пересекает Ω вторично в точке P, а прямые PF и PE пересекают Ω вторично в точках R и Q соответственно. Пусть O₁ и O₂ — центры описанных окружностей треугольников BFR и CEQ соответственно. Докажите, что прямая O₁O₂ делит отрезок EF пополам.
    

31. 
    Пусть a — натуральное число. Докажите, что для любого решения (x,y) уравнения x(y² −2x²) + x + y + a = 0 в целых числах выполняется неравенство: ||x| ≤ a +
    

32. 
    Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами и натуральное число n. Известно, что для любого натурального m существует целое число l такое, что P(l) = mⁿ. Докажите, что существуют действительные числа a, b и натуральное число k такие, что P(x) = (ax + b)^k при всех действительных x.