Уравнения математической физики: Методические указания

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

бет	4/6
Дата	07.02.2022
өлшемі	1,22 Mb.
	#87778
түрі	Методические указания

1 2 3 4 5 6

Байланысты:
ypravl matemat fiziki 1

1. Задача Коши.
Найти функцию , удовлетворяющую уравнению:

и начальным условиям:

,

,

, .

2. Смешанная задача.
Найти функцию , непрерывную в области , и удовлетворяющую уравнению:

,

начальным условиям:

и граничным условиям:

либо 1) либо 2) либо 3)

либо комбинации 1), 2), 3).
Здесь 1), 2) и 3) соответственно первая, вторая и третья краевые задачи.
Замечание. Краевые задачи также могут быть заданы и через неоднородные граничные условия - в правых частях 1), 2) и 3) вместо нулей заданы некоторые функции от .

12. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК

Рассмотрим уравнение свободных колебаний струны:

(12.1)
и найдём его общее решение.
Приведём уравнение (12.1) к каноническому виду, для чего составим уравнение его характеристик:

.

Нетрудно видеть, что его решения таковы: , - характеристики уравнения (12.1).

Сделаем замену переменных вида:

, . (12.2)

Вторые производные, входящие в уравнение (12.1), выражаются через производные по переменным и с помощью равенств:

,

.

Подставляя эти выражения в уравнение (12.1), получим:

. (12.3)

Перепишем (12.3) в виде:

что возможно при

где - произвольная функция . Интегрируя полученное уравнение по , найдём

где - произвольная функция . Обозначая неопределённый интеграл через

получим
.

Возвращаясь к старым переменным и , окончательно находим общее решение уравнения (12.1):

, (12.4)

где - и - произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функции. Общее решение (12.4) уравнения (12.1) называется решением Даламбера уравнения свободных колебаний струны.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (12.1), то есть задачу отыскания частного решения уравнения (12.1), удовлетворяющего начальным условиям:

, , (12.5)

где - и - заданные функции.

Определим в общем решении (12.4) функции и таким образом, чтобы удовлетворить начальным условиям (12.5):

,

. (12.6)

Интегрируя второе равенство, получим

, (12.7)
где - произвольная постоянная.

Из равенств (12.6) и (12.7) определяем функции и :

,

.

Подставив полученные выражения в формулу (12.4), находим решение задачи Коши:

. (12.8)

жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6